by 
Παρουσιάζω εδώ μια αναλυτική μελέτη της ενεργειακής πυκνότητας ενός εγκάρσιου κύματος σε τεντωμένη χορδή. Η μελέτη αυτή είναι στα βήματα μιας μελέτης που παρουσίασα πρόσφατα για την ενεργειακή πυκνότητα διαμήκους κύματος σε τεντωμένη χορδή. Καταλήγω στο συμπέρασμα ότι στο εγκάρσιο κύμα η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική.
Η μελέτη εδώ.
Στάθη η σχέση που έγραψες:
(x+δn/δx).(x+δn/δx)=1=>1+1(δn/δx)^2+2x.(δn/δx)=
είναι σωστή.
Από αυτή συνεπάγεται:
(δn/δx)^2+2x.(δn/δx)=0
και όχι:
(δn/δx)=0
Δεν θεωρώ ότι το x είναι καθετο στο n. Γι΄ αυτό το γράφω η και όχι y.
(δn/δx)^2+2x.(δn/δx)=0=>(δn/δx).((δn/δx)+2x)=0=>(δn/δx)=0
γιατί (δn/δx)+2x) διάφορο του μηδενός.
Γιάννη καλημέρα.
Η χορδή με την οποία έκανες την προσομοίωση είναι μια χορδή πεπερασμένου μήκους; Τα άκρα της ήταν σταθερά σημεία;
Καλημέρα Νίκο. Είναι ότι θέλουμε να είναι.
Είναι ένα τμήμα χορδής που μπορεί να έχει σταθερά άκρα, μπορεί να μην έχει άκρα (διάδοση σε όλο το μέσον). Μπορεί να είναι στάσιμο το κύμα ή τρέχον.
Η δυναμική ενέργεια ενός συστήματος σωμάτων εξαρτάται μόνο από τις θέσεις τους. Δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες των σωμάτων, ούτε από την εξέλιξη που θα έχει το φαινόμενο.
Έτσι μετράται η δυναμική ενέργεια των τμημάτων του μέσου σε μια θέση. Η δυναμική ενέργεια κάθε τμήματος εξαρτάται ολοφάνερα από την κλίση του. Μηδενίζεται όταν η κλίση μηδενίζεται.
Θα μπορούσε να πετύχουμε την ίδια εικόνα σε διαφορετικές εντελώς κυματικές καταστάσεις. Η δυναμική ενέργεια θα ήταν η ίδια. Ποιά;
Φαντάσου (Κορφιάτης έφα) ότι με καλούπι παραμορφώνουμε την χορδή ώστε να λάβει το σχήμα αυτό. Ίσως με "άπειρα χέρια".
Η δυναμική ενέργεια ίδια θα ήταν. Είτε κρατάμε το καλούπι, είτε το αποσύρουμε ώστε να διαδοθεί κύμα, είτε πρόκειται για στιγμιότυπο τρέχοντος, είτε για στιγμιότυπο στασίμου είτε….. ίδιες θα είναι οι δυναμικές ενέργειες. Και η ολική του συγκεκριμένου τμήματος και κάθε "υποτμήματος".
Εάν θέλεις μπορούμε να μετακινήσουμε ελαφρώς τα κίτρινα μπαλάκια οριζοντίως. Η μετατοπίσεις πρέπει να είναι σχετικά μικρές, διότι εγκάρσιο κύμα έχουμε. Πάλι η κλίση θα επηρεάσει την ενέργεια.
Φεύγω σε λίγο για την συνάντηση και δεν προφταίνω να βρω φωτογραφίες ελατηρίων. Εκεί θα φανεί ότι τα τμήματα του ελατηρίου δεν έχουν ίδιες παραμορφώσεις. Κάτι εύκολα αντιληπτό δε διάμηκες κύμα.
Εγώ Γιάννη όταν διαπραγματεύομαι ένα θέμα ακολουθώ τη θεωρία. Σύμφωνα με τη θεωρία, ένα γραμμικό φαινόμενο μπορεί να περιγραφεί πλήρως όταν είναι γνωστές οι εξισώσεις του και οι αρχικές ή οι οριακές συνθήκες του. Όλα τα κυματικά φαινόμενα δεν έχουν την ίδια λύση.
Σύμφωνα με τις θεωρήσεις σου ισχύει η παρακάτω γενική αρχή:
Η δυναμική ενέργεια ενός συστήματος σωμάτων εξαρτάται μόνο από τις θέσεις τους. Δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες των σωμάτων, ούτε από την εξέλιξη που θα έχει το φαινόμενο.
Εδώ δεν υπάρχει αμφιβολία, αλλά, υποθέτω, αυτό που υπονοείς είναι ότι: μια χορδή με δεδομένο σχήμα έχει και δεδομένη δυναμική ενέργεια.
Εδώ βέβαια δεν μπορώ να συμφωνήσω. Θα συμφωνούσα, ωστόσω με την παρακάτω πρόταση:
Αν μια χορδή ήταν αρχικά ευθύγραμμη και μετακινούσα όλα τα σημεία της με δεδομένο τρόπο, θα αποκτούσε δεδομένη δυναμική ενέργεια.
Επειδή είσαι της σχηματικής σχολής, παραθέτω δύο στιγμιότυπα χορδής στα οποία το τμήμα ΑΒ φτάνει με διαφορετικό τρόπο στην τελική του θέση στο δεύτερο στιγμιότυπο απ΄ ότι στο πρώτο:
Στην πρώτη εικόνα το ΑΒ μετατοπίζεται κάθετα και έτσι επιμηκύνεται, αυξάνοντας τη δυναμική του ενέργεια. Στη δεύτερη ακολουθεί κυκλική μετατόπιση γύρω από κέντρο Κ του άξονα. Με αυτό τον τρόπο δεν επιμηκύνεται και δεν αυξάνει την δυναμική του ενέργεια.
Υπέθεσε ότι κάνεις το εξής πείραμα: δένεις το ακρο οριζόντια χορδής σε ακλόνητο σημείο. Στο άλλο άκρο δένεις ένα σχοινί που έχει βάρος στο άλλο του άκρο. Το σχοινί περνά από τροχαλία και το βάρος αιωρείται.
Αυτή η χορδή έχει πάντα σταθερή τάση και ίση με το βάρος του σώματος. Επομένως, κατά τη δόνησή της κρατάει το αρχικό της μήκος. Αν όμως υποθέταμε, όπως στο μοντέλο σου, ότι τα κομμάτια μη μηδενικής κλίσης επιμηκύνονται, θα περιμέναμε επιμήκυνση της χορδής στο σύνολό της. Γιατι δεν μπορεί να επιμηκύνονται τα κομμάτια της χορδής και η ίδια η χορδή να μην επιμηκύνεται.
Συμφωνείς ότι αυτή η χορδή δεν θα έχει δυναμική ενέργεια;
Είναι κρίμα που το σχήμα δεν φαίνεται, ενώ φαινόταν στο πλαίσιο σχολίου. Δίνω το URL του σχηματος.
http://ylikonet.gr/wp-content/uploads/2018/01/arc-1.png
Νίκο η δυναμική ενέργεια τμήματος χορδής καθορίζεται μονοσήμαντα από τις θέσεις των σημείων που την αποτελούν.
Οι όποιες οριζόντιες μετατοπίσεις δεν δίνουν σε τμήμα χορδής το αρχικό του μήκος, ώστε να στερείται δυναμικής ενέργειας.
Τώρα στο παράδειγμά σου για την χορδή, μπορούμε να πούμε ότι η τάση είναι προσεγγιστικά σταθερή και όχι απολύτως σταθερή.
Ας το πω πιο απλά. Έχεις ένα τεντωμένο τόξο. Για να το οπλίσεις παρήγαγες έργο 200 J. Μεθαύριο αποφασίζεις να ρίξεις με αυτό.
Βάζεις το βέλος, τραβάς και παράγεις έργο 50J. Αυτά τα 50 J μπορείς να τα θεωρήσεις είτε αύξηση της ήδη υπάρχουσας δυναμικής του τόξου (από 200 J σε 250 J) είτε ως δυναμική ενέργεια. (από 0 σε 50 J).
Κάτι ανάλογο έχουμε με την ήδη τεντωμένη χορδή. Η τάση υπάρχει και την δεχόμαστε σχεδόν σταθερή. Σχεδόν δηλαδή (όχι απόλυτα) ισχύει η γνωστή διαφορική. Όμως οι (λόγω κύματος) μικρές παραμορφώσεις της χορδής προσδίδουν σε κάθε τμήμα της δυναμική ενέργεια.
Φυσικά αυτή είναι μικρότερη από αυτήν που προσφέραμε αρχικά για να τεντώσουμε την χορδή. Η ενέργεια που προσφέρει ο χορδιστής πιάνου είναι μεγαλύτερη από αυτήν που προσφέρει ο οργανοπαίχτης. Όμως έχουμε την ευχέρεια να θεωρούμε την αρχική δυναμική ενέργεια της "οπλισμένης" χορδής ως μηδενική. Έτσι η ελάχιστη ποσοστιαία αύξηση της τάσης προσδίδει δυναμική ενέργεια.
Όπως ακριβώς και σε μια χορδή τόξου, όταν αυτή παύει να είναι ευθύγραμμη.
Θα έλεγες ποτέ ότι μια χορδή τόξου δεν έχει ενέργεια όταν την ¨τσιμπάω";
Αν όχι, γιατί να στερήσουμε δυναμικής ενέργειας μια χορδή με ημιτονικό σχήμα;
Γιάννη σου εξήγησα. Δεν στερώ τη χορδή από δυναμική ενέργεια. Αυτό που κάνω είναι να δέχομαι ότι η δυναμική ενέργεια είναι ισοκατανεμημένη
Βέβαια θα μου πεις ότι ακόμα και ισοκατανεμημένη πρέπει να εμφανίζεται στην πυκνότητα ενέργειας που υπολογίζω στο τέλος. Θα σου εξηγήσω λοιπόν γιατί δεν εμφανίζεται.
Κάθε ατσάλινη πραγματική χορδή έχει κάποιες ελαστικές σταθερές (το μέτρο του Young). Αν μελέτησες την προηγούμενη ανάρτησή μου, πάνω στο διαμήκες κύμα, μια ελαστική σταθερά, η Υ, εμφανίζεται στις εξισώσεις. Στο εγκάρσιο κύμα είδες να εμφανίζεται κάποια ελαστική σταθερά;
Αφού δεν εμφανίζεται είναι άχρηστη. Παραγγέλνω λοιπόν μια χορδή με άπειρη ελαστική σταθερά. Όσο και να την τραβάω αυτή δεν θα τεντώνεται. Και τη χρησιμοποιώ σε πειράματα δόνησης τεντωμένης χορδής.
Αν αυτή τη χορδή τη στερεώσω μεταξύ ακίνητων σημείων, δεν θα μπορέσω να δημιουργήσω εγκάρσιο κύμα αφού η χορδή δεν παίρνει επιμήκυνση. Όμως, μπορώ να κρατήσω μόνο το ένα σημείο ακίνητο και να τραβάω το άλλο με δεδομένο βάρος (μέσω τροχαλίας). Τότε η χορδή θα δονηθεί. Όμως ποια θα είναι η δυναμική της ενέργεια; θα έχουν μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια τα τμήματα με μεγαλύτερη κλίση από εκείνα με μικρότερη;
Έστω τώρα ότι το μέτρο ελαστικότητας δεν είναι άπειρο, αλλά πολύ μεγάλο. Και έστω ότι και τα δύο άκρα είναι ακλόνητα. Ίσως δημιουργηθεί ένα κύμα διαμήκους παραμόρφωσης αλλά αυτό θα διαδοθεί σαν διαμήκες κύμα με πολύ μεγάλη ταχύτητα αφού το μέτρο ελαστικότητας είναι πολύ μεγάλο. Η ταχύτητα εγκάρσιων κυμάτων εξαρτάται από την τάση και όχι από το μέτρο ελαστικότητας. Πως, λοιπόν, θέλεις εσύ, ένα διαμήκες κύμα να διαδίδεται σε φάση με ένα εγκάρσιο όταν έχουν τόσο μεγάλη διαφορά στην ταχύτητα;
Από που κι ως που είναι ισοκατανεμημένη;
Δείχνουν οι μετρητές ισοκατανομή;
Ο πάνω δείχνει σχεδόν μηδέν και ο κάτω 1,82 J. Ο μεσαίος δείχνει 0,68 J. Και τα λοιπά.
Τελικά ποιο μετράει πιο πολύ, αυτό που βγάζουμε με χαρτί και με μολύβι ή η πραγματικότητα των μετρητών;
Φωτογραφία δεν βρίσκω, όμως όταν παίζω με το μεγάλο σχολικό ελατήριο, βλέπω πεντακάθαρα πως τα τμήματα κοντά στην θέση y=0 έχουν μεγαλύτερη επιμήκυνση από τα άλλα. Ισχύει και εδώ αλλά δεν φαίνεται τόσο καλά:
Γιάννη θέλω να κάνεις ένα ip στο οποίο η χορδή να έχει τεράστια σκληρότητα, το ένα άκρο της να είναι ακλόνητο και στο άλλο να ασκείται μια μέτρια δύναμη.
Να μία. Σκληρότητα 10.000 N/m και δύναμη 1 N.
Ρόλο παίζουν μόνο οι θέσεις. Οι τιμές αυξήθηκαν πολύ. Όμως η “διακύμανση” διατηρείται.
Μόνο το σχήμα και η “σκληρότητα” παίζουν ρόλο.
Γιάννη δεν έχει σημασία μόνο η δυναμική ενέργεια αλλά η σύγκρισή της με την κινητική.
Σε ελατήριο σταθεράς 100 Ν/m κρεμώ σώμα 1 kg.
Τεντώνεται 10cm.
Δύναμη ελατηρίου 10 Ν.
Δυναμική ενέργεια 0,5J.
Το θέτω σε ταλάντωση πλάτους 1cm.
Η δύναμη κυμαίνεται από 9 Ν ως 11 Ν.
Η δυναμική του ελατηρίου από 0,5J ως 0,605J.
Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης όμως είναι 0,005 J.
Άλλο πράγμα επομένως η δυναμική του ελατηρίου και άλλη της ταλάντωσης.
Το ότι η τάση της χορδής είναι σχεδόν σταθερή, σημάνει ότι η ταλάντωση δεν έχει ενέργεια;
Πάμε στα κύματα.
Έχουμε τεντώσει την χορδή. Έχουμε παράξει ένα έργο 10 J.
Βλέπουμε την χορδή σε διάφορα στιγμιότυπα.
Η ενέργεια που αποδίδουμε στο στάσιμο κύμα είναι η 10,01 J την δεύτερη στιγμή και 10,02 J την τρίτη;
Φυσικά δεν είναι αυτή. Το κύμα προκάλεσε μια αύξηση δυναμικής ενέργειας.
Η ενέργεια του κύματος είναι πολύ μικρότερη από 10 J.
Η τάση της χορδής (ειδικά αν πρόκειται για χορδή κιθάρας) είναι με καταπληκτική προσέγγιση σταθερή.
Σημαίνει ότι το κύμα (τρέχον ή στάσιμο) δεν έχει ενέργεια;
Θα υπολογίσουμε την ενέργεια στην δεύτερη και στην τρίτη εικόνα από την τάση ή από την παραμόρφωση της χορδής;