by 
Παρουσιάζω εδώ μια αναλυτική μελέτη της ενεργειακής πυκνότητας ενός εγκάρσιου κύματος σε τεντωμένη χορδή. Η μελέτη αυτή είναι στα βήματα μιας μελέτης που παρουσίασα πρόσφατα για την ενεργειακή πυκνότητα διαμήκους κύματος σε τεντωμένη χορδή. Καταλήγω στο συμπέρασμα ότι στο εγκάρσιο κύμα η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική.
Η μελέτη εδώ.
Ας υποθέσουμε Στάθη ότι στον Ευκλείδιο χώρο στήνουμε ενα Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Στο επίπεδο xy και γύρω από το Ο περιστρέφεται ένα σημείο σε μοναδιαία απόσταση από το Ο.
Το διάνυσμα r(t) που συνδέει το Ο με το σημείο δεν είναι μοναδιαίο; το εσωτερικό γινόμενο με τον εαυτό του δεν είναι μονάδα.
Αρχίζω από το τελευταίο.
Συζητώ για το προϊόν-αποτέλεσμα της εργασίας σου. Δεν κρίνω την, γνωστή σε όλους μας, μαθηματική σου δεινότητα.
Υποπτεύομαι ότι άλλο υπολόγισες από αυτό που εννοούμε ως δυναμική ενέργεια.
Το “άπειρη σκληρότητα” είναι μοντέλο. Κινούμενοι σε όρια μοντέλων (ασυμπίεστο υγρό, άπειρη σκληρότητα κ.λ.π.) καταλήγουμε σε παράδοξα. Για παράδειγμα δεν διαδίδονται κύματα σε εντελώς ασυμπίεστο υγρό.
Φυσικά η τάση δεν είναι σταθερή. Φυσικά η γραμμικότητα που μας εξασφαλίζει η (λόγω σταθερής τάσης) διαφορική εξίσωση, προσέγγιση είναι. Η μικρότατη παραμόρφωση (και σε εγκάρσιο και σε διάμηκες κύμα) καθιστά το φαινόμενο κατά προσέγγισιν γραμμικό, ώστε να το μελετήσουμε. Μελετώντας το βγάζουμε συμπεράσματα και περιγράφουμε ακόμα και δραματικά μη γραμμικές περιπτώσεις όπως οι παρακάτω:
Εδώ προφανώς δεν μιλάμε για σταθερότητα τάσης.
Δεν καταλαβαίνω την φράση:
Η θεωρία των εγκάρσιων δονήσεων είναι ακριβής σε μια υποθετική χορδή χωρίς καμία ελαστικότητα. Καμία ελαστικη σταθερά δεν υπεισέρχεται στη θεωρία.
Η χορδή μιας άρπας δεν έχει ελαστικότητα;
Εγκάρσια κύματα δεν διαδίδονται σ’ αυτήν;
Νίκο καλημέρα,
Αναφέρεσαι στις πολικές συντεταγμένες (r,φ), όπου φ η προσανατολισμένη γωνία που διαγράφει το διάνυσμα θέσης r με τον καρτεσιανό άξονα x. Το διάνυσμα θέσης r που περιγράφεις έχει μέτρο μονάδα (επειδή το πέρας του βρίσκεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο) αλλά αλλάζει συνεχώς διεύθυνση (το φ του), συνεπώς δεν είναι σταθερό. Ισούται γενικά με
r= r(cos(φ)ex +sin(φ)ey)=r er με μέτρο r.r= r^2.
Το δε εφαπτόμενο στον κύκλο διάνυσμα βάσης eφ ισούται με
eφ= -r sin(φ)ex+r cos(φ)ey,
το μέτρο του με
eφ.eφ= r^2.
Αναφέρομαι στο διάνυσμα eφ γιατί στην εργασία σου το διάνυσμα e είναι πάντα εφαπτόμενο στην χορδή, της οποίας η καμπυλότητα μεταβάλλεται (αλλάζει συνεχώς το μέτρο του r και η διεύθυνσή του).
Το ακτινικό διάνυσμα βάσης ισούται με er=cos(φ)ex +sin(φ)ey, με μέτρο μονάδα.
Στον καρτεσιανό χώρο τα διανύσματα βάσης είναι σταθερά και ικανοποιούν τις σχέσεις
ex.ex=ey.ey=1, ex.ey=0,
γεγονός που τα καθιστά μοναδιαία ορθοκανονικά, δηλαδή σταθερά με μέτρο μονάδα και κάθετα μεταξύ τους (ευκλείδειος χώρος).
Αλλά στις πολικές συντεταγμένες τα διανύσματα βάσης εξαρτώνται από τις συντεταγμένες r και φ, οπότε δεν είναι σταθερά, ικανοποιούν τις σχέσεις
er.er=1, eφ.eφ=r^2, er.eφ=0,.
οπότε ο χώρος δεν είναι ευκλείδειος (καμπύλος χώρος).
Συνήθως όταν χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες ορίζουμε το εφαπτόμενο διάνυσμα βάσης ως eφ΄=(1/r)eφ, έτσι ώστε eφ΄.eφ΄=1, οπότε ο χώρος γίνεται ορθοκανονικός, αλλά εξακολουθεί να είναι καμπυλόγραμμος (μη σταθερά διανύσματα βάσης).
Συνεπώς όταν λέμε ότι το e είναι μοναδιαίο (καταχρηστικά, το κάνω και εγώ συνέχεια), κατ΄ ουσίαν εννοούμε ότι το θεωρούμε διάνυσμα βάσης εφαπτόμενο στην χορδή, με το οποίο περιγράφουμε την καμπυλότητά της, δηλαδή την αλλαγή της κλίσης της. Δεν είναι υποχρεωτικό να είναι σταθερό και δεν είναι. Το επιχείρημά μου από την αρχή είναι ότι το ίδιο το e σου δίνει δυναμική ενέργεια με το να μεταβάλλεται.
Όλα αυτά που γράφεις Στάθη ωραία είναι, αλλά δεν μου δίνουν να καταλάβω που έκανα λάθος.
Καλημέρα παιδιά.
Κάποιες σκέψεις:
Ένας παλμός που φαίνεται στο σχήμα, διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ. Η χορδή είναι τεντωμένη με δύναμη 10 Ν.
Στο πάνω μέρος ο παλμός και στο κάτω μια κατασκευή που τον “μιμείται”.
Ένα ξύλο έχει τρία καρφάκια. Η χορδή περνάει κάτω από τα κάτω και πάνω από το πάνω, ώστε να διατηρεί την παραμόρφωση που βλέπουμε.
Το ξύλο κινείται με την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
Επειδή μπορεί να μην είναι κατανοητά όσα λέω, επισυνάπτω προσομοίωση.
Κάθε στιγμή οι δύο χορδές έχουν ίδιες δυναμικές ενέργειες. Έτσι αν υπολογιστεί η δυναμική ενέργεια της μίας, έχουμε αυτήν της άλλης.
Τι εννοούμε όμως λέγοντας “δυναμική ενέργεια”; Φυσικά μας ενδιαφέρει όχι το αρχικό έργο που παράξαμε για να τεντώσουμε αρχικά την χορδή σε τάση 10 Ν, αλλά το επιπλέον έργο για να προκαλέσουμε την “τριγωνική” παραμόρφωση.
Η τάση της χορδής θα παραμείνει με πολύ καλή προσέγγιση 10 Ν. Η μετρηθείσα από την προσομοίωση επιμήκυνση είναι 0,232 m. Έτσι η δυναμική ενέργεια (η επιπλέον) είναι 2,32 J. Κατανέμεται σε τμήμα χορδής μήκους 5,4 m.
Την ενέργεια αυτήν την έχει το τμήμα της χορδής που εικονίζεται. Είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη σ’ αυτό.
Ένα τμήμα της χορδής μήκους dx έχει δυναμική ενέργεια dx.(2,32/5,4)J/m.
Όταν το ξύλο (ή ο παλμός) προσπερνά ένα τμηματάκι της χορδής που ήταν ακίνητο, αυτό αποκτά δυναμική ενέργεια.
Γιάννη καλημέρα.
Κατά πρώτον, μια χορδή με άπειρη σκληρότητα δημιουργεί πρόβλημα σ΄ αυτόν που θέλει να μελετήσει τις διαμήκεις δονήσεις της, αλλά δεν δημιουργεί κανένα πρόβλημα σ΄ αυτόν που θέλει να μελετήσει τις εγκάρσιες.
Κατά δεύτερον η ελαστικότητα της χορδής της άρπας δεν απασχολεί καθόλου αυτόν που μελετάει τις εγκάρσιες δονήσεις της. Την παραβλέπει τελείως.
Θέλω να κάνω ακόμα μερικές ιδιαζόντως φαρμακερές παρατηρήσεις στο μοντέλο σου. Γι΄ αυτό…κρατήσου καλά.
Θα τελειώσω με ένα δίδαγμα για το πότε ένα μοντέλο πρέπει να θεωρείται καλό.
Έστω ότι μοντελοποιείς ένα φυσικό σύστημα και, μέσω αυτού του μοντέλου, προσδιορίζεις κάποιες ποσότητες. Στο πείραμα που θα κάνεις μ΄ αυτό το σύστημα, το σύστημα δεν θα συμπεριφέρεται ακριβώς όπως στο μοντέλο σου, αλλά δεν θα αποκλίνει και πολύ από αυτό. Τότε δεν θα έπρεπε οι τιμές των ποσοτήτων που προκύπτουν από το πείραμα να είναι ίσες με αυτές που έχεις προσδιορίσει.
Αν από το πείραμα προέκυψαν τιμές κατά προσέγγιση ίσες μ΄ αυτές που έχεις προσδιορίσει, τότε έχεις ένα καλό μοντέλο. Στο δικό σου μοντέλο της εγκάρσια δονούμενης χορδής, μια απόκλιση των κινήσεων των σημείων κατά 1 μοίρα από τον y- άξονα, θα σου έδινε περίπου την ίδια πυκνότητα δυναμικής ενέργειας;
Γιάννη συμφωνώ,
το τελευταίο που υπολόγισες είναι η πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας, στην οποία αν προσθέσεις την αντίστοιχη της κινητικής, θα έχεις την ολική πυκνότητα ενέργειας της χορδής.
Ο Νίκος, από ότι κατάλαβα, δεν δέχεται καν δυναμικό όρο στην ενέργεια. Νομίζω ότι θα αντέτεινε ότι στην προσομοίωση η χορδή μεταβάλλει το μήκος της στην τριγωνική της διαμόρφωση, ενώ ο ίδιος θεωρεί το μήκος σταθερό. Συνεπώς η δική σου δυναμική ενέργεια οφείλεται στην αλλαγή μήκους (εξ' ου και τα περί ελαστικότητας), ενώ στο μοντέλο του Νίκου, κατά τον ίδιο (και αν τον ερμηνεύω σωστά) δεν υφίσταται αλλαγή μήκους.
Προσωπικά δεν μπορώ να φανταστώ κατά κυριολεξία σταθερό μήκος, αλλά ακόμη και αν το προσεγγίσουμε έτσι, θα εμφανιστεί δυναμική ενέργεια εξ αιτίας της αλλαγής του σχήματος της χορδής από ευθύγραμμο σε καμπύλο. Για μικρές δε παραμορφώσεις στον κατακόρυφο άξονα, θα εμφανιστεί μία δύναμη αντίθετη και ανάλογη της κλίσης της χορδής. Δεν χρειάζεται κάτι άλλο για να ορίσουμε δυναμική ενέργεια.
Προσπαθώ από χθες να μελετήσω πώς θα λειτουργούσε ένα γραμμικό σύστημα μαζών και νημάτων σταθερού μήκους (για να προσεγγίσω το μοντέλο του Νίκου) σε μία κατακόρυφη διαταραχή. Αν βγάλω άκρη θα το δημοσιεύσω στο Υλικό. Το μοντέλο αυτό φυσικά, δεν είναι δικό μου, υπάρχει κατά τμήματα στην βιβλιογραφία.
Στάθη αναμένω το κείμενο.
Νίκο κρατιέμαι μεν , δεν κατανοώ κάποια δε.
Γιατί αυξάνεται χωρίς λόγο η ενέργεια της χορδής;
Ο παλμός την αυξάνει. Όποιος παρήγαγε τον παλμό, πρόσφερε ενέργεια.
Γιατί εμμονή η κίνηση στον y άξονα;
Δεν υπάρχουν εγκάρσια κύματα;
Έστω ότι έχουμε μια μικρή x απόκλιση. Θα πάψει το τμήμα να έχει παραμόρφωση και επομένως δυναμική ενέργεια;
Είναι προφανές ότι στο μηχανικό ανάλογοπ που προσομοίωσα υπάρχει και δυναμική και κινητική ενέργεια του κάθε τμήματος.
Μάλιστα υπολογίζεται. Η ισότητα των δύο ενεργειών εξασφαλίζει το ότι θα ακινητοποιηθεί το τμήμα μετά την διέλευση του παλμού.
Ίσως όμως άλλο εννοείς που δεν κατάλαβα ακόμα.
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Νίκο, ήμουν ο πρώτος που αντέδρασα με σχόλιό μου στην ανάρτησή σου και στα συμπεράσματα που καταλήγεις…
Όταν όμως στη συζήτηση μπήκε ο Στάθης και ο Γιάννης, αποφάσισα να σας παρακολουθήσω, να δω που θα καταλήξετε!
Βλέπω όμως να μην οδηγείται πουθενά η συζήτηση, ενώ διαβάζω και “παράπονα” ότι:
“Να σου εξομολογηθώ κάτι Γιάννη. Μόνο ο Στάθης έκανε κάποια κριτική στην εργασία μου. Τι να υποθέσω δηλαδή;”
ή διαβάζω την θέση ότι:
“Γιάννη δεν έχει σημασία μόνο η δυναμική ενέργεια αλλά η σύγκρισή της με την κινητική.”
Όλα αυτά τα βλέπω αντιφατικά και νομίζω ότι χρειάζεται μια προσπάθεια, μήπως και πάμε ένα βήμα παραπέρα και αν όχι, τουλάχιστον να είναι ξεκάθαρες οι απόψεις όλων, για ένα αναγνώστη μας.
Οι προσωπικές μου απόψεις υπάρχουν στην ανάρτηση του καλοκαιριού:
Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.
όπου έχω αποδείξει ότι η πυκνότητα της κινητικής ενέργειας είναι ίση με την αντίστοιχη της δυναμικής. Αλλά εδώ μπορεί κάποιος να δει και την εφαρμογή της στο τριγωνικό παλμό που έβαλε παραπάνω ο Γιάννης.
Θα μου πεις βέβαια Νίκο ότι:
“Εμένα πράγματι μ΄ ενδιαφέρει η θεωρητική θεμελίωση γιατί είμαι σχολαστικός και άνθρωπος του “ορθού δρόμου” (και μάλιστα σε βαθμό που γίνομαι βαρετός). Όμως τη σχολαστικότητα και τον ορθό δρόμο τα θεωρώ απαραίτητα στη φυσική και έχω την αίσθηση ότι, στην ελληνική μέση εκπαίδευση, έχουμε ξεφύγει απ΄ αυτά.”
Αφού:
“Νομίζω ότι δεν συνενοούμαστε γιατί μιλάμε διαφορετικές γλώσσες. Είμαι της μαθηματικής σχολής. Είσαι της σχηματικής. ”
Εντάξει οι διαφορετικές γλώσσες σε εμποδίζουν να συμφωνήσεις με το Γιάννη ή με μένα, αλλά με το Στάθη;
Νομίζω ότι ο Στάθης (ένας άνθρωπος ευγενέστατος, τον οποίο γνώρισα από κοντά πριν δυο μέρες και χαίρομαι ιδιαίτερα για τη γνωριμία αυτή), είναι Νίκο του “ορθού δρόμου”. Αλλά ούτε και με τις διαπιστώσεις του συμφωνείς!!!
Το σχόλιό του εδώ, για μένα ήταν απόλυτα διαφωτιστικό, αν και ανήκω στην “σχηματική σχολή”!!!, για σένα τι λέει;
Αλλά για να ξεκαθαρίσουμε λίγο το τοπίο.
Διαβάζω Νίκο εδώ:
Εδώ η χορδή έχει δυναμική ενέργεια;
Αλλά και:
Πυκνότητα δυναμικής ενέργειας χορδής:
Διαβάζω ακόμη:
Ροή ενέργειας και πυκνότητα ενέργειας στο εγκάρσιο κύμα.
Τελικά υπάρχει δυναμική ενέργεια Νίκο ή είναι μηδενική κατά τη διάδοση εγκάρσιου κύματος;
Διονύση έχεις δίκιο. Ξεκίνησα να το ψάχνω, θα το ψάξω καλύτερα. Πάντως μεταξύ των καλοκαιρινών αναρτήσεων και της τωρινής, προτιμώ την τωρινή.
Γιάννη, σε προηγούμενο σχόλιο είχα παραθέσει την παρακάτω εικόνα:
Στην κάτω εικόνα το τμήμα ΑΒ κινείται σε κυκλικό τόξο και φτάνει στη χορδή χωρίς να επιμηκύνεται. Βλέπεις λοιπόν ότι με μια ελάχιστη απόκλιση από την καθετότητα, καταργείται η επιμήκυνση. Αρα τα σημεία σου έχουν μια φοβερή εμμονή με τον y άξονα.
Οι παρατηρήσεις των φυσικών συστημάτων δείχνουν ότι όλα τείνουν να ελαχιστοποιήσουν την δυναμική τους ενέργεια. Στην περίπτωση δονούμενης χορδής ανάμεσα σε ακλόνητα σημεία, αυτό μπορεί να επιτευχθεί με ομογενοποίηση της επιμήκυνσης. Το σύστημα δίνει κάποια από τη δυναμική του ενέργεια για να πάρει κινητική.
Αλλά δεν είπες τίποτα για το πρόβλημα #3. Μήπως πρέπει να στο εξηγήσω καλύτερα;
Δεν υπήρχε λάθος στις δημοσιεύσεις Διονύση. Μόνο μια παράβλεψη εκ μέρους μου.
Η Εξ. (10) στη μια και η Εξ. (10) στην άλλη, που δίνουν τη δυναμική ενέργεια ως προς το τετράγωνο της διαφοράς του οδεύοντος και του επιστρέφοντος κύματος ταχύτητας (τα v+ και v-) καταλήγουν να δώσουν p=T/2 η μια και p=T/2+r η άλλη. Δηλαδή η δυναμική ενέργεια του κύματος είναι σταθερά.
Δεν το είχα δει το καλοκαίρι γιατί δεν είχα προσέξει κάποιους συσχετισμούς.
Τα τμήματα της χορδής διαγράφουν κυκλικά τόξα;
Βάλε στο τεράστιο ελατήριο του σχολείου ένα χαρτάκι σε μία σπείρα. Προκάλεσε παλμό μεγάλου πλάτους.
Θα δεις το χαρτάκι να κάνει τόξο κύκλου;
Το ότι δεν υπάρχει γραμμικότητα στην περίπτωση μεγάλου πλάτους δεν μας ενδιαφέρει. παραδοχή για να ισχύσει η Δ.Ε. είναι.
Η διευθύνσεις ταλαντώσεων δεν αλλάζουν.