by 
Παρουσιάζω εδώ μια αναλυτική μελέτη της ενεργειακής πυκνότητας ενός εγκάρσιου κύματος σε τεντωμένη χορδή. Η μελέτη αυτή είναι στα βήματα μιας μελέτης που παρουσίασα πρόσφατα για την ενεργειακή πυκνότητα διαμήκους κύματος σε τεντωμένη χορδή. Καταλήγω στο συμπέρασμα ότι στο εγκάρσιο κύμα η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική.
Η μελέτη εδώ.
Νίκο ποιο είναι το πρόβλημα #3;
Διονύση, Γιάννη, Στάθη και λοιποί ενδιαφερόμενοι.
Δίνω παρακάτω το σύνδεσμο που παραπέμπει στο κεφάλαιο 4 ενός βιβλίου για τα κύματα:
Κεφάλαιο 4
Μελετήστε την παράγραφο 4.4 και είδικά το REMARK
Αυτό που καταλήγει ότι είναι "ελαφρώς παράλογο" η εφαπτόμενη να είναι παντού παράλληλη με τον άξονα.
Νίκο πήγα στην 4.4.
Βρήκα μια σχέση την οποία επισυνάπτω μαζί με σχέση που είχα γράψει στην “Ενέργεια τμήματος χορδής”.
Μπορείς να εντοπίσεις κάποια διαφορά;
Εκτός αν εννοείς την διαφορά συμβολισμού (F και Τ).
Η παραπομπή σου σε τι διαφωνεί με όσα πολλοί έχουμε γράψει;
Δεν βλέπω κάτι παράλογο:
Δεν έκανα σχήμα της προκοπής αλλά καταλαβαίνεις.
Όσο για το ρημάρκ ταιριάζουν όσα λέει με το:
Γιάννη, όχι, το ρημάρκ δεν ταιριάζει με το συμπέρασμά μου. Ο συγγραφέας αναφέρεται σε μια χορδή ανάμεσα σε ακλόνητα σημεία που όταν τη διεγείρεις επιμηκύνεται και, κατά συνέπεια, αποκτά δυναμική ενέργεια. Στη δουλειά μου το ένα από τα δυο σημεία, αντί να είναι σταθερό, βρίσκεται υπό σταθερή δύναμη. Καθώς δονείται η χορδή η δυναμική ενέργεια δεν βρίσκεται στις αυξομειώσεις του μήκους της αλλά στις κινήσεις που κάνει το βάρος που την κρατάει τεντωμένη υπό σταθερή δύναμη.
Έχει λοιπόν το βάρος τη δυναμική ενέργεια και η χορδή την κινητική.
Γιάννη είναι γνωστό σε όλους το πάθος σου με τα σχήματα. Αλλά δεν χρειάζεται σχήμα για να δεις το παράλογο. Πως είναι δυνατόν η εφαπτομένη σε κάθε σημείο μιας δονούμενης χορδής να είναι παράλληλη με τον x-άξονα; Μόνο στα ακρότατα συμβαίνει αυτό.
Καλημέρα Νίκο.
Φοβάμαι ότι δεν διαβάζουμε το ίδιο βιβλίο!!!
Τι γράφει το απόσπασμα που μας έδωσες;
Αυτή είναι η δυναμική ενέργεια σε μήκος dx. Συμφωνούμε;
Προέκυψε από μια σειρά Τaylor και είναι προσέγγιση; Βεβαίως.
Την ίδια προσέγγιση είχα κάνει και το καλοκαίρι. Εσύ το αρνιόσουν.
Αλλά και στην παρατήρηση, τι ακριβώς υποστηρίζει το βιβλίο; Ότι μπορεί οι προσεγγίσεις να μας παίξουν παιχνίδια; Ε και; Αρνείται την ύπαρξη δυναμικής ενέργειας; Όχι απλά προχωρά στην πραγματικότητα σε προσέγγιση γράφοντας:
Επειδή το έργο είναι Τ∙dl (αλήθεια θυμάσαι την διαφωνία μας για το έργο αυτό; Μήπως δεν δεχόσουν δυναμική ενέργεια που υπολόγισα, παίρνοντας το έργο αυτό;) είναι γραμμική συνάρτηση του dl η «total potential energy», η ολική δυναμική ενέργεια είναι ανεξάρτητη από τις συγκεκριμένες λεπτομέρειες τεντώματος της χορδής.
Δηλαδή η μέση δυναμική ενέργεια «And since we will rarely be concerned with more than the average, we can use Eq. (48), and everything is fine.» αν μας ενδιαφέρει χονδρικά η μέση δυναμική ενέργεια, μένουμε στην (48) και όλα είναι καλά.
Άρα; Άρα μάλλον είσαι υποστηριχτής της εξίσωσης (48) και «everything is fine»!
Κατά σύμπτωση την εξίσωση (48) υποστήριζα από το καλοκαίρι, αφού υπολόγισα:
Αρκεί να αντικαταστήσεις το μυ2=Τ και έχεις την (48)…
«even though it may be incorrect at individual points» κοίτα όμως σύμπτωση! Όλη η δική μου προσπάθεια δεν αναφερόταν στη μέση
ενέργεια, αλλά στην ενέργεια μιας συγκεκριμένης στοιχειώδους μάζας, που βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο σημείο, σε μια συγκεκριμένη θέση, αποδεικνύοντας ότι αυτή συνδέεται με την κλίση ∂y/∂x, συνεπώς με την συγκεκριμένη παραμόρφωση της χορδής στο σημείο αυτό.
Τέλος πάντων, ας μην το ταλαιπωρούμε άλλο.
Αλλά διαβάζω σήμερα το πρωί κάτι άλλο ότι:
«Στη δουλειά μου το ένα από τα δυο σημεία, αντί να είναι σταθερό, βρίσκεται υπό σταθερή δύναμη. Καθώς δονείται η χορδή η δυναμική ενέργεια δεν βρίσκεται στις αυξομειώσεις του μήκους της αλλά στις κινήσεις που κάνει το βάρος που την κρατάει τεντωμένη υπό σταθερή δύναμη.»
Επειδή εγώ, όπως έχεις πει είμαι της σχεδιαστικής χορδής, τι ακριβώς εννοείς; Έχουμε δηλαδή την διπλανό χορδή με το βάρος w στο άκρο της και θέτουμε σε ταλάντωση το άκρο της Ο; Οπότε η χορδή δεν παραμορφώνεται και η δυναμική ενέργεια «πάει στο βάρος»; Και αυτό πως γίνεται; Ανεβοκατεβαίνει το σώμα; Γιατί εγώ το βλέπω να ταλαντώνεται και αυτό οριζόντια;
Διονύση, ενώ ο συγγραφέας στο κυρίως κείμενο αναπτύσσει το μοντέλο των τοπικών παραμορφώσεων με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που το είχες κάνει και συ, στην παρατήρηση παραδέχεται ότι τα σημεία μιας πραγματικής χορδής δεν θα κινούνται παράλληλα στον y-άξονα από μόνα τους εκτός αν αυτή η συνθήκη τους επιβληθεί εξωτερικά. Καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η τιμή αυτή για την δυναμική ενεργεια δεν είναι παρά μια μέση τιμή.
Εγώ, στην τωρινή μου ανάρτηση προσέθεσα τα εξής στοιχεία:
Υπ΄ αυτές τις συνθήκες εγώ δεν βλέπω ούτε δυναμική ενέργεια στη χορδή ούτε πυκνότητα δυναμικής ενέργειας στο σημείο x τη στιγμή t. Δυναμική ενέργεια θα έχει μόνο το βάρος που θα αυξομειώνεται καθώς αυτό θα κουνιέται πάνω-κάτω.
Νίκο γενηθήτω το θέλημά σου:
Φυσικά υπάρχει δυναμική ενέργεια στο τμήμα που έχει εκτραπεί.
Η καταγραφείσα είναι η μεταβολή της, διότι υπάρχει μια αρχική δυναμική από το τέντωμα.
Οπότε μηδέν δεν είναι.
Γιάννη, αν η χορδή δεν έχει ελαστικότητα, δεν βλέπω πως μπορεί να έχει δυναμική ενέργεια.
Τώρα έχουμε ένα σύνθετο σύστημα που αποτελείται από μια δονούμενη χορδή και μια μάζα στο πεδίο βαρύτητας. Η χορδή έχει κινητική ενέργεια ενώ η μάζα κινητική και δυναμική. Ισχύει η ΑΔΜΕ;
Δεν υπάρχει σώμα στο οποίο διαδίδονται κύματα και δεν έχει ελαστικότητα.
Ακόμα και μια ατσαλένια ράβδος έχει ελαστικότητα.
Εσύ μάλλον θέλεις μια αλυσίδα με κρίκους rigid bodies. Θέλεις να τεντώνεται από δύναμη αυτήν του κρεμασμένου βάρους.
Έτσι δυναμική ενέργεια να έχει μόνο το βάρος. Καταλαβαίνω καλά;
Σε μια χορδή, χωρίς καμμία ελαστικότητα, μπορούν να διαδοθούν εγκάρσια κύματα εκτός κι αν και τα δυο άκρα της είναι ακλόνητα. Τα κύματα που έχουν απόλυτη ανάγκη την ελαστικότητα είναι τα διαμήκη.
Με τον ίδιο τρόπο που μελετάμε πχ την κίνηση ενός αμαξιδίου που το τραβάμε με ένα μη ελαστικό νήμα, ή την κίνηση του εκκρεμούς που το νήμα του δεν έχει ελαστικότητα, μπορούμε να μελετήσουμε εγκάρσιες κυμάνσεις μη ελαστικής χορδής.
Μιλάμε δηλαδή για ένα κύμα που τρέχει σε κρεμασμένο κομπολόι;