by 
Παρουσιάζω εδώ μια αναλυτική μελέτη της ενεργειακής πυκνότητας ενός εγκάρσιου κύματος σε τεντωμένη χορδή. Η μελέτη αυτή είναι στα βήματα μιας μελέτης που παρουσίασα πρόσφατα για την ενεργειακή πυκνότητα διαμήκους κύματος σε τεντωμένη χορδή. Καταλήγω στο συμπέρασμα ότι στο εγκάρσιο κύμα η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική.
Η μελέτη εδώ.
Γιάννη δε με κατάλαβες. Θα στο εξηγήσω διαφορετικά.
Κρεμάς στο ταβάνι δύο χορδές 1 m και τους κρεμάς από 1 N στην καθεμία. Οι χορδές έχουν όλα τα χαρακτηριαστικά κοινά εκτός από την ελαστική σταθερά: η χορδή Α έχει 10πλάσια ελαστική σταθερά από τη Β.
Αν διεγείρεις εγκάρσιες κυμάνσεις ίσου πλάτους και στις 2 θα παραχθούν τα ίδια ακριβώς κύματα αφού τα εγκάρσια κύματα δεν εξαρτώνται από την ελαστική σταθερά. Η κινητική ενέργεια του σημείου x τη στιγμή t στην Α χορδή θα είναι ίση με την κινητική ενέργεια του σημείου x τη στιγμή t στην Β χορδή. Λόγω όμως των διαφορετικών ελαστικών σταθερών, οι αντίστοιχες δυναμικές ενέργειες λόγω επιμήκυνσης θα διαφέρουν.
Επομένως, πως μπορεί να ισχύει η σχέση: "πυκνότητα κινητικής ενέργειας=πυκνότητα δυναμικής ενέργειας λόγω επιμήκυνσης;"
Καλημέρα Νίκο.
Στο παράδειγμα που λες, γιατί διαφέρουν οι δυναμικές ενέργειες για μικρές εκτροπές;
Το στοιχειώδες έργο δεν είναι F.dl ;
Θα στείλω ένα σχήμα.
Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται σε μια χορδή.
Το πράσινο τμηματίδιον της χορδής επιμηκύνεται.
Μην εστιάσουμε στο αν κινείται μόνο κατακόρυφα ή και οριζόντια.
Το τμηματίδιο δέχεται στα άκρα του την τάση F της χορδής. Παράγεται έργο (επί του τμηματιδίου) ίσο με F.dl.
Το έργο αυτό είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις που ανέφερες, διότι ίδιες δυνάμεις τείνουν τις χορδές και ίδια κύματα προκαλέσαμε, οπότε ίδια είναι τα dl.
Δεν εμπλέκεται το k της χορδής κάπου.
Άλλη αυτή η δυναμική ενέργεια και άλλη η δυναμική ενέργεια που έχει αποκτήσει η χορδή. Όταν τεντώναμε τις δύο χορδές προσφέραμε διαφορετικά έργα, διότι έχουν διαφορετική σκληρότητα. Όμως έχουμε δύο χορδές που τείνονται από ίδιες δυνάμεις. Το F.dl είναι αύξηση δυναμικής ενέργειας που προσφέρεται στο τμηματίδιο από το κύμα. Δεν μας απασχολεί πόση ενέργεια έχει ήδη προσφέρει ο χορδιστής όταν τέντωνε την χορδή.
Σε προηγούμενο σχόλιο είχα επικαλεστεί το παράδειγμα του τόξου.
Πως είναι ίδια τα dl βρε Γιάννη; Όταν σε μια μαλακή χορδή και σε μια σκληρή έχεις τα ίδια dl, αυτό σημαίνει ότι η τείνουσα δύναμη στη μαλακή είναι μικρότερη από αυτή στη σκληρή.
Σύμφωνα με τη δική σου τη θεώρηση βέβαια, στην οποία ένα κύμα εγκάρσιων μετατοπίσεων γίνεται η πηγή δημιουργίας ενός κύματος διαμήκων επιμηκύνσεων δημιουργώντας ένα μόρφωμα που θα μπορούσε να ονομαστεί "εγκαρσιοδιαμήκες κύμα" κάτι που προσωπικά θεωρώ εξωφρενικό, τα dl είναι ίδια αφού προκύπτουν από εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος σε δυο ίδια εγκάρσια κύματα. Αλλά ίδια dl σε υλικά διαφορετικής σκηρότητας συνιστούν διαφορετικές δυναμικές ενέργειες.
Θα σε ρωτήσω κάτι άλλο: δέχεσαι ότι σε μια χορδή άπειρης σκληρότητας θα μπορούσαμε να προκαλέσουμε εγκάρσιο κύμα δένοντας το άκρο της στο ταβάνι και κρεμώντας ένα βάρος στο άλλο της άκρο;
Νίκο εσύ γράφεις ότι:
Αν διεγείρεις εγκάρσιες κυμάνσεις ίσου πλάτους και στις 2 θα παραχθούν τα ίδια ακριβώς κύματα αφού τα εγκάρσια κύματα δεν εξαρτώνται από την ελαστική σταθερά.
Δικά μου λόγια είναι ή δικά σου;
Αφού λες τα ίδια ακριβώς κύματα , δεν θα προκληθεί σε κάθε τμήμα η ίδια παραμόρφωση;
Τα μόρια του ελαστικού μέσου δεν θα είναι και στις δύο περιπτώσεις στις ίδιες θέσεις;
Εσύ δεν το είπες αυτό;
Ρωτάς έπειτα αν σε μια χορδή άπειρης σκληρότητας θα μπορούσαμε να προκαλέσουμε εγκάρσιο κύμα δένοντας το άκρο της στο ταβάνι και κρεμώντας ένα βάρος στο άλλο της άκρο;
Το παιγνίδι με το άπειρο το αποφεύγω όπως ο διάολος το λιβάνι.
Αν κρεμάσουμε 20 κιλά σε μια χορδή άρπας, μπορούμε.
Μου έδωσες ιδέα όμως και θα γράψω κάτι για έργα επί ήδη τεντωμένων χορδών.
Μέχρι τότε ας ξαναπώ ότι άλλο είναι η συνολική παραμόρφωση (<=> συνολικό έργο) και άλλο η επιπλέον παραμόρφωση (<=> επιπλέον έργο). Με πιο απλά λόγια το dl δεν είναι η συνολική παραμόρφωση.
Έχεις δίκιο Γιάννη. Τα ίδια ακριβώς κύματα δημιουργούνται σε δύο ακριβώς ίδιες χορδές αν διεγερθούν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Οι χορδές μας δεν είναι ίδιες ακριβώς γιατί έχουν διαφορετικές ελαστικές σταθερές.
Θα δημιουργηθούν ωστόσω ίδια εγκάρσια κύματα. Και επειδή εσύ υπολογίζεις τις "επιπλέον παραμορφώσεις" μέσω των εγκαρσίων παραμορφώσεων και της γεωμετρίας, θα υπολογίσεις ασφαλώς και τις ίδιες τοπικές επιμηκύνσεις στα δύο κύματα. Οι πυκνότητες δυναμικής ενέργειας, βέβαια, δεν θα είναι ίδιες γιατί οι ελαστικές σταθερές είναι διαφορετικές.
Εσύ Γιάννη καλά κάνεις και αποφεύγεις να παίζεις με το άπειρο. Όμως τι διαφέρει μια χορδή από πολύ σκληρό ατσάλι που στο άκρο της κρεμάς ένα βάρος 0,1 Ν από μια χορδή άπειρης σκληρότητας;
Λες ότι:
Οι πυκνότητες δυναμικής ενέργειας, βέβαια, δεν θα είναι ίδιες γιατί οι ελαστικές σταθερές είναι διαφορετικές.
Όμως ποιας δυναμικής ενέργειας;
Όπως και στις ταλαντώσεις άλλο είναι η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και άλλο αυτή του ελατηρίου.
Στην πρόσφατη ανάρτησή μου άλλο είναι η δυναμική ενέργεια του λάστιχου και άλλο η δυναμική ενέργεια που "αποθηκεύουμε" τραβολογώντας τα έμβολα.
Οι δύο περιπτώσεις έχουν αναλογίες.
Υπέθεσε ότι το dx στο ένα ελατήριο έχει ελαστική σταθερά k. Το dx στο άλλο έχει 10k.
Και τα δύο επιμηκύνονται σε dl. Άρα έχουν επιμήκυνση dl-dx.
Το ένα θα αποκτήσει δυναμική ενέργεια 1/2k(dl-dx)^2.
Το άλλο θα αποκτήσει δυναμική ενέργεια 1/2*10k(dl-dx)^2.
Νίκο ενώ κατά πρώτον ακόμα, περιμένω μία απάντηση για την κυματική εξίσωση του "ευκλείδιου", άρα σταθερού, μοναδιαίου σουπάρχει.
Δεύτερον, στην κυματική εξίσωση των εγκαρσίων κυμάτων εμφανίζεται μόνον η τάση ενώ στην αντίστοιχη των διαμηκών το μέτρο ελαστικότητας. Μάλιστα για να περάσεις από την μία εξίσωση στην άλλη αρκεί να αντικαταστήσεις το ένα με το άλλο. Απλά η δυναμική ενέργεια την μία φορά οφείλεται στην κατακόρυφη συνιστώσα της τάσης και την άλλη στην ελαστικότητα. Ποιος είπε ότι δυναμική ενέργεια απαιτεί μέτρο ελαστικότητας;
Και ένα τρίτο. Από την παραπάνω συζήτηση με τον Γιάννη τελικά δέχεσαι ή όχι δυναμική ενέργεια; Και τι πάει να πει ότι αυτό που μετράει είναι η σύγκριση της δυναμικής με την κινητική;
Διορθώνω την πρώτη πρόταση.
Περιμένω την απάντησή σου για την κυματική εξίσωση του ευκλείδιου, άρα σταθερού, διανύσματος e.
Στάθη ας τα πάρουμε ένα-ένα.
Κατ΄ αρχήν, αν έχεις γνώσεις μη ευκλείδιων χώρων είσαι πιο μορφωμένος από μένα.
Επειδή όμως και γω δεν έχω πλήρη άγνοια από μη ευκλείδιους χώρους, ας το συζητήσουμε λίγο σε βάθος.
Το επίπεδό μου σ΄ αυτή την περιοχή δεν μου επιτρέπει να κατανοήσω γιατί ένα ευκλείδιο διάνυσμα πρέπει να είναι σταθερό.
Μήπως μπορείς να μου το εξηγήσεις;
Κάνεις λάθος Νίκο. Υπάρχει ήδη τέντωμα και οι δυναμικές είναι με εκπληκτική προσέγγιση ίδιες.
Το πως και το γιατί το εξήγησα ήδη στην ανάρτηση:
"Να συγκριθούν τα έργα των δυνάμεων"
Υπέθεσα ότι θα το διαβάσεις. Εκεί δυο ήδη τεντωμένα λάστιχα, "τραβιούνται" ένα πόντο. Παρά το ότι έχουν διαφορετικές σταθερές, παράγεται ίδιο έργο. Η αύξηση της δυναμικής ενέργειας (εκλαμβανόμενη ως δυναμική ενέργεια) είναι ίδια.
Στις χορδές συμβαίνει ακριβώς το ίδιο.
Νίκο ένας ευκλείδιους χώρος ορίζεται ακριβώς από το ότι τα μοναδιαία του διανύσματα είναι σταθερά κατά φορά και μέτρο (μοναδιαία μετρική). Μοναδιαία σε καμπύλους χώρους (πχ σφαιρικές, μη κανονικοποιημένες συντεταγμένες) μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο κατά φορά και διεύθυνση (μη σταθερή μετρική). Μοναδιαία πάντα εφαπτόμενα σε καμπύλες ανήκουν στην δεύτερη κατηγορία συνήθως. Ο μοναδικός τρόπος για να τα εντοπίσεις είναι από το εσωτερικό τους γινόμενο με τον εαυτό τους, μονάδα στην πρώτη περίπτωση, μη σταθερό στην δεύτερη.
Το Υλικό για μένα είναι μία όαση στην οποία μπορώ να συζητήσω, όπως τώρα, για πράγματα που μας ενδιαφέρουν. Χθες είχα την τύχη να γνωρίσω πολλούς συναδέλφους, οι οποίοι όλοι τους ήταν πολύ ευγενικοί άνθρωποι. Το σχόλιό σου περί μορφώσεως με κάνει να νιώθω άβολα, συγγνώμη αν φάνηκα πιεστικός. Δεν ήταν πρόθεσή μου.
Γιάννη, όντως, το κατάλαβα.
Η θεώρησή σου επί του εγκάρσιου κύματος τεντωμένης χορδής είναι επομένως η εξής:
Σε μια καλά τεντωμένη χορδή κιθάρας προκαλούμε μια διαταραχή και δημιουργείται ένα κύμα. Εισάγουμε ένα μοντέλο κάθετων ταλαντώσεων των σημείων της χορδής με βάση το οποίο προσδιορίζουμε την πυκνότητα δυναμικής και κινητικής ενέργειας των σημείων της χορδής και βρίσκουμε ότι είναι ίσες. Για να ισχύει το μοντέλο αυτό πρέπει η τάση της χορδής να είναι συνάρτηση των x και t.
Να σου εξομολογηθώ κάτι Γιάννη. Μόνο ο Στάθης έκανε κάποια κριτική στην εργασία μου. Τι να υποθέσω δηλαδή;