by 
Αφορμή αυτής της ανάρτησης είναι μία παλαιότερη συζήτηση στο Υλικό από μία ανάρτηση του Δημήτρη Γκενέ, με τίτλο Δύναμη σε περιοχή επιταχυνόμενης ροής, καθώς και η συζήτηση στην ανάρτηση Μια τρύπα στο νερό και η Αρχή του Αρχιμήδη.
Ένα από τα σπουδαιότερα θεωρήματα της μηχανικής των υγρών είναι το θεώρημα του Euler, η απόδειξη του οποίου δεν απαιτεί δύσκολα μαθηματικά (θα μπορούσε άνετα να είναι κομμάτι της ύλης στην Γ΄ Λυκείου).Είναι κομβικής σημασίας για την κατανόηση και τον υπολογισμό των δυνάμεων που ασκούνται σε μία ποσότητα υγρού, κατά την μόνιμη ροή της σε μία φλέβα.
Επίσης ένα σημαντικό αποτέλεσμα του θεωρήματος είναι και το παράδοξο του d’ Alembert για την περίπτωση της κίνησης ενός στερεού μέσα σε μια ομοιόμορφη ροή, ιδανικού, ασυμπίεστου ρευστού, το οποίο αναδεικνύει τα όρια της προσέγγισης του να αγνοούμε το ιξώδες στα υγρά.
Το αρχείο: Υγρά: Euler και d’ Alembert
Μπράβο Στάθη!
Τόσο απλή παρουσίαση!
Συμπτωματικά διάβαζα χθες και σήμερα για το παράδοξο. Γράφτηκε ότι αν υπήρχε αντίσταση στην κίνηση ενός σώματος τότε για να το κινήσω εγώ με σταθερή ταχύτητα θα έπρεπε να ασκώ δύναμη και επομένως να παράγω έργο. Τότε (απουσία ιξώδους) η κινητική ενέργεια του ρευστού θα αύξανε επ’ άπειρον.
Ο Αλεξόπουλος το παρουσιάζει γράφοντας ότι σε μια πλάκα τοποθετημένη κάθετα στη ροή, δημιουργούνται σημεία αποκοπής ταχύτητας μπρος και πίσω. Με χρήση της σχέσης Μπερνούλι, βγάζει ισότητα πιέσεων.
Όμως ότι έγραψες είναι πιο απλό και ταυτόχρονα πιο γενικό.
Κάνε μόνο μια διόρθωση λίγο πριν την “πράσινη σχέση”:
δS2υ2 αντί δS1υ2
Εκτός αν κάτι δεν κατάλαβα.
Γιάννη έχεις δίκιο. Ο δείκτης μου ξέφυγε κατά λάθος.
Καλησπέρα Στάθη.
Σε ευχαριστώ για την ανάρτηση. Πολύ καλή απόδοση και ουσιαστικά τα συμπεράσματά της.
Περιμένουμε και … συνέχεια!!!
Ευχαριστώ Διονύση
… και για το σχήμα!
Δεν ξέρω αν η απλούστευση που κάνω (μόνο για το παράδοξο d’ Alembert) παρακάτω είναι σωστή.
Παίρνουμε τον μεγάλο κύλινδρο για τον οποίο μίλησες. Μια μαζούλα νερού προχωράει στο αριστερό μέρος και μια άλλη ίση μ’ αυτήν στο δεξί. Λόγω σταθερής διατομής, έχουν ίδιες ταχύτητες. Η ορμή του νερού δεν μεταβάλλεται.
Συνεπώς η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν κατά τον άξονα x (άξονας κυλίνδρου).
Όμως ένα ιδανικό ρευστό δεν μπορεί να δεχθεί από τα τοιχώματα δύναμη έχουσα διεύθυνση x. Έτσι το σώμα δεν ασκεί δύναμη στο ρευστό. Επομένως ούτε δέχεται δύναμη.
Τα υπόλοιπα όπως τα είπες. Αν κινείται το σώμα, ένας παρατηρητής επί του σώματος βλέπει ροή μόνιμη.
Συμπεραίνει ότι το υγρό δεν δέχεται δύναμη. Επομένως ούτε το σώμα.
Είναι αδρανειακός και βλέπει τις δυνάμεις που και εμείς βλέπουμε.
Επομένως ούτε εμείς διαπιστώνουμε κάποια δύναμη ασκούμενη στο σώμα.
Καλησπέρα Στάθη.
Ωραία δουλειά και όντως εύκολα παρουσιάσιμη σε Λυκειακό επίπεδο.
Και μια απορία, μιας που έγινε αναφορά στο 'Μια τρύπα στο νερό'. Όπως το αντιλαμβάνομαι το κεφάλαιο των Ρευστών πραγματεύεται μεταβολές μεγεθών όπως ταχύτητα ροής ή πίεση κατά τη ροή ιδανικού ρευστού. Δηλαδή το αντικείμενο μελέτης είναι το ίδιο το ρευστό. Είναι λοιπόν εντός 'κλίματος' ασκήσεις – όπως αυτές που ανέφερε ο Γιάννης από το ΨΕΒ εδώ, όπου το αντικείμενο μελέτης είναι ένα κινούμενο σώμα σε ιδανικό ρευστό, ιδιαίτερα μάλιστα όταν η περιγραφή αυτής της κίνησης φαίνεται να είναι προβληματική;
Πολύ ωραία Στάθη.
Γιάννη αυτό που γράφεις είναι.
Και εγώ κατά σύμπτωση διάβαζα πριν λίγες ημέρες από τη βιβλιογραφία 3 που ανέφερε ο Στάθης.
Γιάννη, το καταλαβαίνω και εγώ όπως το λες.
Αυτό που μου αρέσει στο θεώρημα του Euler όμως είναι ότι αντιμετωπίζει ολόκληρη την ποσότητα του νερού που περιβάλλει το στερεό, χωρίς να ασχολείται με ένα στοιχείο νερού πριν και μετά από αυτό. Γενικά αυτό το "σπάσιμο" των υγρών σε στοιχεία (χωρίς να είναι λάθος στις συγκεκριμένες προσεγγίσεις, ιδανικό, ασυμπίεστο, μόνιμη ροή) με φοβίζει προσωπικά. Αυτό είναι και το πρόβλημά μου με την απόδειξη της εξίσωσης Bernoulli όπως την έχει το σχολικό…
Αποστόλη και Νίκο, σας ευχαριστώ.
Αποστόλη δεν έχω δει τις ασκήσεις που αναφέρεις από το ΨΕΒ και φεύγω για δουλεία. Θα το κοιτάξω μόλις επιστρέψω.
Πολύ ωραία και πολύ ενδιαφέρουσα παρουσίαση Στάθη. Ίσως και σε λυκειακό επίπεδο να ήταν δυνατή η παρουσίαση της με τη δική σου εκδοχή και του Γιάννη.
Ευχαριστώ Τάσο.
Τάσο η εκδοχή η δική μου είναι αντιγραφή αυτής του Στάθη.
Σκεφτόμουν το θέμα διότι διάβαζα γι' αυτό πολύ πρόσφατα. Σκεφτόμουν να αναρτήσω το παράδοξο.
Μόνο αυτό, διότι δεν γνώριζα το θεώρημα.
Ως "απόδειξη" του παραδόξου σκεφτόμουν το εξής:
Κινώ οριζόντια μέσα στο νερό, ένα σώμα τραβώντας το με δύναμη. Επειδή η (σχετική) ροή είναι μόνιμη, δεν αυξάνεται ούτε η κινητική ενέργεια του συστήματος, ούτε η δυναμική (οριζόντια γαρ). Έτσι δεν παράγω έργο. Δηλαδή η δύναμη είναι μηδενική.
Όμως η απόδειξη του Στάθη είναι πολύ καλύτερη. Δεν θα την σκεφτόμουν ποτέ.
Γιάννη μακάρι να ήταν δική μου…
Γιάννη, κατάλαβα ότι η απόδειξη σου είναι του Στάθη. όμως η εκδοχή σου για το παράδοξο μου κάνει πιο βατή για διδασκαλία στο λύκειο. Αυτό εννοούσα.
Καλησπέρα Στάθη
Καλησπέρα Συνάδελφοι
Εξαιρετική εργασία που περιγράφει απλά ( αλλά όχι απλοϊκά ) την κατάσταση
Ευχαριστώ τον συνάδελφο Στάθη Λεβέτα
Νομίζω ότι εδώ για να περιγράψουμε την μεταβολή της ορμής δεν χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος Euler αλλά η μέθοδος Lagrange αφού δεν θεωρήσαμε μια σταθερή περιοχή που περιβάλλει κάθε στιγμή ένα διαφορετικό πλήθος "ρευστο-σωματιδίων" αλλά μια κινούμενη ποσότητα του ίδιου ρευστού που κάθε στιγμή βρίσκεται σε διαφορετική θέση … ( εκτός κι αν θυμάμαι ανάποδα τις μεθόδους από την μηχανική … διόλου απίθανο.)
Όσο για το Παράδοξο του D' Alembert, … Ε υπάρχουν και αυτοί ( π.χ. εδώ ) που πιστεύουν ότι η εξήγηση του Prandtl (1904 ) για το παραδόξο ( οριακό στρώμα ροής με μικρό αλλά όχι μηδενικό ιξώδες ) δεν είναι καθόλου ικανοποιητική …αντίθετα υποστηρίζουν πως ικανοποιητική λύση του παράδοξου έχουμε μόνο μετά το 2008 ( 2009 ) με την μαθηματική περιγραφή των J Hoffman και C Johnson για την ροή γύρω από αντικείμενα ( και την εξήγηση της πτήσης ) Νομίζω πως πρόκειται για δυναμικά συστήματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που δεν είναι για κοινούς θνητούς όπως εγώ … Αν είχαμε ένα Δασκαλάκη ίσως μας εξηγούσε κι εμάς κάτι .
Πάντως φαίνεται πως ο D Alembert είχε εξαρχής (1752 ) επίγνωση ότι το παράδοξό του σχετίζεται με ένα άλλο παράδοξο ( αν δεν προέκυψε από αυτό ) το οποίο απασχόλησε αρκετά τον D' Alembert και είναι γνωστό με το όνομα (limit paradox)… λέτε να είχε από τότε μοιρίσει "χάος";