by 
Το κεντρικό δοχείο έχει νερό. Κάποια στιγμή το βάθος είναι 12 m.
Η παροχή του σωλήνα Α είναι τέτοια ώστε εκείνη την στιγμή η επιφάνεια του νερού στο δοχείο ανεβαίνει με ταχύτητα ίση κατά μέτρο με την ταχύτητα εκροής του νερού από τον σωλήνα Β.
Γνωρίζουμε τις διατομές Α του δοχείου και S του σωλήνα Β.
Θέλουμε να υπολογίσουμε την πίεση στην επιφάνεια του νερού.
Θα προτείνουμε δύο υπολογισμούς της.
Όσο για το άλλο:
Στο σχήμα με τις δυο δεξαμενές, όσο ψηλώνεις την αριστερή, μπορεί να αρχίσει να ανεβαίνει η στάθμη στο μικρό δοχείο αλλά θα μεγαλώνει, πολύ περισσότερο, η ταχύτητα εκροής, οπότε οι ταχύτητες δεν θα εξισωθούν…
δεν συμφωνώ. Η ταχύτητα εκροής εξαρτάται από την το δοχείο στο οποίο παρατηρείται (στιγμιαία) και όχι από την παροχή τροφοδοσίας του.
Μπορείς να το δεις εύκολα Δεν χρειάζεται να ανεβάσω βίντεο στο οποίο θα έχω μια κομμένη μπουκάλα με τρύπα και θα την τροφοδοτώ με νερό από τη βρύση. Θα δούμε να ανεβαίνει η στάθμη του νερού στην κομμένη μπουκάλα. Μπορούμε να πετύχουμε κάποια στιγμή ισότητα των δύο ταχυτήτων. Είναι απλό το πρόβλημα:
-Ποια πρέπει να είναι η παροχή της βρύσης ώστε όταν το νερό έχει βάθος….. η ταχύτητα ανόδου της στάθμης να είναι ίση με την ταχύτητα εκροής.
Αν εφαρμόσεις Bernoulli για τη ροή, από ένα σημείο στο εσωτερικό του σωλήνα Α, που η ταχύτητα ροής είναι V και στο σημείο Β θα έχεις:
Άρα πάντα u>υ
Συμφωνώ ότι η ταχύτητα εκροής δεν εξαρτάται άμεσα από το ύψος του αριστερού δοχείου, αλλά αν το βάλεις ψηλότερα, θα έχεις μεγαλύτερη εκροή, μεγαλύτερο ύψος νερού στο δεξιό δοχείο και… τότε μεγαλύτερη ταχύτητα εκροής….
Επομένως θα πούμε ότι δεν είναι δυνατόν οι δύο ταχύτητες να εξισωθούν;
Δηλαδή θα πούμε ότι μια δεξαμενή είναι αδύνατον να έχει ταχύτητα εκροής υ και ταχύτητα ανόδου στάθμης υ;
Αυτό δεν βγαίνει;
Για να δούμε αν βγαίνει πρέπει να ελέγξουμε την ορθότητα της εφαρμογής του νόμου Bernoulli από το Α ως το Β.
Δεν συμφωνείς σ' αυτό;
Και να ήθελα να διαφωνήσω δεν γίνεται….
Το ερώτημα είναι δηλαδή, αν διακόπτεται η ροή στην έξοδο του σωλήνα Α, οπότε η ταχύτητα εκροής στο Β δεν εξαρτάται από το τι γίνεται στον σωλήνα Α;
Για να ελέγξουμε την ορθότητα όσων έγραψες θα εφαρμόσουμε ότι έκανες σε περίπτωση μεγάλων διατομών:
Δυο ενδεχόμενα υπάρχουν:
Αν λανθασμένα εφαρμόζεται από το Α στο Β στην περίπτωση αυτήν, λανθασμένα τον εφήρμοσες και εσύ προηγουμένως.
Το συμπέρασμα u>υ δεν ισχύει ή έστω δεν έχει αποδειχθεί.
Αν λανθασμένα εφαρμόζεται η σχέση από το Ζ στο Β η ταχύτητα εκροής καθορίζεται από την στάθμη της δεξαμενής του δικτύου και όχι της παρούσης δεξαμενής. Τότε θα πρέπει ένα τρύπιο κομμένο μπουκάλι να δίνει ταχύτητα εκροής όχι 1,5 m/s αλλά 10m/s αν η δεξαμενή που το τροφοδοτεί είναι σε ύψος 5 m.
Θα πρέπει δηλαδή, αν το στήσουμε ένα μέτρο από το πάτωμα να μας δώσει βεληνεκές νερού 2m !!
Επίσης θα πρέπει , παρά την ακινησία της επιφάνειας του κάτω δοχείου, να μην εφαρμόζεται το θεώρημα Τορικέλι.
Αν όμως η ταχύτητα εκροής είναι ρίζα(2.g.h) τότε η εφαρμογή του Μπερνούλι από Α σε Β είναι λανθασμένη.
Αν όμως η ταχύτητα εκροής είναι ρίζα(2.g.h) τότε η εφαρμογή του Μπερνούλι από Α σε Β είναι λανθασμένη.
Τότε όμως είναι λανθασμένο ή έστω αναπόδεικτο το συμπέρασμα u>υ.
Αν ορθώς εφήρμοσες τον νόμο Μπερνούλι, ορθώς εφαρμόστηκε και προηγουμένως. Τότε όμως η ταχύτητα εκροής είναι όχι ρίζα(2g,h) αλλά ρίζα(2.g.(H+h)).
Τότε η ταχύτητα εκροής ανοιχτής δεξαμενής δεν εξαρτάται από το βάθος της αλλά από το ύψος του υδραγωγείου!
Και γιατί βρε Γιάννη, το ταλαιπωρείς τόσο και με "εκθέτεις";
Το ότι η ροή σταματά στην έξοδο του σωλήνα Α το έχουμε συζητήσει και το έχουμε αποδεχτεί πολλές φορές.
Οπότε πέρασε στο "θέμα". Τι ακριβώς θέλεις να αποδείξεις και πού το πας;
Μα αναμένω θέσεις πάνω στο παράδοξο του κειμένου.
Ο ένας δέχεται ότι η πίεση στην επιφάνεια είναι αρνητική. Το συμπεραίνει εφαρμόζοντας νόμο Μπερνούλι.
Τι σχόλιο θα κάνουμε εμείς για την θέση του; Που έκανε το λάθος;
Ο άλλος δεχόμενος πίεση 1 Ατμ βγάζει ότι 12=0.
Τι λάθος έκανε;.
Ο άλλος δεχόμενος πίεση 1 Ατμ βγάζει ότι η ταχύτητα εκροής (στο ίδιο βάθος) είναι μικρότερη από αυτήν που θα είχαμε αν ο Α ήταν κλειστός. Έκανε λάθος;
Ο άλλος δεχόμενος πίεση 1 Ατμ, βγάζει μια ταχύτητα εκροής. Δέχεται ότι η επιφάνεια κατεβαίνει με ταχύτητα λ.υ και όχι ανεβαίνει με υ.
Δεχόμαστε ότι λέει ή είναι ασυνάρτητος;
Ένας φίλος θεωρεί όλα τα παραπάνω λανθασμένα και δίνει την δική του λύση στο πρόβλημα.
Εκεί το πάω. Ζητώ λύση ενός προβλήματος. Έστω όχι λύση αλλά σχόλια για όσα οι 4 έγραψαν.
Καλημέρα και καλή Κυριακή Γιάννη.
Περίμενα να διαβάσω κάποια τοποθέτηση φίλου, αλλά μιας και δεν βλέπω, ας το ξαναπιάσουμε…
Νομίζω ακροβατείς μεταξύ ακραίων καταστάσεων όπου οι καταστάσεις δεν είναι καθαρές και οι προσεγγίσεις που κάνουμε μπορούν να βγάλουν πολλά παράδοξα…
Να ξεκινήσω από το νόμο Bernoulli. Αποδείχτηκε κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και μελετά ένα είδος ροής απολύτως συγκεκριμένης.
Στη συνέχεια βρήκαμε (Βαγγέλης Κορφιάτης) ότι και χρονικά μεταβαλλόμενη να είναι η ροή, ο νόμος ισχύει με αρκετά μεγάλη ακρίβεια, οπότε πάψαμε να ψάχνουμε για μόνιμες ροές ιδανικού ρευστού και αρχίσαμε να τον εφαρμόζουμε, χωρίς πολλά-πολλά.
Αλλά στη συνέχεια προτείνεις την παραπάνω περίπτωση. Δεν βλέπω πώς μπορείς να επιβάλεις τέτοια ροή στο σωλήνα Α και να πετύχεις την ισότητα των δύο ταχυτήτων. Αλλά και αν αυτό μπορεί να συμβεί:
-Ποιες ροές θα θεωρήσουμε ότι έχουμε; Έχουμε ροή από την έξοδο του σωλήνα μέχρι την επιφάνεια; Έχουμε ροή από το ίδιο σημείο στην κάτω έξοδο στο Β; Τι σχέση έχουν αυτές οι δυο ροές; Είναι ροές που εφαρμόζεται ο Bernoulli; Τι προσεγγίσεις και παραδοχές θα δεχτούμε για επίλυση του προβλήματος;
-Οι παραδοχές και τα μοντέλα δεν είναι μοναδικά. Πέφτει νερό σε ένα δοχείο, σωλήνας Α και εξέρχεται από το άκρο Β. Ας δούμε τα σχήματα. Μήπως δείχνουν την ίδια κατάσταση; Είναι ίδια κατάσταση;
Με ποιο σχήμα λες να προσεγγίσουμε το δικό σου δοχείο;
Καλησπέρα Γιάννη και Διονύση.
Στο σχήμα του συννημένου του Γιάννη:
Στάθη καλησπέρα.
Πιστεύω πως η εφαρμογή του νόμου από το Α στο Ε είναι προβληματική.
Τούτο διότι ανεδείχθη ως προβληματική στην περίπτωση:
Θα μπορούσες Στάθη να επικαλεστείς άλλη ταχύτητα ως V. Δεν παρέθεσα υπολογισμό. Μην στρέψουμε την συζήτηση στο αν είναι 6 m/s ή κάτι άλλο. Πάντως αυτή θα ήταν μερικά μέτρα ανά δευτερόλεπτο με τα ύψη του σχήματος.
Θα μπορούσες να πεις ότι η πίεση στο Α δεν είναι ρ.g.h και να προτείνεις άλλη τιμή. Ούτε εκεί αξίζει να στραφεί η συζήτηση.
Πάλι όμως η εφαρμογή της σχέσης Bernoulli θα έδινε μεγάλη ταχύτητα επιφανείας. Ταχύτητα εξωπραγματική.
Οπότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον νόμο από το Α ως την επιφάνεια.
Η απόδειξη που παρέθεσα σε παρακείμενη συζήτηση (και την πιστεύω) δείχνει ότι και εφαρμογή του νόμου από το Α στο Β είναι προβληματικότατη.
Οδηγεί σε κάτι εξωπραγματικές ταχύτητες εκροής που μπορούμε να διαψεύσουμε ακόμα και με πείραμα στην κουζίνα μας.