by 
Το κεντρικό δοχείο έχει νερό. Κάποια στιγμή το βάθος είναι 12 m.
Η παροχή του σωλήνα Α είναι τέτοια ώστε εκείνη την στιγμή η επιφάνεια του νερού στο δοχείο ανεβαίνει με ταχύτητα ίση κατά μέτρο με την ταχύτητα εκροής του νερού από τον σωλήνα Β.
Γνωρίζουμε τις διατομές Α του δοχείου και S του σωλήνα Β.
Θέλουμε να υπολογίσουμε την πίεση στην επιφάνεια του νερού.
Θα προτείνουμε δύο υπολογισμούς της.
Και οι δύο χρησιμοποιούν το ύψος. Ο δεύτερος δεχόμενος κάτι υπολογίζει την ταχύτητα εκροής συναρτήσει του ύψους.
Μπορεί να έχεις δίκιο για το κανάλι. Δεν το έχω σκεφτεί.
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα Στάθη.
Σας παρακολουθώ και σας διαβάζω από τον "πάγκο" και είναι πολύ καλύτερα από το να μπω στον αγωνιστικό χώρο
Στάθη, διαβάζοντας την απόδειξή σου, βλέπω να φτάνεις στις σχέσεις:
Τι διαβάζω εγώ. Θεωρώντας πολύ μικρές τις διατομές του σωλήνα Α και της εξόδου στο Β, ουσιαστικά τις εξισώνεις. Έτσι η ταχύτητα ροής στο σωλήνα Α είναι ίση με την ταχύτητα εκροής, με αποτέλεσμα το ύψος του νερού στο δοχείο να παραμένει σταθερό.
Λογικό αποτέλεσμα. Το οποίο όμως δείχνει και κάτι άλλο. Η κινητική ενέργεια του νερού που εισέρχεται στο κατακόρυφο δοχείο "χάνεται". Αυτή η κινητική ενέργεια δεν καθορίζει και δεν επηρεάζει τίποτα. Θέμα που το έχουμε ξαναdεί, αλλά που εδώ αναδεικνύεται με βάση την υπόθεση ότι ισχύει και εφαρμόζεται ο νόμος Bernoulli.
Να τονίσω Γιάννη και κάτι ακόμη. Το μοντέλο που περιγράφεις, με μια δεξαμενή σε ύψος, όπου ένας σωλήνας φέρνει το νερό μέσω του σωλήνα Α, δεν οδηγεί σε καμιά σταθερή ροή.
Μόλις ξεκινήσει η εκροή, θα έχεις μια μικρή ταχύτητα u εκροής στο Β και μια πολύ μεγαλύτερη ταχύτητα ανόδου της στάθμης.
Όσο η στάθμη ανεβαίνει η u μεγαλώνει ενώ η παροχή στο Α και η ταχύτητα υ μειώνεται. (δεν έχουμε σταθερή παροχή).
Οπότε θα έρθει μια στιγμή που οι ταχύτητες που λες να εξισωθούν. Αυτό που συζητάμε αναφέρεται σε αυτή τη στιγμή, αφού αμέσως μετά, θα αυξηθεί και άλλο η ταχύτητα εκροής u, ενώ θα μειωθεί η υ. Τώρα πόσο ακαριαίες είναι αυτές οι προσαρμογές στις ταχύτητες όταν έχουμε μια στάθμη να ανεβαίνει με ταχύτητα 16m/s, δεν το ξέρω…
Καλημέρα παιδιά.
Διονύση φυσικά δεν είναι σταθερή η ροή. Εκείνη την στιγμή είναι τόση.
Για τον λόγο αυτόν έδωσα λίγο μεγαλύτερο ύψος υδραγωγείου.
Η ροή δεν είναι μόνιμη, αλλά με βάση τα συμπεράσματα από την τότε συζήτηση, η προσέγγιση είναι άριστη.
Οι διατομές και τα ύψη δίνουν τέτοιες ταχύτητες. Δηλαδή V=3,3.υ.
Καλημέρα Διονύση και Γιάννη.
Διονύση συμφωνώ ότι χάνεται ενέργεια.
Χθες το "παίδεψα" λίγο ακόμα, το αποτέλεσμα εδώ.
Καλημέρα και πάλι Στάθη.
Είδα και το νέο σου αρχείο. Δύο σημεία.
Παίρνεις σταθερή παροχή και δεν ξέρω πόσο αυτό είναι πρακτικό. Νομίζω πιο λογικό θα ήταν να δούμε πώς θα εξελιχθεί η κατάσταση αν αριστερά είχαμε μια μεγάλη δεξαμενή σε ορισμένο ύψος Η.
Γράφεις:
Συμφωνώ. Από τη στιγμή αυτή και μετά, έχουμε σταθερή επιφάνεια του νερού στο δοχείο, που μας μεταφέρει σε γνωστό πρόβλημα, όπου έχουμε εκροή από ένα δοχείο με σταθερό ύψος νερού, ενώ η ποσότητα του νερού που βγαίνει αναπληρώνεται λόγω εισόδου μέσω του σωλήνα Α, αλλά και που η ταχύτητα εισόδου υΑ δεν παίζει κάποιο ρόλο…
Διονύση σε αυτήν την όντως ενδιαφέρουσα περίπτωση (με μη σταθερή παροχή) είχα πρόβλημα στο πώς να παραμετροποιήσω την παροχή.
Αξίζει πάντως να το ψάξει κανείς…
Στάθη δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον νόμο Bernoulli από το Α στο Β.
Δεν θα σταθώ στο θεωρητικό τμήμα αλλά θα επικαλεστώ κοινή εμπειρία.
Έχεις ένα δοχείο με βάθος 10 πόντων. Έχει τρύπα στο Β. Ταχύτητα εκροής 1,4 m/s.
Βάζεις σωλήνα Α και συνδέεις με δεξαμενή που είναι ψηλά ή με την βρύση. Ταχύτητα εισροής 10 m/s.
Εφαρμογή του νόμου Bernoulli από το Α στο Β θα έδινε ταχύτητα εκροής λίγο πάνω από 10 m/s.
Αυτά διαψεύδονται πολύ εύκολα με πειραματάκι που κάνουμε και στο σπίτι μας.
Επομένως ο νόμος δεν εφαρμόζεται ούτε από το Α στο Β, ούτε από Α ως την επιφάνεια.
Δεν εφαρμόζεται (από το Α στο Β) ούτε μετά την σταθεροποίηση της επιφάνειας. Τούτο διότι ο νόμος θα έδινε ίδιες σχεδόν ταχύτητες, ενώ ίδιες είναι οι δύο παροχές (εισροής και εκροής μετά την σταθεροποίηση της επιφάνειας).
Η σχέση Bernoulli θέλει προσοχή όταν αναζητάμε ταχύτητες κίνησης επιφανειών σε δοχεία που γεμίζουν.
Γιάννη καλημέρα.
Γιατί επιμένεις σε τόσο μεγάλες ταχύτητες; Αναφέρομαι στην ταχύτητα εισόδου των 10m/s. Με φράγμα είναι συνδεδεμένο το δοχείο; Σε αυτές τις ταχύτητες η ροή είναι τυρβωδης, οπότε όντως δεν εφαρμόζεται η εξίσωση.
Και αν αυτή είναι η ταχύτητα στον σωλήνα παροχής, γιατί είναι η ίδια με την ταχύτητα στο δοχείο; Πως την μετράμε αυτήν; Δεν καταλαβαίνω.
Διατηρώ και εγώ επιφυλάξεις για την εφαρμογή του νόμου Bernoulli. Προσπαθώ όμως να συνδέσω την εξίσωση της συνέχειας με το ύψος της στάθμης. Και για ταχύτητες κάτω από το τυρβωδης όριο δεν βλέπω παράλογα αποτέλεσματα, ούτε στους χρόνους, ούτε στις ταχύτητες.
Στάθη η επιλογή των μεγάλων ταχυτήτων έγινε ώστε να φανεί το παράδοξο σε ένα απλό πείραμα "κουζίνας".
Θεώρησε όποιες ταχύτητες θέλεις. Με βάθος 10 cm η ταχύτητα εκροής είναι 1,41 m/s.
Η τροφοδοσία από τον Α μπορεί να γίνει με κάπως μεγαλύτερη ταχύτητα. Να πούμε 2 m/s ;Ο νόμος , εφαρμοσθείς μεταξύ Α και Β δίνει τις ταχύτητες ίσες ή ακόμα χειρότερα μεγαλύτερη την του Β.
Όταν η στάθμη σταθεροποιείται τότε είναι ίσες οι παροχές. Όμως η εφαρμογή του νόμου Bernoulli δίνει ίσες ταχύτητες και όχι ίσες παροχές.
Για τον λόγο αυτόν δεν εφαρμόζεται ο νόμος.
Στάθη όταν άδειαζα βαρέλια με σιφώνια μπομπιρόθεν, δεν γνώριζα φυσικά τα σχετικά. Ήξερα σε πόση ώρα αδειάζει η βαρέλα.
Τώρα που έκανα υπολογισμούς επαληθεύονται οι χρόνοι. Η ροή ήταν στρωτή ή τυρβώδης;
Από ύψος 4 m η ταχύτητα ήταν 8,8 m/s.Γιατί να μην είναι τυρβώδης η ροή αν είναι με την 10 m/s ;
Όμως μια χαρά δούλεψε ο Μπερνούλης. Ότι βγήκε στο χαρτί ήταν εκπληκτικά κοντά με την πραγματικότητα.
Γι' αυτό έχει αξία ο νόμος και γενικότερα το κεφάλαιο των ρευστών. Αν ο Μπερνούλης έβγαζε σωστά συμπεράσματα μόνο για στρωτές ροές, για ιδανικά υγρά κ.λ.π. και "αφίστατο" των άλλων, ουδείς θα τον χρησιμοποιούσε.
Αν δεν έδινε καλές προσεγγίσεις για ταχύτητες 2 m/s και 3 m/s, θα ήταν το αχρηστότερο κατασκεύασμα.
Οι μηχανικοί του εμπορικού ναυτικού (στο σχετικό μάθημα) κάνουν υπολογισμούς διάφορους βασιζόμενους και στον νόμο Bernoulli.
Η ροές είναι μόνιμε;
Οι ροές είναι στρωτές;
Οι ταχύτητες είναι κάτω από 5 m/s;
Αν ο Μπερνούλης δεν κάλυπτε τις ανάγκες τους, δεν θα διδάσκονταν τα σχετικά.
Θέλω να έρθω στο θέμα της ανάρτησης:
Ο πρώτος που βγάζει αρνητική πίεση (!!!!) κάνει λάθος. ή μια χαρά δουλεύει και απλώς εγώ τον κρέμασα με "αφύσικα" δεδομένα;
Δηλαδή αν η ταχύτητα ανόδου της στάθμης ήταν υ/3 οι υπολογισμοί του θα ήταν καλοί;
Με άλλα λόγια, σε σχετική άσκηση, έτσι θα εφαρμόσουμε τον νόμο Bernoulli;
Η επιλογή της ταχύτητας ανόδου ως ίσης με αυτήν της εκροής (που αδύνατη δε είναι) έγινε για να φανεί η "χοντράδα".
Αν έδινα ότι η ταχύτητα ανόδου ήταν υ/3 θα κάναμε το ίδιο;
Ας το κάνω σύντομα.
Γιάννη θα επιμείνω στα εξής (αν και συμμερίζομαι την επιφύλαξή σου):
Αρχικά πουθενά στην λύση που προτείνω δεν βάζω ταχύτητα εισροής, μόνον παροχή, για αυτούς ακριβώς τους λόγους. Στον σωλήνα τροφοδοσίας η ταχύτητα μπορεί να είναι όποια θες, αλλά αυτή δεν είναι η ταχύτητα του νερού αφού εισέλθει στο δοχείο. Το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειάς του νερού που εισέρχεται χάνεται από την ροή, η παροχή όχι.
Η προσέγγιση που κάνω είναι ότι στο συγκεκριμένο δοχείο δημιουργούνται δύο ροές, μία ανοδική και μία καθοδική, όπως και σε ένα οριζόντιο κανάλι (εκεί, δεξιά αριστερά). Η εξίσωση Bernoulli χρησιμοποιείται μία φορά σε κάθε ροή, υποθέτοντας (επίσης προσέγγιση) ότι η πυκνότητα ενέργειας είναι σταθερή και ίση στην αρχή κάθε ροής, χωρίς να ξέρω ποια είναι η τιμή της.
Η εφαρμογή της εξίσωσης σταματά όταν η στάθμη του νερού φτάσει στο ανώτερο δυνατό σημείο της.
Για να εφαρμοστεί η εξίσωση Βernoulli και να έχει φυσικό νόημα πρέπει ο συνδυασμός ταχύτητας ροής και διαστάσεων του δοχείου να είναι τέτοιος ώστε να μην παρατηρείται μία ξαφνική "αλλαγή φάσης" και η ροή να μετατρέπεται σε τυρβώδης. Πειραματικά αυτό συμβαίνει για αριθμούς Reynolds κάτω από περίπου 4000. Ακόμη και σε οριζόντιους σωλήνες για αριθμούς Reynolds πάνω από αυτό το όριο παρατηρούνται χαοτικού τύπου στροβιλισμοί και απώλειες ενέργειας.
Τα αποτελέσματα που βγαίνουν δεν είναι και τόσο τρελά! Για ένα δοχείο με βάση 0.3m^2, παροχή 5L/s και οπή διαφυγής δέκα φορές μικρότερη, ο χρόνος γεμίσματος στα 999/1000 του μέγιστου ύψους είναι περίπου 4 λεπτά, η ανώτερη στάθμη στα 33cm και η ταχύτητα ανόδου της επιφάνειας του νερού της τάξεως των 1cm/s.
Στα υπέρ του μοντέλου ότι προβλέπει ενεργειακές απώλειες και ότι για πολύ μικρές διατομές εισόδου και εξόδου οδηγεί στην εξίσωση του Torricelli.
Στα κατά (και ενδεχομένως μεγάλο πρόβλημα) ότι δεν λαμβάνει καθόλου υπ' όψιν την ανάμειξη του νερού κατά την εισροή.
Όλα αυτά είναι προσεγγίσεις με μοναδικό σκοπό να συνδέσω το ύψος της ελεύθερης επιφάνειας του νερού με την εξίσωση της συνέχειας. Μπορεί να είναι κακές προσεγγίσεις, δεν ξέρω. Μακάρι να έβρισκα ή να μου υποδείκνυε κάποιος έναν άλλο τρόπο.
Στάθη η επιλογή μιας περίπτωσης που μας επιβεβαιώνει δεν σημαίνει ότι καλώς εφαρμόζουμε τον νόμο.
Ένα αντιπαράδειγμα αρκεί για να φανεί ότι η εφαρμογή είναι λανθασμένη, ακόμα και αν πολλά παραδείγματα οδηγούν σε αποδεκτά ή ανεκτά αποτελέσματα.
Προβληματιζόμενος για το αν εφαρμόζεται διαλέγω αντιπαραδείγματα. Ένα να "κάτσει" ο νόμος δεν εφαρμόζεται.
Διοχετεύω λοιπόν από έναν σωλήνα διατομής 2Α νερό με ταχύτητα 2,8 m/s (υψομετρική διαφορά 40cm).
Το βάθος είναι κάποια στιγμή 10 cm. Στην εκροή η ταχύτητα είναι κάπου 1,4 m/s.
Με εφαρμογή του νόμου από τον Α ως την έξοδο βγάζω ότι η ταχύτητα στην έξοδο είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από 2,8 m/s.
Έλα όμως που είναι περίπου 1,4 m/s. Οπότε απορρίπτω ότι έκανα.
Όσα παραδείγματα και να το επιβεβαιώσουν το απορρίπτω, διότι βρέθηκε ένα αντιπαράδειγμα.
Μιλάς για ενεργειακές απώλειες που φυσικά υπάρχουν. Οι ενεργειακές απώλειες όμως δεν είναι δυνατόν να οδηγήσουν σε αύξηση τέτοια της ταχύτητας εκροής ώστε πριν την τροφοδοσία η ταχύτητα εκροής να είναι 1,4 m/s και μετά "το άνοιγμα" της βρύσης (παρά τις απώλειες) να γίνει η ταχύτητα εκροής διπλάσια.
Το ύψος της ελεύθερης επιφάνειας υπολογίζεται. Είχες συμμετάσχει σε συζήτηση σχετική όπου όλοι είχαμε καταλήξει στα ίδια.
Έτσι μπορούν να γίνουν υπολογισμοί. Μπορούμε να διευκολυνθούμε πολύ με την βοήθεια υπολογιστή. Ακόμα και τον γενικευμένο νόμο να πάρουμε, θα καταλήξουμε σε μια σχέση συνδέουσα επιτάχυνση και ταχύτητα. Ας είναι αυτή όσο δύσκολη θέλεις. Ας λύνεται δύσκολα η διαφορική ή ας βαριόμαστε να την λύσουμε.
Πάμε στο i.p. και αναγκάζουμε ένα σώμα να υπακούσει στην σχέση αυτήν (αστειότατο πράγμα, το ψωμί του i.p).
Στον χρόνο που το σώμα θα έχει μετακινηθεί 10 cm, τη στάθμη του νερού θα έχει μετακινηθεί 10 cm.
Έτσι πανεύκολα επιβεβαιώνεις και τη λύση σου.
Όλα αυτά απαιτούν λιγότερο από 2 λεπτά.
Δεν ξέρω τα Μαθηματικά που ξέρεις εσύ. Τι κάνω:
Λύνω το πρόβλημα με γενικευμένο Μπερνούλι.
Το ξαναλύνω ενεργειακά. Αν βγει το ίδιο είμαι σχεδόν σίγουρος ότι λύθηκε σωστά.
Έπειτα αν δεν βιάζομαι Graph ενώ αν βιάζομαι interactive physics. Έχω κάθε γραφική παράσταση με όποια ακρίβεια επιθυμώ.
Όλα αυτά πολύ σύντομα και τυποποιημένα.
Καλησπέρα Γιάννη και Στάθη.
Γιάννη γράφεις παραπάνω:
"Η τροφοδοσία από τον Α μπορεί να γίνει με κάπως μεγαλύτερη ταχύτητα. Να πούμε 2 m/s ;Ο νόμος , εφαρμοσθείς μεταξύ Α και Β δίνει τις ταχύτητες ίσες ή ακόμα χειρότερα μεγαλύτερη την του Β.
Όταν η στάθμη σταθεροποιείται τότε είναι ίσες οι παροχές. Όμως η εφαρμογή του νόμου Bernoulli δίνει ίσες ταχύτητες και όχι ίσες παροχές.
Κάτι δεν καταλαβαίνω. Μιλάμε πάντα για το διπλανό σχήμα.
Αν εφαρμοστεί ο νόμος μεταξύ Α και Β βγάζει μεγαλύτερη ταχύτητα στο Α;
Και όταν σταθεροποιηθεί το ύψος του νερού στο δοχείο:
"Όμως η εφαρμογή του νόμου Bernoulli δίνει ίσες ταχύτητες και όχι ίσες παροχές."