by 
Μια ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους l και μάζας Μ=4kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m. Τοποθετείται πάνω στη σανίδα, στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ, μάζας m=2kg, το οποίο εμφανίζει με τη σανίδα συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4. Σε μια στιγμή t=0, το σώμα Σ δέχεται στιγμιαίο κατάλληλο κτύπημα, με αποτέλεσμα να αποκτήσει ταχύτητα υο=6m/s και να κινηθεί κατά μήκος της σανίδας, εγκαταλείποντάς την, μετά από λίγο, από το άκρο της Β, με ταχύτητα υ1=2m/s, όπως στο σχήμα.
- Να υπολογιστεί το μήκος της σανίδας.
- Αν το άκρο της σανίδας Α βρίσκεται αρχικά στη θέση x=0, να γίνει η γραφική παράσταση x=x(t) της θέσης του σε συνάρτηση με το χρόνο
Δίνεται π2≈10.
ή
Τριβή ολίσθησης και αρμονική ταλάντωση
Τριβή ολίσθησης και αρμονική ταλάντωση
Συμφωνώ Διονύση, δεν υπάρχει κανένας λόγος, πέραν του πρακτικου. Σε μερικά συστήματα οι ψευδο -δυναμικές απλουστευουν την ανάλυση. Αρκεί πάντα να ξέρουμε τι κάνουμε.
Καλησπέρα.
Διονύση περίμενα αυτή ακριβώς την απάντηση σου διαφορετικά θα είχα πρόβλημα.
Για μονοδιάστατες κινήσεις πχ στον άξονα χ κάθε δυναμη της μορφής F = F(x) είναι διατηρητική ακόμα κι αν είναι σταθερή. Κάποιες σκέψεις για να φανεί ο λόγος που εξέφρασα την απορία που μου δημιουργήθηκε από την άσκηση.
Αναρτώ σώμα στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Δέχεται δύναμη ΣF = mg – kx
Στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου δένω σώμα και του ασκώ δύναμη σταθερή. Τότε ΣF = F – kx
Στην σανίδα του Διονύση έχω ΣF = T – kx
Σε κάθε περίπτωση στο σώμα δρα δύναμη της μορφής ΣF = F0 – Dx.
Η διαφορική εξίσωση της κίνησης και η δυναμική συνάρτηση V(x) που ορίζουμε μέσω της F = – dV/Dx είναι ίδιες.
Είμαι λοιπόν της άποψης χωρίς να επιμένω ότι και οι τρεις παραπάνω κινήσεις πρέπει να έχουν το ίδιο όνομα.
Διαφορετικά πως θα δικαιολογήσω στον μαθητή ότι τις δυο πρώτες τις ονομάζω αατ ενώ την κίνηση της σανίδας ατ. Μήπως με αυτό τον τρόπο του δημιουργώ περισσότερα προβλήματα ακόμα κι αν εννοιολογικά έχω δίκιο με τις διαφορετικές ονομασίες?
Βέβαια εξηγούμε στον μαθητή ότι η εξίσωση κίνησης δεν φτάνει από μόνη της να προσδιορίσει το είδος της κίνησης γιατί θα το βρούμε μπροστά μας στις εξαναγκασμένες.
Νίκο αυτό με την αλλαγή μεταβλητής είναι ωραίο κόλπο και το κάνουμε για να προκύψει ομογενής διαφορική εξίσωση που έχει δυο σημαντικές συνέπειες .
Η πρώτη ότι προκύπτει ίδια μορφής ομογενούς διαφορικής είτε F = -Kx είτε F =F0 -Kx η διαφορική της αατ οπότε η λύση είναι εύκολη.
Η δεύτερη ότι αν δεν κάνω αλλαγή μεταβλητής θα προκύψει μη ομογενής διαφορική που οδηγεί βέβαια στην ίδια λύση αλλά με πιο δύσκολο τρόπο
Καλησπέρα Γιώργο.
"Η διαφορική εξίσωση της κίνησης και η δυναμική συνάρτηση V(x) που ορίζουμε μέσω της F = – dV/Dx είναι ίδιες."
Δεν θα συμφωνήσω…
Το ότι "κάθε σταθερή δύναμη είναι συντηρητική" είναι ένα καταχρηστικό συμπέρασμα, που προκύπτει με βάση τον ορισμό των συντηρητικών δυνάμεων και τη κλειστή διαδρομή. Αλλά φευ, δεν έχουμε δυναμικό και δυναμική ενέργεια, παρά μόνο όταν αναφερόμαστε σε συντηρητική δύναμη πεδίου (και το ελατήριο μπορούμε να το θεωρήσουμε ως αντικείμενο υλοποίησης ενός πεδίου ελαστικότητας…)
Έτσι παραπάνω δεν νομίζω ότι μπορούμε να ορίσουμε δυναμική ενέργεια που οι μεταβολές της να συνδέονται με το έργο της τριβής…
Αλλά ίσως χρειαστεί να επανέλθω αργότερα, αφού τώρα πρέπει να κλείσω…
Ας σκεφτούμε όμως και το εξής:
Σε ένα κατακορυφο ιδανικό ελατήριο με παραμόρφωση Δl και μία μαζα με απομάκρυνση από την ΘΙ της χ, ποια ακριβώς είναι η ενέργεια 0.5kχχ; Ανήκει σε κάποιο υπαρκτο (αλήθεια πώς ορίζεται το υπαρκτο;) πεδίο; Προφανώς όχι. Το μοναδικό πεδίο είναι το βαρυτικο και αντε και αυτό του ιδανικου ελατηριου 0.5k Δl Δl. Φυσικά εδώ η πολύ σημαντική διαφορά είναι ότι και τα δύο είναι συντηρητικά. Επιλέγουμε όμως να εργαζομαστε με την 0.5kχχ και γιατί απλουστευεται η ανάλυση.
Καλημέρα Στάθη.
Όταν μιλάμε για ΑΑΤ, μας ενδιαφέρει η δύναμη επαναφοράς η οποία πρέπει να είναι συντηρητική. Στην περίπτωση πολλών δυνάμεων «δύναμη επαναφοράς» είναι η συνισταμένη και τότε δεν ασχολούμαστε με τίποτα άλλο (μιλώντας για ΑΑΤ…) παρά μόνο για την Fεπ και την δυναμική ενέργεια U= ½ Dx2.
Επιπρόσθετα, το θέμα για την ενέργεια ταλάντωσης και τη σχέση της με τη μηχανική ενέργεια, μας έχει επίσης απασχολήσει. Ρίξε μια ματιά:
Μια άσκηση, ένας προβληματισμός ή Η ενέργεια Ταλάντωσης…
Ενέργεια ταλάντωσης vs Μηχανικής Ενέργειας
Αλλά κυρίως στη συζήτηση που ακολούθησε…
Ένα πρόβλημα και η λύση του, πάνω στον προβληματισμό:
Σταθερή δύναμη άρα συντηρητική, οπότε ορίζουμε δυναμική ενέργεια.
… λοιπόν έσπασα το κεφάλι μου να βρω γιατί με τις μετατροπές ενέργειας μεταξύ των δύο σώματων (που προανέφερα) μου προκύπτουν ελλειπή δεδομένα όπως προείπα … και θα προσπαθήσω να δώσω μια εξήγηση του γιατί είναι δικαιολογήμενη η απορία μου.
Κατ' αρχήν η άσκηση είναι πολύ ενδιαφέρουσα (από τις πιο ενδιαφέρουσες που έχω δει εδώ μέσα, επιπλέον λόγω μίας πολύ ιδιαίτερης λεπτομέρειας που αναπτύσσω παρακάτω) … το σημείο όμως που χρήζει προσοχής είναι το εξής: Η περίοδος που υπολογίζεις Διονύση μετά την εξίσωση (3) στη λύση της άσκησης είναι 1.985 sec και όχι 2 sec, και η στρογγυλοποίηση που έγινε μπορεί πράγματι να αποβεί διαβολική!
Για να εξηγήσω τι εννοώ: Κατ' αρχήν επειδή ο χρόνος κίνησης του σώματος επί της σανίδας είναι 1sec, είναι μεγαλύτερος του Τ/2 στην πραγματικότητα, που σημαίνει ότι χωρίς την στρογγυλοποίηση που έγινε στον υπολογισμό της περιόδου, στην πραγματικότητα το σώμα Σ εγκαταλείπει τη δοκό όταν η δοκός έχει φτάσει στην πιο ακραία θέση της προς τα δεξιά, έχει σταματήσει στιγμιαία, και κατόπιν επιστρέφει … σε αυτή λοιπόν την πρώτη επιστροφή της δοκού το σώμα Σ εγκαταλείπει τη δοκό από το άκρο της Β … αν χρησιμοποιηθεί η στρογγυλοποίηση στο νούμερο της περιόδου, προκύπτει ότι το σώμα Σ εγκαταλείπει τη δοκό όταν αυτή φτάσει στην πιο ακραία θέση της προς τα δεξιά όπου και σταματά στιγμιαία.
Έχει διαφορά η προαναφερθείσα στρογγυλοποίηση; Κατά τη γνώμη μου έχει και είναι η εξής:
Τα ενεργειακά επιχειρήματα να τονίσουμε ότι ισχύουν παντού και πάντοτε και καλό είναι σε ότι λύση δίνει κανείς σε μια άσκηση να προσπαθεί να δώσει και μία εναλλακτική λύση μέσω ενεργειακών επιχειρημάτων
… πέραν τούτου, όπως μπορώ να διαπιστώσω, η άσκηση λύνεται με τη μέθοδο που πρότεινες ακριβώς όταν ο χρόνος κίνησης του σώματος Σ επί της σανίδας και το μήκος της σανίδας είναι τέτοια ώστε η αρχικώς ακίνητη σανίδα να ακινητοποιηθεί εν συνεχεία στιγμιαία ακριβώς τη στιγμή που το σώμα Σ την εγκαταλείπει από το άκρο Β αυτής … σε αυτή την περίπτωση και μόνο, η κίνηση της σανίδας κατά τη διάρκεια της επίδρασης της τριβής ολίσθησης (η οποία συνεχώς προσδίδει ενέργεια στη δοκό-ελατήριο συν όποια θερμότητα παράγεται) μπορεί να αντιστοιχηθεί σε μία εν δυνάμει μισή ταλάντωση περί τη μετατοπισμένη θέση ισορροπίας που δίνεται πριν από την εξ.(3) της λύσης σου … βέβαια αυτό το σημείο είναι άκρως σημαντικό γιατί στην ουσία επιτρέπει να βρεθεί η συνολική μετατόπιση της δοκού (αλλιώς πώς θα βρισκόταν;)
Αν εκ παραδρομής δεν κάνω κάπου λάθος, σε κάθε άλλη περίπτωση (π.χ. χωρίς την ανωτέρω στρογγυλοποίηση), χρειάζονται περισσότερα δεδομένα για να λυθεί μια τέτοια άσκηση. Π.χ. αν δεν γνωρίζω ούτε το μήκος της δοκού, ούτε την συνολική επιμήκυνση του ελατηρίου, ούτε κάποιο επιπλέον κινητικό δεδομένο για τη δοκό, το ενεργειακό επιχείρημα που παρέθεσα δεν δίνει λύση, γιατί έχεις λιγότερες εξισώσεις από αγνώστους. Αν γνωρίζει κανείς το μήκος της δοκού και ότι δίνει η άσκηση μέχρι τώρα, μπορεί να υπολογιστεί το μέρος του έργου της τριβής που χάνεται ως θερμότητα … οπότε το υπόλοιπο εκ της συνολικής απώλειας ενέργειας του σώματος Σ δαπανάται για την επιμήκυνση του ελατηρίου και την κινητική ενέργεια της δοκού … (πάλι όμως έχω δύο άγνωστες ποσότητες οπότε χρειάζομαι άλλο ένα δεδομένο).
Κατά τα άλλα είναι μια πολύ διδακτική από κάθε άποψη άσκηση!
… αν επιπλέον αντί για g = 10 m/s^2 χρησιμοποιηθεί η τιμή g = 9.81 m/s^2, τότε με βάση τα αριθμητική δεδομένα της άσκησης προκύπτει και πάλι ότι ο χρόνος κίνησης του σώματος Σ επί της δοκού είναι μεγαλύτερος του Τ/2, για την ακρίβεια βγαίνει 1.019 sec … αντί του 1 sec … αυστηρά μιλώντας, το ταίριασμα των χρόνων που αναφέρεις στην απάντησή σου Διονύση είναι σημαντικό για το συγκεκριμένο πρόβλημα (και για παρόμοια προβλήματα) εκτός κι αν θέλουμε απλά μια προσεγγιστική λύση της άσκησης όπου διαφαίνεται ποια ειδική περίπτωση έχει υπόψη του ο θεματοδότης
Καλησπέρα Παντελεήμονα.
Έχω δώσει δύο προσεγγίσεις για ευκολία στις πράξεις (να μπορούν να γίνουν χωρίς κομπιουτεράκι…)
Η μία είναι το g και η άλλη είναι το π^2=10.
Αν αγνοηθούν, προφανώς δεν θα συμπίπτει ο αποχωρισμός των δύο σωμάτων με την ακραία θέση της σανίδας.
Αλλά
Αλλά οι δοθείσες προσεγγίσεις δεν επηρεάζουν καθόλου το πρόβλημά μας.
Θα μπορούσαμε να αφήσουμε να προκύψει περίοδος 1,985s και αυτό το χρόνο να βάζαμε στις εξισώσεις για υ και x του σώματος, οπότε ανάλογα και με την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας, θα είχαμε μια μικρή "διόρθωση" στην ταχύτητα που εγκαταλείπει τη σανίδα…
Αλλά και να τα κάναμε όλα, με άπειρη ακρίβεια, από άποψη Φυσικής δεν θα άλλαζε τίποτα…
… συμφωνώ με αυτά που λες και όντως η μεταβολή των μεγεθών λόγω στρογγυλοποιήσεως των χρόνων είναι αμελητέα … απλά αυτό που προσπαθώ να τονίσω είναι το εξής (δεν είπα ότι αλλάζει κάτι στη φυσική του προβλήματος, αλλά εγείρω το ερώτημα του αν τα δεδομένα της άσκησης επαρκούν ή χρειάζονται περισσότερα δεδομένα):
Αν είμασταν απολύτως αυστηροί (π.χ. χωρίς τις στρογγυλοποιήσεις που προτείνεις) τότε προκύπτει ότι το σώμα Σ εγκαταλείπει τη δοκό εκ του άκρου Β σε χρονική στιγμή κατά την οποίαν η δοκός δεν βρίσκεται σε ακραία θέση ταλάντωσης (περί τη μετατοπισμένη θέση ισορροπίας) αλλά σε ενδιάμεση θέση (ίσως πολύ κοντά στην ακραία θέση ταλάντωσης … αλλά είπαμε ας είμαστε αυστηροί!),
… η κύρια διαφορά μεταξύ των δύο περιπτώσεων είναι ότι στη μία περίπτωση (ενδιάμεση θέση πολύ κοντά στην ακραία θέση) δεν έχω πληροφορία ούτε για την επιμήκυνση του ελατηρίου τη στιγμή του αποχωρισμού των δύο σωμάτων, ούτε για την κινητική ενέργεια της δοκού την ίδια στιγμή … ενώ στην άλλη περίπτωση (εγκατάλειψη δοκού όταν βρίσκεται ακριβώς στην ακραία θέση ταλάντωσης) έχω την επιπλέον πληροφορία για την κινητική κατάσταση της δοκού (μηδενική ταχύτητα) και όχι μόνο, προκύπτει ότι μπορεί να βρεθεί και η συνολική επιμήκυνση του ελατηρίου … υποθέτω ότι για την περίπτωση της εγκατάλειψης με ενδιάμεση θέση τα δεδομένα της άσκησης ως έχει δεν αρκούν!
… για να το πω κι αλλιώς, πρέπει ο χρόνος κίνησης του σώματος Σ επί της δοκού να ταιριάζει απολύτως με εν δυνάμει μισή ταλάντωση της δοκού περί τη μετατοπισμένη θέση ισορροπίας … πράγμα που δίνει επιπλέον πληροφορίες και για την κινητική κατάσταση της δοκού και για την επιμήκυνση του ελατηρίου … σε κάθε άλλη περίπτωση θα πρέπει να δοθούν επιπλέον δεδομένα στην εκφώνηση της άσκησης και ίσως και να χρειαζόταν εξ' αρχής και το μήκος της δοκού.
Συνοψίζοντας, δεν υπάρχει κάτι που αλλάζει στη φυσική της άσκησης, αυτό που αλλάζει είναι ότι με απόλυτο ταίριασμα των χρόνων όπως γίνεται στην άσκηση, έτσι όπως είναι η άσκηση, λύνεται … αλλά με οιοδήποτε offset των χρόνων χρειάζονται επιπλέον δεδομένα. Η ειδική περίπτωση που εξετάζεται στην άσκηση είναι μάλλον πιο ενδιαφέρουσα από μία πιο γενική περίπτωση.
Καλησπέρα Διονύση, δεν αφήνεις για λίγο τις αναρτήσεις να πεταχτείς αύριο μέχρι τη Γλασκόβη, να βοηθήσεις την πρωταθλήτρια να πάρει σκορ πρόκρισης, ώστε την άλλη Τρίτη να έχουμε κίνητρο για τα 700 χλμ,για να βρεθούμε στο ΟΑΚΑ …Τώρα που προλαβαίνεις, γιατί σε λίγες μέρες θα έχεις άλλα, πιο ωραία …
Αν θέλεις η original Λονδίνου έχει έτοιμη την εκδρομή…
Για την ανάρτηση, θα επανέλθω αργότερα…
Γεια σου Θοδωρή.
Καλή επιτυχία στην ΑΕΚ, αλλά μάλλον για Τόττεναμ με βλέπω και όχι για Γλασκώβη
Η άσκηση είναι πολύ καλή.. Θα πρότεινα να προσθέσεις τη συνάρτηση x-t πριν την γραφική παράσταση ..
Ειναι μια πιο εύκολη εκδοχή, μιας παλαιότερης, που είχες ανεβάσει πριν δύο χρόνια … Σε εκείνη είχες κεκλιμένο επίπεδο και τοποθετούσες το σώμα χωρίς αρχική ταχύτητα ..
Το πολύ ενδιαφέρον ήταν ο τρόπος που αποδεικνυες ότι το σώμα θα ολισθησει… Δεν αρκεί η σύγκριση της Βχ συνιστώσας με την Τορ αφού υπάρχει σχετική κίνηση των σωμάτων..
Γράφω από κινητό , δεν μπορω να δώσω το σύνδεσμο… Νομίζω αξίζει να το κάνεις… Είναι ανάρτηση της χρονιάς 2016-17…
Πάρε και τον Μάγιατ μαζί, μπορεί να γίνει Αεκτζης … όταν δει τον κόσμο της ΑΕΚ και νιώσει τον παλμό… Τι να μας πουν οι ….. πετηνοι….
Κατάλαβες ότι ο Μάγιατ είναι φανατικός της Τόττεναμ, οπότε τι να του πουν οι Ελληνικές ομάδες…
Οπότε θα τον συνοδεύσω…