by 
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται αντίθετα δύο κύματα, με το ίδιο μήκος κύματος και ίδιο πλάτος Α=0,1m, με ταχύτητα υ=1m/s. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη μορφή του μέσου τη στιγμή t0=0, όπου τα δυο κύματα φτάνουν στα σημεία Β και Γ.
- Να σημειωθούν πάνω στο σχήμα οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ, στις θέσεις xΒ=0 και xΓ=1m και να υπολογιστούν τα μέτρα τους τη στιγμή t0=0.
- Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t1=1s, σημειώνοντας επίσης στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Β, Γ καθώς και του μέσου Ο του ευθύγραμμου τμήματος, στη θέση xο=0,5m. Με ποιες μορφές εμφανίζεται η ενέργεια, την οποία μεταφέρουν τα δυο κύματα, στο τμήμα ΒΓ;
- Ποια η αντίστοιχη απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα, τη χρονική στιγμή t2=1,5s;
ή
Μια συμβολή και ένα στάσιμο χωρίς εξισώσεις.
Μια συμβολή και ένα στάσιμο χωρίς εξισώσεις.
Καλημέρα Διονύση.
Πρωί -πρωί χάζεψα τα κύματα απ'το παραθυράκι ΒΓ μέχρι που τέντωσα το κεφάλι και έξω απ'αυτό!
… αν σ'άκουγα δια ζώσης να διδάσκεις θα σε χειροκροτούσα ακόμη…ορθός.
Καταπληκτική η ανάλυση για την πέρα από μαθηματικές εξισώσεις κατανόηση της δημιουργίας του στάσιμου .
Καλό Σαββατοκύριακο
Υ.Γ.
Αν πάλι δεν κάνω σφάλμα "πρωινό"
νομίζω πρέπει στην εκφώνηση να μπεί Α=
0,10,2m για να είναι ορθά τα αποτελέσματα στα i) kai ii) αλλά να διορθοθεί στο iii) το 2Α=0,20,4m ή το ανάποδο…Καλημέρα παιδιά.
Διονύση είναι εντυπωσιακό. Η δεύτερη εικόνα της απάντησης ξεγελάει. Σκέφτεται κάποιος ότι και η ταχύτητα θα είναι μηδενική.
Όμως το Β απέχει λ/4 από το Ο (σχόλιο που γράφεις στο τέλος).
Παντελή και Γιάννη, καλό μεσημέρι. Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Παντελή πόσο είναι το πλάτος, 0,1m ή 0,2m; Είναι αυτό που λένε:
"μη γνώτω η δεξιά σου τι ποιεί η αριστερά σου"
Σε ευχαριστώ, το διόρθωσα…
Διονύση καλημέρα.
Πολύ καλή με λίγα εργαλεία. Το ερώτημα ii είναι ένα πανέμορφο β θέμα
Καλησπέρα Χρήστο και καλή Κυριακή.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Διονυση καλη σκεψη μιας και βαζεις τον λυτη στην διαδικασια να θα δει βημα προς βημα τη δημιουργια του στασιμου !
Θελησα να βρω εξισωσεις εχει ενδιαφερον και μαλλον μια καποια δυσκολια .
1. Αν ξεκινησει λοιπον κανεις απο την χρονικη στιγμη τ1 = Τ/2 = 1s τοτε εχουμε στασιμο για 0=< χ =< 1m με το σημειο Β με Χβ=0 και το σημειο Γ με Χγ = 1m να ειναι ΚΟΙΛΙΕΣ και το σημειο Ο με Χο=0.5m να ειναι ΔΕΣΜΟΣ .
Λαμβάνοντας το Β ως αρχη μετρησης αυτο εχει εξισωση ταλαντωσης Ψβ=0.2*ημ[π*(τ-1) + π] διοτι Ψβ=0 και υβ<0 την τ=τ1 . Επομενως η εξισωση του στασιμου ειναι :
Ψ(x,τ) = 0.2 *συν(πx) * ημ[π*(τ-1) + π] ,
υ(x,τ) = 0.2π *συν(πx) * συν[π*(τ-1) + π] για τ>=1s και (-1)*(τ-1) =< x =< 1+ 1*(τ-1)
Για τα κυματα τ=0 : Ψβ=0 , υβ>0 : Ψβ=0.1*ημ(πτ) —> Ψ1=0.1*ημ(πτ – πx)
Ψγ=0 ,υγ<0 : Ψγ=0.1*ημ(πτ+π) —>Ψ2=0.1*ημ[ (πτ+π) – ( 2π/λ)*(xγ -x) ] =0.1*ημ(πτ+πx)
Επομενως το κυμα που "τρεχει" προς τα δεξια η περιοχη που θα βρισκεται θα ειναι κατω απο το αριστερο ακρο του στασιμου κυματος δηλαδη θα εχουμε για το Ψ1=0.1*ημ(πτ – πx) , x=< (-1)*(τ-1).
Το κυμα που "τρεχει" προς τα αριστερα η περιοχη που θα βρισκεται θα ειναι πανω απο το δεξιο ακρο του στασιμου κυματος δηλαδη θα εχουμε για το Ψ2=0.1*ημ(πτ – πx) , x>= 1+ 1*(τ-1) .
2. Μια αλλη αντιμετωπιση ειναι η εξης :
Ψ(x,τ) = 0.2 * συν(πx+θ) * ημ[π*(τ-1) + φ] , υ(x,τ) = 0.2π* συν(πx+θ) * συν[π*(τ-1) + φ] , τ>=1s
Για τ=1s το Ψ(0.5m , τ=1s ) = 0.2 * συν(π/2+θ) * ημ(φ) = 0 ==> θ=0 ή φ=0
Για τ=1s το Ψ(0 , τ=1s ) = 0.2 * συν(θ) * ημ(φ) = 0 και υ(0,τ=1s)= 0.2π* συν(θ) * συν(φ) = -0.2π αρα αυτες οι δυο
ισοτητες δινουν συν(θ) * ημ(φ) = 0 και συν(θ) * συν(φ) = -1
Τοτε για θ=0 εχουμε ημ(φ) = 0 και συν(φ) = -1 ===> φ = π r
και για φ=0 εχουμε συν(θ) = 0 και συν(θ) = -1 απορρίπτεται .
Τελικα εχουμε θ=0 και φ = π r ===>
Ψ(x,τ) = 0.2 * συν(πx) * ημ[π*(τ-1) + π] , υ(x,τ) = 0.2π* συν(πx) * συν[π*(τ-1) + π] , τ>=1s
Εχουμε οτι 2*ημ(Α) *συν(Β) = 1* ημ (Α+Β) + 1*ημ(Α-Β) ——->
Ψ= 0.1* ημ(πτ+πx) + 0.1*ημ(πτ-πχ) —> Ψ1= 0.1*ημ(πτ-πχ) , Ψ2= 0.1* ημ(πτ+πx)
Καλησπέρα Κώστα και χρόνια πολλά.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό, αλλά και την κατάθεση της εναλλακτικής αποδεικτικής πορείας, μέσω εξισώσεων.
Έχω δημοσιεύσει παλιότερα κάτι, στη λογική αυτή:
Δύο τρέχοντα κύματα και περιοχές συμβολής.
Χρόνια πολλά Διονύση και από εδώ,
ο εξελικτικός σχηματισμός του στάσιμου είναι θέμα τεράστιας διδακτικής αξίας
και είναι κρίμα που στο σχολικό δεν αναφέρεται..
Κάθε χρονιά μας τον θυμίζεις με κάποια ανάρτηση και πολύ καλά κάνεις..
Τα τελευταία χρόνια περνά όλο και πιο δύσκολα στους μαθητές…
Προτιμούν να αντιμετωπίζουν το στάσιμο ως μια ακόμα εξίσωση
και δεν θέλουν να «ξεβολευτούν»…
Πιστεύω πως μόνο αν ο μαθητής σχεδιάσει διαδοχικά στιγμιότυπα συμβολής
καταλαβαίνει το μηχανισμό δημιουργίας….Και δίνω έμφαση στο να «σχεδιάσει»
στο τετραδιάκι του….μέσα από ένα φύλλο εργασίας….
Να το δει σε ppt θεωρώ πως δεν θα του μείνει κάτι…κάτι «δικό του»
που θα μπορεί να χρησιμοποιήσει αργότερα…
Όλα αυτά όμως χρειάζονται χρόνο και με δεδομένο πως το στάσιμο «δικαιούται»
τρεις διδακτικές ώρες, καταλαβαίνεις πως τα περιθώρια είναι στενά….
Πάμε τώρα στην ανάρτηση….που έχει τεράστια διδακτική αξία
Διαβάζοντας την εκφώνηση, με μπέρδεψε η φράση:
«διαδίδονται αντίθετα δύο όμοια κύματα»
Τα συγκεκριμένα κύματα νομίζω πως δεν είναι όμοια, αφού η έναρξη ταλάντωσης
των σημείων του ελαστικού μέσου εξαιτίας κάθε κύματος, γίνεται προς την αντίθετη φορά…
Στη δική μου σκέψη, τα «όμοια» κύματα θα έπρεπε να υποχρεώνουν τα σημεία
του μέσου σε έναρξη κίνησης προς την ίδια φορά…
Τότε όμως το αποτέλεσμα της συμβολής σε Δt=T/2 μετά τη στιγμή t=0,
θα είχε ως αποτέλεσμα τα σημεία του μέσου στο οποίο υπάρχει συμβολή
ή αν προτιμάς έχει σχηματισθεί το στάσιμο, να βρίσκονται σε ακρότατες θέσεις
της ταλάντωσης τους με μηδενικές ταχύτητες…
Επίσης δεν μπορούσα να καταλάβω αν τη στιγμή t=0, στην περιοχή ΒΓ
υπήρχε συμβολή δηλαδή είχε δημιουργηθεί στάσιμο, ή το ένα κύμα έφθανε στο Β
και το άλλο στο Γ….Νομίζω θέλει κάποια διευκρίνηση…
Και μια «προβοκατόρικη» ερώτηση…..
Γράφεις: «οπότε οι ενέργειες των δύο κυμάτων εμφανίζονται ως δυναμική ενέργεια
του ελαστικού μέσου, λόγω παραμόρφωσης»
Δυναμική ενέργεια…δηλαδή η γνωστή από την ΑΑΤ δυναμική…η 1/2Dy2 ;;;;;
Καλημέρα και χρόνια πολλά Θοδωρή.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και τις παρατηρήσεις.
Στα γενικά αξιολογικά μιας τέτοιας θεώρησης της συμβολής προφανώς συμφωνούμε.
Αλλά και στις ιδιαίτερες παρατηρήσεις…συμφωνούμε, αφού πράγματι το "όμοια" που είχα γράψει ήταν λάθος.
Το διόρθωσα και με την ευκαιρία, επεξήγησα ότι τα κύματα τη στιγμή μηδέν φτάνουν στα σημεία Β και Γ.
Όσον αφορά την ενέργεια που μεταφέρει το κύμα, ας μείνουμε ότι σε κάθε σημείο που φτάνει, θα τεθεί σε ταλάντωση με πλάτος ταχύτητας υmax= ωΑ, οπότε το αντίστοιχο υλικό σημείο μάζας dm θα αποκτά ενέργεια Ε= 1/2 dm(υmax)^2.
Για περισσότερα (για καθηγητές και όχι για μαθητές) δες εδώ:
Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.