by 
Λόγω παλαιοτέρων συζητήσεων πάνω στο θέμα και αυτής που άνοιξε πρόσφατα, έγραψα το παρακάτω αρχείο στο οποίο πραγματεύεται η ταλάντωση της ελεύθερης επιφάνειας ενός ιδανικού ρευστού σε συγκοινωνούντα δοχεία. Προσωπικά δεν μπορώ να βρω λάθος σε κάποιο σημείο του συλλογισμού (φυσικά αυτό δεν σημαίνει ότι και έτσι είναι).
Ταλάντωση και συγκοινωνούντα δοχεία
Στάθη το λάθος που εγώ βλέπω είναι το ότι η εξίσωση Bernoulli δίνει μια ταχύτητα η οποία δεν σχετίζεται με την ταχύτητα ανόδου της στάθμης του νερού. Όταν εξισώνονται οι δύο στάθμες η κίνησή τους παύει.
Μηδενίζεται η ταχύτητα εκροής και η παροχή. Η παροχή δεν παίρνει αρνητικές τιμές.
Η κινητική ενέργεια που το νερό έχει αποκτήσει είναι “ανοργάνωτη”. Δεν θα μετατραπεί σε δυναμική ενέργεια.
Φαίνεται καθαρά στο βίντεο που έστειλε ο Παντελής τότε.
Το “σταμάτημα” δεν οφείλεται στο όποιο ιξώδες (μικρότατο για το νερό εξ’ άλλου).
Γεια σου Γιάννη.
Στο συγκεκριμένο επιχείρημα υπολογίζονται οι ταχύτητες ανόδου και καθόδου του της ελεύθερης επιφάνειας του νερού σε κάθε δοχείο. Δεν λαμβάνεται καθόλου υπόψιν η ταχύτητα στο εσωτερικό του οριζοντίου σωλήνα, παρά μόνον η αρχική και η τελική της τιμή.
Δεν καταλαβαίνω πώς εξηγείται ότι παύει η ταχύτητα τη; στάθμης του δοχείου 2 όταν εξισωθούν τα ύψη. Πρέπει ο μηχανισμός που αρχικά επιταχύνει και στην συνέχεια επιβραδύνει την στάθμη 2 να είναι ξεκάθαρος.
Η παροχή μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές όταν ο όγκος του νερού στο αντίστοιχο δοχείο ελαττώνεται.
Σε κάθε περίπτωση για να εξηγήσουμε ένα φαινόμενο πρέπει να βασιστούμε σε κάποιες αρχές. Το κεντρικό σημείο της αμφιβολίας μου είναι η έλλειψη μηχανισμού για την υποτιθέμενη γραμμικότητα της ροής. Μηχανισμού μέσω εξισώσεων. Δεν είμαι σίγουρος για τίποτε και δεν αμφιβάλλω για το βίντεο που λες (δεν το έχω δει και δεν ξέρω υπό ποιες συνθήκες πραγματοποιείται το φαινόμενου).
Για παράδειγμα τι ακριβώς αλλάζει από την περίπτωση ενός σωλήνα σχήματος U και σταθερής διατομής, με ένα σωλήνα με λόγο διατομών 1/3; Και πότε ακριβώς πραγματοποιείται αυτή η αλλαγή συμπεριφοράς;
Όσον αφορά στην εξίσωση Bernoulli: την δεχόμαστε όταν το νερό κατέρχεται στον ένα σωλήνα και δεχόμαστε το θεώρημα Torrricelli για να γράψουμε την ταχύτητα εκροής. Δεχόμαστε επίσης ότι όλη η ποσότητα του νερού στον σωλήνα 1 έχει την ίδια ταχύτητα. Αλλά αυτό δεν ισχύει για το νερό που ανέρχεται στον σωλήνα 2. Και δεν ισχύει η εξίσωση καθόλου για λόγο εμβαδών διάφορο του 1. Μπορεί να είναι έτσι, αλλά θα ήθελα να ήξερα, αν είναι όντως έτσι, το γιατί. Ποιες αρχές από την αστρόβιλο, ασυμπίεστη και ιδανική ροή παραβιάζονται στα δύο δοχεία και γιατί;
Πιο απλά ας πω ότι όταν από ένα βαρέλι που είναι ψηλά, αδειάζει νερό σε βαρέλι που είναι χαμηλότερα, ΤΡο νερό στο κάτω βαρέλι έχει κινητική ενέργεια. Όμως αυτή είναι “άτσαλη”. Δηλαδή η ταχύτητα του κέντρου μάζας του νερού είναι μηδενική.
Έτσι αν υπήρχε διέξοδος που θα του επέτρεπε να ανέβει (άλλος σωλήνας λ.χ.) δεν θα ανέβει.
Η περίπτωση διαφέρει ριζικά από την περίπτωση ταλάντωσης νερού σε “υοειδή” σωλήνα. Εκεί όχι μόνο έχει κινητική ενέργεια το νερό αλλά το κέντρο μάζας του έχει ταχύτητα Τούτο διότι το νερό κινείται “εν σώματι”. Η “οργανωμένη” αυτή κινητική ενέργεια μετατρέπεται σε δυναμική και το νερό ανεβαίνει στον υοειδή σωλήνα. Έχουμε ταλάντωση.
Δεν έχω μελετήσει το πρόβλημα, όμως αισθάνομαι ότι ακόμα και με λόγο διατομών 3:1 δεν θα έχουμε ταλάντωση.
Πόσο μάλλον με λόγο διατομών αυτόν που φαίνεται στο σχήμα της ανάρτησης.
Αν έχουμε ιξώδες ταχύτατα θα μετατραπεί η εν λόγω κινητική ενέργεια σε θερμική. Αν όχι θα έχουμε νερό συνεχώς περιδινιζόμενο στο δεξιό δοχείο. Το κέντρο μάζας του θα έχει μηδενική ταχύτητα και δεν θα ανέβει λόγω αδρανείας ώστε να έχουμε ταλάντωση.
Το σχήμα της ανάρτησης δεν έχει κανένα νόημα (το πάχος του κάθε σωλήνα είναι τυχαίο).
Γιατί το νερό δεν κινείται εν σώματι σε ένα σωλήνα σχήματος U αν το ένα στέλεχος έχει μεγαλύτερη διατομή από το άλλο;
Ποια Bernoulli από τις 3 αμφισβητείται και γιατί, ποια αρχή της παραβιάζεται;
Στάθη το προηγούμενο σχόλιό μου εξηγεί το γιατί.
Ας σκεφτούμε δύο πράγματα:
1. Για να ανέβει ένα μέτρο (όσο ίσως διαφέρουν αρχικά οι στάθμες) θα πρέπει το κέντρο μάζας να έχει ταχύτητα ίση με 4,5 m/s περίπου (κατακόρυφη βολή προς τα πάνω). Αυτό δεν συμβαίνει. Ας δεχθούμε μικρότερη άνοδο. Πάλι ταχύτητα 3m/s δεν μπορεί να έχει το κέντρο μάζας. Θα είχαμε τερατώδεις παροχές. Παροχές που γεμίζουν πισίνα σε δευτερόλεπτα. Παροχές που δεν έχουμε. Μια ταχύτητα στάθμης ενός χιλιοστού το δευτερόλεπτο πόση άνοδο προκαλεί στο νερό; Προκαλεί άνοδο μισού χιλιοστού;
2. Το βίντεο του Παντελή δείχνει σταμάτημα. Επειδή το νερό είναι “σχεδόν ιδανικό” θα έπρεπε να βλέπαμε μια άνοδο στάθμης. Όχι 10 πόντων όσο η αρχική διαφορά στάθμης. Ας βλέπαμε άνοδο 4 πόντων. Έστω 1 πόντου. Όμως βλέπουμε σταμάτημα και όχι ταλάντωση.
Το μοντέλο του ιδανικού υγρού δεν μπορεί να απέχει τόσο από το νερό. Αν αυτό συνέβαινε το μοντέλο θα είχε καταργηθεί λίγα δευτερόλεπτα μετά την επινόησή του. Δεν είναι δυνατόν νερό σε βαρέλι να ανεβαίνει 1 μέτρο ταλαντευόμενο.
Καλησπέρα Στάθη.
Και εγώ έχω την άποψη ότι δεν θα υπάρξει ταλάντωση.
Το σφάλμα νομίζω ότι γίνεται στην εφαρμογή Bernoulli μεταξύ των θέσεων 4 και 2.
Σε ανάλογη συζήτηση την προηγούμενη χρονιά, είχαμε καταλήξει ότι η ροή σταματά στην έξοδο του στενού σωλήνα.
Μέχρι πού εφαρμόζεται ο νόμος Bernoulli;
Άλλο πράγμα ένας υοειδής σωλήνας (έστω και με διαφορετικές διατομές) και άλλο δυο βαρέλια συνδεόμενα με σωλήνα.
Ουδεμία εξίσωση Bernoulli αμφισβητώ. Όμως πως διαβάζουμε μια σχέση Bernoulli;
Αν η αρχική διαφορά στάθμης ήταν 5 μέτρα, η εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli θα έδινε ταχύτητα στο σημείο 2 ίση με 10m/s. Καταλαβαίνουμε ότι η ταχύτητα αυτή αποκλείεται να είναι η ταχύτητα της στάθμης του δεξιού δοχείου. Αν ήταν τότε θα είχαμε παροχές της τάξης των 10 κυβικών το δευτερόλεπτο. Παροχές που θα γέμιζαν πισίνα κολυμβητηρίου σε ελάχιστα λεπτά. Αυτά όμως δεν γίνονται.
Η εξίσωση Bernoulli δίνει την ταχύτητα που θα αποκτήσει μια μαζούλα νερού αν μεταβεί από το σημείο 1 στο σημείο 2.
Αυτή όμως η μαζούλα δεν έχει την ίδια ταχύτητα με τις άλλες μαζούλες της επιφάνειας. Αλοίμονο αν είχαν όλες οι μαζούλες της επιφάνειας την ίδια ταχύτητα.
Αλλά να προσθέσω και κάτι άλλο, σε σχέση με την ταλάντωση.
Αν έχουμε ένα σωλήνα σχήματος U, τότε όλη η μάζα του ρευστού αποκτά κάποια ταχύτητα:
και είναι λογικό και αναμενόμενο, λόγω αδράνειας να ταλαντωθεί. Ας μην ξεχνάμε ότι η ταλάντωση στην αδράνεια οφείλεται.
Αν όμως έχω δυο δοχεία που συνδέονται με ένα σωλήνα κοντά στον πυθμένα, ανεξάρτητα του πώς θα υπολογίσω την ταχύτητα μεταφοράς του νερού (και μέχρι ποιο σημείο θα θεωρήσω ότι έχω ροή), υπάρχει μια πολύ μικρή ποσότητα ρευστού που ρέει με αυτήν την ταχύτητα. Το υπόλοιπο υγρό παραμένει σχεδόν ακίνητο.
Αλλά τότε σε μια αδράνεια να στηριχθούμε για να προβλέψουμε ταλάντωση;
Καλησπέρα Διονύση.
Στα αρχείο δεν αναφέρθηκα καθόλου σε στενό σωλήνα, απλά σε ένα σωλήνα μικρού όγκου ο οποίος ενώνει τα δύο δοχεία..
Και εμένα με προβληματίζει η συγκεκριμένη εξίσωση από το 4 στο 2. Δεν μπορώ όμως να εξηγήσω ποια αρχή παραβιάζεται για να μην εφαρμόσει κάποιος την εξίσωση… και οι αρχές είναι μόνον τρεις! Και πότε παραβιάζεται αυτή η αρχή; Τι αλλάζει από το σχήμα U (όπου δεχόμαστε ταλάντωση) σε ένα παρόμοιο σχήμα με διαφορετικά εμβαδά διατομής στα κατακόρυφα στελέχη (μικρές αλλαγές όχι μεγάλες). Και πότε αλλάζει ¨φάση¨ η συμπεριφορά του συστήματος;
Δεν θα συνεχίσω να επιμένω στα ίδια ερωτήματα.
Καλησπέρα Στάθη.
Γράφαμε μαζί, οπότε νομίζω ότι απάντησα για το δοχείο σχήματος U και την αδράνεια.
Προφανώς αν φύγουμε από αυτό, αλλά ο σωλήνας που ενώνει τα δοχεία έχει αρκούντως μεγάλη διατομή, μεγάλη ποσότητα νερού θα κινηθεί και η αδράνεια δεν θα μπορεί να αγνοηθεί…
Στάθη η εξίσωση εφαρμόζεται από το 4 στο 2. Τι είναι όμως η ταχύτητα που δίνει;
Η διαφορά που έχει ο υοειδής σωλήνας είναι ότι επιτρέπει και επιβάλλει στο νερό να έχει ίδια ταχύτητα σε όλη τη μάζα του.
Έτσι η επιφάνεια (αλλά και όλη η μάζα) θα έχει ταχύτητα ίση με ρίζα(2.g.h). Στην συνέχεια θα ανέβει κατά h και θα έχουμε ταλάντωση. Όμως με μεγάλη επιφάνεια η ταχύτητα θα είναι όχι ρίζα(2.g.h) αλλά ίσως ρίζα(2.g.h)/10. Πόσο θα ανέβει τώρα;
Έγραψα ρίζα(2g.h)/10 αν και θα μπορούσα να γράψω ρίζα(2g.h)/1000. Τούτο διότι είπες ότι δεν μιλάς για στενό σωλήνα.
Έστω λοιπόν ρίζα(2g.h)/10. Πόση άνοδο θα έχουμε;
Γιάννη σύμφωνα με το συγκεκριμένο μοντέλο η στάθμη θα ανέβει σε κάθε δοχείο όπως στα σχήματα που έδωσα. Εξαρτάται από την αρχική διαφορά ύψους και από τον λόγο των διατομών των δύο δοχείων.
Αμφιβάλλω Διονύση. Αν ο σωλήνας έχει διατομή ίση με το 1/3 αυτής των δοχείων, τότε η ταχύτητα της στάθμης θα είναι ίση με το 1/3 αυτής του νερού του σωλήνα. Όταν εξισώνονται οι στάθμες πόση είναι αυτή;
Έστω ότι δεν είναι μηδενική. Έστω ότι είναι ρίζα(2g.h)/3 (που δεν είναι). Πόση άνοδο της στάθμης του νερού θα έχουμε ώστε να μιλάμε για ταλάντωση;
Ο Βαγγέλης Κορφιάτης είχε δείξει ότι ακόμα και με λόγο διατομών 3:1 ισχύουν με καλή προσέγγιση όσα ισχύουν με μεγάλο λόγο διατομών. Αν με μεγάλο λόγο διατομών έχουμε ακαριαία ακινητοποίηση, θα έχουμε και συντομότατη ακινητοποίηση με λόγο 3:1.
Στάθη ένα ανέβασμα 15 πόντων περίπου δίνεις. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του νερού είναι 1,7 m/s.
Η ταχύτητα αυτή είναι τεράστια και αντιστοιχεί σε τεράστια παροχή.
Γιάννη η ταχύτητα βγαίνει λίγο κάτω από 1m/s στην ΘΙ (πραγματικά μεγάλη) αλλά σε μία περίοδο των 1.3s (πραγματικά μικρή). Η συγκεκριμένη παροχή σε αυτόν τον χρόνο δεν προλαβαίνει να κάνει τίποτα. Παρόμοια νούμερα έχουμε και από το θεώρημα Torricelli.
Συμφωνώ ότι τα ποσοτικά συμπεράσματα είναι πραγματικά πολύ μεγάλα για ταχύτητες και πολύ μικρά για περιόδους. Με τόσες προσεγγίσεις αυτό δεν μου φαντάζει παράδοξο. Αλλά η συμπεριφορά του μοντέλου είναι σωστή σε όλες τις ακραίες περιπτώσεις (κ=1, κ=0, κ->άπειρο).