by 
Λόγω παλαιοτέρων συζητήσεων πάνω στο θέμα και αυτής που άνοιξε πρόσφατα, έγραψα το παρακάτω αρχείο στο οποίο πραγματεύεται η ταλάντωση της ελεύθερης επιφάνειας ενός ιδανικού ρευστού σε συγκοινωνούντα δοχεία. Προσωπικά δεν μπορώ να βρω λάθος σε κάποιο σημείο του συλλογισμού (φυσικά αυτό δεν σημαίνει ότι και έτσι είναι).
Ταλάντωση και συγκοινωνούντα δοχεία
Καλημέρα συνάδελφοι.
Γιάννη και Διονύση, παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνολικής μηχανικής ενέργειας του νερού στο δοχείο με τον χρόνο για k=0.25, δηλαδή για τα αριθμητικά αποτελέσματα της μπλε γραμμής στην γραφική παράσταση του αρχείου (διαιρώ το αποτέλεσμα με το γινόμενο της πυκνότητας του νερού επί την διατομή του πρώτου δοχείου). Προκύπτει ευθεία, συνεπώς στο μοντέλο η ενέργεια διατηρείται.
Δίνω το γράφημα απαντώντας κυρίως στο σχόλιο του Γιάννη εδώ, σε διπλανή συζήτηση. Η σταθερή τιμή είναι
(0.5 ρ g Α1 h1^2 + 0.5 ρ g Α2 h2^2) = 4.915
για g=9.83, h1=0.6, h2=0.4, k=0.25 (S.I.)
Μία διόρθωση:
(0.5 ρ g Α1 h1^2 + 0.5 ρ g Α2 h2^2) = 4.915 ρ Α1
Καλημέρα Στάθη.
Δεν αμφισβήτησα ποτέ, ότι αν εφαρμόσεις Bernoulli (θεωρώντας ότι ισχύει και μεταξύ των σημείων 4 και 2), θα ισχύει η διατήρηση της ενέργειας. Προφανώς θα ισχύει.
Δεν είναι η διατήρηση της ενέργειας που με κάνει να υποστηρίζω ότι η ροή σταματά μόλις το νερό φτάσει στο δεξιό δοχείο…
Διονύση το ξέρω ότι δεν υποστήριξες κάτι τέτοιο. Απευθύνθηκα και σε εσένα γιατί μέχρι στιγμής εμείς οι τρεις συμμετέχουμε σε αυτήν την συζήτηση.
Να ξεκαθαρίσω κάτι. Δεν υποστηρίζω από την αρχή ότι με κάθε γεωμετρία των δοχείων θα δούμε περιοδικά φαινόμενα. Απλά αρχίζω να πείθομαι ότι με την κατάλληλη γεωμετρία (πολύ μικρός σε μήκος σωλήνας σύνδεσης με διατομή της τάξης των διατομών των δοχείων, καμπυλωμένες γωνίες για να στριβει “εύκολα” το νερό) θα προκύπτει “ταλάντωση” των ελευθέρων επιφανειών. Στο συγκεκριμένο επιχείρημα προσωπικά δεν βλέπω λάθος παραδοχή αν συντρέχουν όλοι οι παραπάνω λόγοι.
Στάθη, έχω γράψει παραπάνω:
“Προφανώς αν φύγουμε από αυτό, αλλά ο σωλήνας που ενώνει τα δοχεία έχει αρκούντως μεγάλη διατομή, μεγάλη ποσότητα νερού θα κινηθεί και η αδράνεια δεν θα μπορεί να αγνοηθεί…”
Άρα δεν ήμουν τόσο απόλυτος ότι φαινόμενα αδράνειας δεν υπάρχουν και δεν είπα ότι “αποκλείεται” να υπάρξει (ανάλογα με τις ειδικές συνθήκες…) και κάποια ταλάντωση της επιφάνειας.
Καλημέρα παιδιά.
Στάθη δεν είπα ότι η ενέργεια δεν διατηρείται, ούτε ότι εσύ κάνεις λανθασμένους υπολογισμούς.
Ελέγχω μια υπόθεση που περίπου λέει:
Οι όγκοι των υγρών σε κάθε δοχείο έχουν την ταχύτητα που έχουν οι επιφάνειες των υγρών στο αντίστοιχο δοχείο.
Μια πρόταση ελέγχεται με αντιπαράδειγμα. Αντιπαράδειγμα που επιλέγει αυτός που ελέγχει την πρόταση. Αρκεί να βρεθεί ένα αντιπαράδειγμα (που να μην κάνει λάθος φυσικά) και η πρόταση ελέγχεται.
Έτσι επέλεξα ως αντιπαράδειγμα τα δύο δοχεία και τον σωλήνα του σχήματος:
Κάνω την υπόθεση ότι το αριστερό υγρό έχει την ταχύτητα του Α και το δεξί του Γ.
Σε χρόνο dt μια μάζα dm βρίσκεται από τον αριστερό χώρο στον δεξί.
Η ταχύτητά της γίνεται από μεγάλη (υΑ) μικρή (υΓ). Η κινητική της ενέργεια μειώνεται.
Η κινητική ενέργεια του υπόλοιπου συστήματος μένει ίδια.
Επομένως η κινητική ενέργεια όλου του συστήματος μειώνεται.
Ταυτόχρονα όμως η δυναμική ενέργεια του συστήματος μειώθηκε κατά dm.g.IΔhI.
Συνεπώς η ολική ενέργεια μειώθηκε, Αυτό όμως είναι προβληματικό διότι dE/dt=0 σε ιδανικό υγρό.
Αν η υπόθεση:
Οι όγκοι των υγρών σε κάθε δοχείο έχουν την ταχύτητα που έχουν οι επιφάνειες των υγρών στο αντίστοιχο δοχείο.
ήταν σωστή, τότε δεν θα προέκυπτε άτοπο.
Η επιλογή της πορείας που καταλήγει σε άτοπο μπορεί να είναι όποια θέλει αυτός που την επικαλείται.
Μια άλλη πορεία μπορεί να μην καταλήξει σε άτοπο. Έτσι οι υπολογισμοί του Στάθη δεν κατέληξαν σε τέτοιο άτοπο.
Άλλο όμως το παράδειγμα και άλλο το αντιπαράδειγμα.
Ένα άλλο άτοπο:
Το έμβολο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Μάζα Δm υγρού εισέρχεται σε χώρο μικρής ταχύτητας και η κινητική της ενέργεια μειώνεται αν δεχθούμε την υπόθεση:
Οι όγκοι των υγρών σε κάθε δοχείο έχουν την ταχύτητα που έχουν οι επιφάνειες των υγρών στο αντίστοιχο δοχείο.
Η δυναμική δεν μεταβάλλεται, οπότε η ολική μειώνεται. Δηλαδή το έργο της F είναι αρνητικό.
Δηλαδή η δύναμη έχει αντίθετη φορά.
Μια μικρότατη επομένως αρχική ώθηση γεννά αεικίνητο.
Άτοπο.
Επομένως η υπόθεση:
Οι όγκοι των υγρών σε κάθε δοχείο έχουν την ταχύτητα που έχουν οι επιφάνειες των υγρών στο αντίστοιχο δοχείο.
έχει πρόβλημα.
Κάτι από παλιότερα:
Μπορεί φυσικά να κάνω λάθος και στα 3 αντιπαραδείγματα που επικαλούμαι.
Τότε η πρόταση:
Οι όγκοι των υγρών σε κάθε δοχείο έχουν την ταχύτητα που έχουν οι επιφάνειες των υγρών στο αντίστοιχο δοχείο.
μπορεί να μην έχει πρόβλημα. Μπορεί, όχι “σίγουρα δεν έχει” διότι μπορεί να βρει κάποιος αντιπαράδειγμα που στέκει.
Πιστεύω όμως ότι τα αντιπαραδείγματα δεν έχουν λάθος. Αν έχουν ας εντοπιστούν τα λάθη.
Έτσι επιφυλάσσομαι για οτιδήποτε προκύπτει από την παραπάνω υπόθεση.
Κάποιες φορές η υπόθεση δίνει σωστά αποτελέσματα. Την εμπιστευόμαστε και κάποιες φορές γεννώνται παράδοξα όπως τα προηγούμενα.
Γιάννη, αρχικά δεν λέω ότι οι ταχύτητες είναι πραγματικά ίσες. Μια προσέγγιση κάνω ότι επειδή οι διαφορές τους θα είναι μικρές, απαλείφονται οι αντίστοιχοι όροι. Το δε αποτέλεσμα δεν παραβιάζει καμία αρχή διατήρησης. Είναι λογικό σε διαφορετικά συστήματα να μην ισχύουν οι ίδιες προσεγγίσεις. Γιατί αυτό πρέπει να μας απασχολεί;
Να το πω αλλιως: η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή σε ακρίβεια πέμπτου δεκαδικού ψηφίου. Αυτό “πληρωσαμε” για την προσέγγιση.
Γιάννη γράφαμε μαζι
Στάθη με παραπλήσιες διατομές δοχείων και σωλήνα οι ταχύτητες είναι ΄παραπλήσιες και η υπόθεση στέκει.
Το συμπέρασμα για ταλαντώσεις στέκει. Τι συμβαίνει όμως με διατομές δοχείων 3Α και 4Α και διατομή σωλήνα Α;
Στέκει η υπόθεση;
Για να ελέγξω την υπόθεση επιλέγω αντιπαράδειγμα που καταλήγει σε άτοπο. Φαίνεται ότι η υπόθεση θέλει προσοχή.
Φαίνεται να γεννάται μια “ανοργάνωτη” κινητική ενέργεια. Κινητική ενέργεια μεν του υγρού αλλά όχι ταχύτητα σημαντική του κέντρου μάζας. Ταχύτητα που θέλουμε ώστε να έχουμε ταλάντωση.
Σαν να λέμε ότι μέσα σε ένα βαρέλι έχουμε 1000 μπαλάκια που κινούνται με μεγάλες ταχύτητες μέσα σ’ αυτό. Το σύστημα έχει κινητική ενέργεια αλλά δεν θα ανέβει σε κάποιο ύψος, λόγω του τυχαίου των διευθύνσεων των ταχυτήτων.
Αν οι κρούσεις είναι ελαστικές, θα διατηρηθεί αυτή η κινητική ενέργεια μεν, θα παραμείνει “ανοργάνωτη” δε.
Γιάννη στο σημείο αυτό έχεις ένα δίκιο. Το συγκεκριμένο μοντέλο αγνοεί τον σωλήνα σύνδεσης. Ξεκινά από την υπόθεση ότι έχει πολύ μικρό μήκος, άρα δεν επηρεάζει τον συνολικό όγκο του νερού στην εξίσωση της συνέχειας. Στην πράξη το νερό φεύγει από το δοχείο 1 με μία ταχύτητα και εμφανίζεται με μια διαφορετική στο δοχείο 2. Μοιάζει με ελαστική κρούση. Πιθανόν για διατομές 4Α και 3Α να υπάρχει πρόβλημα. Σίγουρα όσο μικραίνει ο λόγος το πρόβλημα θα αυξάνει (συμφωνούμε και σε αυτό). Ούτως ή άλλως αυτά τα μοντέλα τα εμπιστεύομαι περισσότερα ποιοτικά (όταν “λειτουργούν” παρά ποσοτικά). Απλά το μοντέλο δίνει έναν λογικά συνεπή μηχανισμό για το πώς θα μπορούσε να προκύψει περιοδική κίνηση. Αν ισχύει και πότε, μόνον το πείραμα θα απαντούσε, ένα πείραμα σχεδιασμένο κοντά στις παραδοχές του μοντέλου.
Στάθη όσο μικρό μήκος και αν έχει ο σωλήνας θα οδηγήσει σε μεγάλες ταχύτητες. Φλέβες νερού με διατομή περίπου αυτήν του σωλήνα θα διασχίζουν το νερό του δεξιού δοχείου. Ανοργάνωτη κινητική ενέργεια.
Γράφω κάτι, σε λίγο το επικολλώ.
Στάθη βλέπω στην ανάρτησή σου h1=60cm,h2=40cm και κ=0,5.
Βλέπω ανεβοκατέβασμα 20cm και ταχύτητες μέχρι ½ m/s.
Δεν βλέπω την διατομή του σωλήνα σύνδεσης.
Να υποθέσω ότι η έχουμε τέτοιες ταχύτητες με διατομές δοχείων 0,5m2 και 1m2 και σωλήνα διαμέτρου 5cm; Να μιλήσουμε για 20cm;
Οι παροχές μου φάνηκαν εξωπραγματικές. Το νερό στον σωλήνα σύνδεσης πρέπει να ρέει με ταχύτητα κάπου 100 m/s. Ταχύτητα έξω από κάθε εμπειρία. Παροχές κάπου 250 L/s. Σε σωλήνες διαμέτρων 5cm δεν βλέπουμε τέτοιες παροχές που γεμίζουν πισίνα σε λίγα λεπτά. Και μάλιστα προερχόμενες από υψομετρικές διαφορές 60 cm. Οι εμπειρίες μου είναι άλλες.
Ψάχνω τι μπορεί να συμβαίνει.
Βλέπω τις πράξεις σωστές.
Οπότε κοιτάζω την υπόθεση:
Υποθέτω ότι η ταχύτητα στα κατακόρυφα δοχεία είναι προσεγγιστικά σταθερή, ήτοι υ1=υ3 και υ2=υ4.
Διαβάζω παρακάτω και καταλαβαίνω ότι η υ2 συνδέεται όχι με ταχύτητα ενός στοιχείου ρευστού (μαζούλας) αλλά με την άνοδο όλης της επιφάνειας. Έχοντας δει παράδοξα στο παρελθόν να προκύπτουν από τέτοιες παραδοχές, κατασκευάζω αντιπαραδείγματα.
Τα αντιπαραδείγματα μικρή σχέση έχουν με την ανάρτησή σου. Όμως επικαλούνται την ίδια υπόθεση και καταλήγουν σε εμφανή άτοπα. Έτσι η υπόθεση ότι η υ2 είναι η ταχύτητα ανόδου της επιφάνειας ή η ταχύτητα κίνησης του υγρού στο δεξιό δοχείο δεν πρέπει να στέκει. Ίσως στέκει αν ο σωλήνας σύνδεσης ήταν πάρα πολύ φαρδύς. Ίσως 0,4 m2.
Αμφιβάλλω ακόμα και για την περίπτωση αυτήν αλλά ας το δούμε κάποια φορά καλύτερα.
Έτσι θεωρώ ότι μια τολμηρή υπόθεση μας οδηγεί με μαθηματική συνέπεια σε συμπεράσματα που δεν είναι σωστά.
Ένα μοντέλο δεν μπορεί να απέχει τόσο από την συμπεριφορά του νερού.
Το νερό όταν έχουμε κοντούς και φαρδείς σωλήνες είναι με εξαιρετική προσέγγιση ιδανικό υγρό. Αν αντί της ταχύτητας ½ m/s βλέπαμε μια 0,45 m/s να δεχθούμε ότι το μοντέλο στέκει. Όμως οι ταχύτητες που βλέπουμε είναι τάξεις μεγέθους μικρότερες.