by 
Καλησπέρα σε όλους. Έλαβα το παρακάτω μήνυμα:
Καλησπέρα Διονύση.Μια ερώτηση αν έχεις χρόνο.Το βιβλίο γράφει οτι :
Ο Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης ισχύει και για στερεό που εκτελεί σύνθετη κίνηση (πχ. στερεό που κυλίεται), αρκεί ο ελεύθερος άξονας περιστροφής να διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος, να είναι άξονας συμμετρίας και να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης.
Τι μας εξασφαλίζουν αυτές οι τρεις προϋποθέσεις;
Τι απαντάτε συνάδελφοι;
Τώρα μπορούμε να δούμε τα ερωτήματα που έθεσες:
Το βιβλίο μιλάει για νοητό άξονα που περνά από το cm.
Αυτός ο άξονας είναι ανάγκη να είναι και άξονας συμμετρίας; Μπορεί να ισχύει ο 2ος νόμος με τη μορφή Στ=Ιαγων και ο άξονας που διέρχεται από το cm να μην είναι άξονας συμμετρίας;
Η πλάκα του παρακάτω σχήματος βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο:
Ο άξονας που περνάει από το κέντρο μάζας της Κ δεν είναι άξονας συμμετρίας.
Όμως ισχύει γι’ αυτόν η σχέση Στ = Ι.αγ.
Φυσικά μιλάμε για την ροπή της F ως προς το Κ.
Αν πάρουμε ένα άλλο σημείο Λ δεν μπορούμε να γράψουμε ότι ΣτΛ = ΙΛ.αγ.
Θα μπορούσαμε να γράφαμε τέτοια σχέση αν το Λ ήταν στιγμιαίος άξονας. Γενικότερα αν η επιτάχυνση του σημείου Λ ήταν τέτοια ώστε να έχει διεύθυνση αυτήν που ορίζει το ευθύγραμμο τμήμα ΛΚ.
Γιάννη, δεν μας έδωσες έναν ορισμό του πρωτεύοντα άξονα…
Άρα με βάση το τελευταίο σου σχόλιο να συμπεράνω ότι:
“Αν ο νοητός άξονας περιστροφής περνάει από το κέντρο μάζας, δεν χρειάζεται να είναι και άξονας συμμετρίας”
(λέγοντας βέβαια νοητός άξονας, τέτοιος δεν υπάρχει, ούτε το στερεό περιστρέφεται ντε και καλά γύρω από αυτόν τον άξονα, απλά εμείς “θεωρώντας” αυτήν την περιστροφή, εφαρμόζουμε το 2ο νόμο, ωσάν να είχαμε και έναν σταθερό πραγματικό άξονα που πέρναγε από το κ.μ.)
Είναι έτσι;
Το έγραψα στο προηγούμενο σχόλιο:
«Κύριοι άξονες» είναι 3 άξονες ορθογώνιοι που έχουν αρχή το Ο, είναι σταθεροί ως προς το σώμα (περιστρέφονται με αυτό) και τα γινόμενα αδρανείας ως προς αυτούς είναι μηδέν.
Ένας άξονας συμμετρίας είναι πάντοτε κύριος άξονας.
Μια σημαντική ιδιότητα ενός κύριου άξονα (που μπορεί να ληφθεί και ως ορισμός) είναι ότι, αν το στερεό περιστρέφεται περί αυτόν, η διεύθυνση της στροφορμής είναι η ίδια με αυτήν της γωνιακής ταχύτητας.
Στο παράδειγμα που έγραψα μηδενίζονται οι όροι Σmi.xi.yi και οι παρόμοιοι. Αυτοί οι όροι ονομάζονται “γινόμενα αδράνειας”.
Στην περίπτωση του παραλληλεπιπέδου μηδενίζονται όλοι οι παρόμοιοι όροι λόγω συμμετρίας.
Έτσι απομένουν οι όροι του τύπου mi.xi^2 , mi.yi^2 , mi.zi^2.
Αυτό έχει σαν συνέπεια όταν περιστρέφεται περί κύριο άξονα το σώμα να έχουμε ίδια διεύθυνση στροφορμής και γωνιακής ταχύτητας.
Διονύση αντιλαμβάνομαι τον όρο “πρωτεύων άξονας” ως “κύριος άξονας”.
Η ροπή αδράνειας σε κάποιον από τους τρεις είναι μικρότερη και σε κάποιον μεγαλύτερη.
Βλέπω στο physicsgg:
Βάζει δύο “επίθετα”. “Major” και “Priincipal”. Αντιλαμβάνομαι την ύπαρξη και του “Minor Principal axis” .
Βλέπουμε και στην Βικιπαίδεια ότι ταυτίζει τον Principal axis με τον “κύριο άξονα”.
Ρωτάς σε ένα σημείο:
Άρα με βάση το τελευταίο σου σχόλιο να συμπεράνω ότι:
«Αν ο νοητός άξονας περιστροφής περνάει από το κέντρο μάζας, δεν χρειάζεται να είναι και άξονας συμμετρίας»
Ναι αυτό πιστεύω. Δεν μπορούμε να κάνουμε Μηχανική με σώματα που στερούνται συμμετριών;
Πάρε την πλάκα του σχήματος που έδωσα. Πάρε ένα στερεό που έχει σχήμα Γ. Φυσική δεν θα κάνουμε σ’ αυτά;
Μόνο οι δίσκοι, οι κύλινδροι, οι σφαίρες και οι ράβδοι υπάρχουν;
Για το “Ως προς ποια σημεία εφαρμόζεται ο θεμελιώδης νόμος” έχω γράψει παλιότερα.
Εκεί υπολογίζεται ο γεωμετρικός τόπος.
Δύο ακραία του σημεία είναι το κέντρο μάζας και ο στιγμιαίος πόλος.
Ας προσέξουμε ότι στην περίπτωση του ομογενούς δίσκου άξονας συμμετρίας (και κύριος άξονας) είναι μόνον αυτός που διέρχεται από το κέντρο μάζας.
Δηλαδή μόνο ως προς τα σημεία του γεωμετρικού αυτού τόπου μπορούμε να γράψουμε:
Στ(Σ) =ΙΣ.αγ
Ο πρώτος όρος είναι οι ροπές των δυνάμεων ως προς το Σ. Ο όρος ΙΣ είναι η ροπή αδράνειας ως προς άξονα διερχόμενο από το Σ.
Φυσικά αυτά είναι εξωφρενικά όταν απευθύνονται σε μαθητές. Ακόμα και το δεύτερο “κλασικό” σημείο (στιγμιαίος πόλος) δεν απευθύνονται σε μαθητές.
Έτσι μένει η δύσκολη δουλειά της αποκρυπτογράφησης της επίμαχης φράσης του σχολικού βιβλίου. Μάλλον οδηγίες δίνει προς “ναυτιλομένους”:
-Παιδιά ο άξονας να διέρχεται από το κέντρο μάζας, ώστε να μην γίνει λάθος.
-Παιδιά ο άξονας είναι συνήθως άξονας συμμετρίας και όχι οιαδήποτε αηδία διερχόμενη από το κέντρο μάζας.
-Παιδιά αν κάποιος από εσάς έχει μπερδευτεί στην περίπτωση της σφαίρας, μην πάρετε όποιον άξονα συμμετρίας κατεβάσει η κούτρα σας. Πάρτε εκείνον που δεν αλλάζει κατεύθυνση. Αυτό που λένε όσοι ξέρουν από Γεωμετρία (όχι εσείς δηλαδή) τον κάθετο στο επίπεδο της κίνησης που είναι και άξονας συμμετρίας. Μην πάρετε αυτόν:
-Πάρτε αυτόν που “πάει να σας βγάλει το μάτι”.
Σε ευχαριστώ για όλες τις απαντήσεις Γιάννη.
Ναι, τον όρο “πρωτεύων άξονας” τον χρησιμοποίησα σαν συνώνυμο του “κύριος άξονας”.
Ας περιμένουμε μήπως και υπάρξουν και άλλες απορίες ή απαντήσεις πριν δώσω κάτι που είχα στο μυαλό μου, όταν μου έγινε το ερώτημα…
Νίκο (Κεχαγιά) γράφεις εδώ:
“3.. και να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης
Τότε δεν χρειάζονται μη αδρανειακές δυνάμεις.”
Μπορείς να γίνεις λίγο αναλυτικός, σε αυτό;
Καλησπέρα
Η σχέση:
υπολογίζει τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής συστήματος σωμάτων ως προς σύστημα αναφοράς Α που μπορεί να επιταχύνεται και του οποίου οι άξονες δεν στρέφονται σε σχέση με αδρανειακό σύστημα αναφοράς Β ( όπου Μ η συνολική μάζα , R η θέση του κέντρου μάζας ως προς το αδρανειακό σύστημα Β και ro η θέση του Α ως προς το Β). Σημειωτέον ότι η πιο απλή περίπτωση για να ισχύει η σχέση dL/dt = Στεξωτ είναι να είναι R -ro = 0 οπότε το Α ταυτίζεται με το κέντρο μάζας του συστήματος σωμάτων. Αν βάλεις το Α να στρίβει ως προς το Β, παραγωγίζοντας ως προς ro στη σχέση (1) εμφανίζονται και οι παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων των αξόνων του Α με αποτέλεσμα να εμφανίζονται μέσα όλοι οι όροι που αντιστοιχούν σε μη αδρανειακές δυνάμεις ( Coriolis , φυγόκεντρη , d’Alamber ). Αρα η απλή περίπτωση του τύπου dL/dt = Στεξωτ παει περίπατο.
Ευχαριστώ για την απάντηση Νίκο.
Και κάτι χρηστικό.
Αν θέλουμε να βάλουμε μαθηματική εξίσωση σε σχόλιο ή σε κείμενο, την μετατρέπουμε σε εικόνα, όπως παραπάνω.
Καλησπέρα.
Επιλέγω ένα σημείο και υπολογίζω την στροφορμή του στερεού ως προς το σημείο αυτό.
Υπολογίζω το ρυθμό μεταβολής της ως προς το σημείο αυτό.
Αν το σημείο αυτό δεν επιταχύνεται ή η διεύθυνση της επιτάχυνσης του είναι στην ευθεία που διέρχεται από αυτό το σημείο και το cm τότε ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής είναι ίσος με την συνισταμένη των ροπών ως προς το σημείο αυτό.
Αν το σημείο που επέλεξα είναι σημείο του στερεού και επιταχύνεται παίρνω υπόψιν στις ροπές και τις αδρανειακές δυνάμεις .
Πάντως η πιο ασφαλής οδηγία που πρέπει να δοθεί στους μαθητές είναι ότι ο νόμος εφαρμόζεται όταν το σημείο που υπολογίζουμε το ρυθμό μεταβολής στροφορμής και τις ροπές δεν επιταχύνεται ή αν επιταχύνεται η επιτάχυνση να είναι στην ευθεία που διέρχεται από το σημείο και το cm ή το σημείο να είναι το κέντρο μάζας.
Καλησπέρα Γιώργο.
Σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή και την κατάθεση της άποψής σου.
Στο πρώτο σχόλιο με βρίσκεις σύμφωνο, στο δεύτερο διατηρώ επιφυλάξεις αν πρέπει ο μαθητής να διδαχτεί τίποτα περισσότερο πέρα από την (υποτιθέμενη) περιστροφή γύρω από το κέντρο μάζας…