by 
Καλησπέρα σε όλους. Έλαβα το παρακάτω μήνυμα:
Καλησπέρα Διονύση.Μια ερώτηση αν έχεις χρόνο.Το βιβλίο γράφει οτι :
Ο Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης ισχύει και για στερεό που εκτελεί σύνθετη κίνηση (πχ. στερεό που κυλίεται), αρκεί ο ελεύθερος άξονας περιστροφής να διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος, να είναι άξονας συμμετρίας και να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης.
Τι μας εξασφαλίζουν αυτές οι τρεις προϋποθέσεις;
Τι απαντάτε συνάδελφοι;
Καλησπέρα παιδιά.
Διονύση στην τελευταία σου ανάρτηση οι δύο μάζες είναι ίσες;
(για κάποιο λόγο δεν μπορώ να απαντήσω κάτω από σχόλιο)
Καλησπέρα Στάθη.
Δυστυχώς το κουμπάκι “απάντηση” κάτω από ένα σχόλιο, έχει μπλοκάρει μέρες τώρα, χωρίς να μπορέσω να το επαναφέρω.
Οπότε απλά γράφουμε στο τέλος…
Ναι, οι δύο στοιχειώδεις μάζες που έχω σημειώσει στο σχήμα, είναι ίσες.
Καλησπέρα και πάλι Γιάννη.
Και γω δεν βλέπω τη λογική να ονομαστεί ο άξονας z του σχήματος που έδωσα “κύριος”.
Δεν βλέπω άλλωστε και πότε μπορεί να στρέφεται ο δίσκος γύρω από αυτόν τον άξονα.
Διερευνώ απλά, αυτό που έχει υποστηρίξει ο Διονύσης, χωρίς να έχει αντικρουστεί.
Μαθηματικά βέβαια, ο παραπάνω άξονας έχει ροπή αδράνειας που υπολογίζεται “κλασσικά” χωρίς τελεστές και χωρίς να έχουμε γινόμενα αδράνειας.
Αυτό τώρα πώς κολλάει στη Φυσική;
Διονύση επειδή ο τελεστής αδράνειας είναι συμμετρικός ως προς την εναλλαγή των δεικτών των στοιχείων του, πάντα διαγωνοποιείται, με άλλα λόγια σε κάθε στερεό υπάρχουν πάντα τουλάχιστον τρεις κύριοι άξονες αδρανείας. Στο σχήμα σου ο ένας είναι ο y. Οι x και z όχι.
Για να βρεις και τους τρεις πρέπει να υπολογίσεις τα στοιχεία του πίνακα αδράνειας ως προς άξονες οι οποίοι διέρχονται από το cm (ο y είναι ένας) και μετά να διαγωνοποιήσεις τον πίνακα βρίσκοντας τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά του του (οι κύριοι άξονες).
Μπορεί να υπάρχει και ευκολότερος τρόπος, τον οποίο όμως δεν μπορώ να σκεφτώ.
Καλησπέρα Στάθη και Διονύση.
Διονύση αν η κίνηση είναι επίπεδη ουδεμία ανάγκη χρήσης του τανυστή υπάρχει.
Αν όμως έχουμε μετάπτωση στρόβου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Πάλι όχι αναγκαστικά.
Θυμίζω παλιά ιστορία.
Εδώ οιοσδήποτε μπορεί να κάνει ακριβή υπολογισμό κινητικής ενέργειας χωρίς όμως να καταλάβει τίποτε από την ουσία.
Η οποία φυσικά είναι ότι κάποια σημεία απέχουν από το Ο αποστάσεις μεγαλύτερες αυτής του κέντρου μάζας.
Είναι το τίμημα της “συστηματοποίησης”. Λύνεις κάτι και δεν καταλαβαίνεις το φαινόμενο.
Γιάννη καλησπέρα. Η συνταγή που έδωσα είναι “κονσέρβα”, αλλά πολλές φορές όταν σπάνε οι συμμετρίες είναι δύσκολο να βγάλεις άκρη.
Όχι Στάθη δεν λέω για την “συνταγή” που ανέφερες. Είναι μια καλή λύση.
Αναφέρομαι στην ρόδα της ανάρτησης που ήταν υπενθύμιση αυτής του Χρήστου Ελευθερίου.
Εκεί εγώ ο ίδιος παραθέτω μία λύση με τανυστή αδράνειας. Βγαίνει σωστό αποτέλεσμα, όμως η ουσία αποκαλύπτεται στα σχόλια. Αν θέλουμε μπορούμε να επικαλεστούμε και έναν στρεφόμενο παρατηρητή και να αθροίσουμε δύο κινητικές ενέργειες.
Όταν ήμουν φοιτητής πολλά υπολόγιζα με τυποποιημένες μεθόδους. Όμως πέρασαν χρόνια για να καταλάβω την ουσία.
Για παράδειγμα γιατί η απάντηση Κ=0,5m.υcm^2 +0,5.Ι.ω^2 ήταν λανθασμένη. Σκεφτόμουν ότι είναι λανθασμένη διότι διαψεύδεται από την λύση με τον τανυστή αδράνειας.
Φυσικά όταν σπάνε οι συμμετρίες η χρήση του τανυστή είναι μονόδρομος.
Στάθη η απάντησή σου, δεν είναι για…τα κιλά μου. 🙁
Πολύ μαθηματική μου φαίνεται.
Γιάννη λες:
“Διονύση αν η κίνηση είναι επίπεδη ουδεμία ανάγκη χρήσης του τανυστή υπάρχει.”
Νομίζω ότι μόνο για επίπεδες κινήσεις ασχολούμαστε. Και ο Διονύσης τα συμπεράσματα για επίπεδο στερεό και τι πρέπει να ξέρει ένας μαθητής αναφέρεται στην συζήτησή του.
Διονύση δεν έχω αντίρρηση στα όσα γράφει ο Διονύσης. Όντως αυτά πρέπει να ξέρει.
Σε μια φράση στέκομαι:
κάθε άξονας κάθετος στο επίπεδο συμμετρίας είναι πάλι πρωτεύων άξονας.
Σχολιάζω την φράση και όχι την ανάρτηση ή την συζήτηση.
Καλησπέρα.
Επιγραμματικά ξέρω ότι ισχύουν:
– Γενικά η ροπή αδράνειας είναι τανυστικό μέγεθος. Μόνο για κάποιους άξονες που ονομάζουμε κύριους άξονες συμπεριφέρεται σαν βαθμωτή ποσότητα.Τότε ισχύει
L=Ιω
Κάθε άξονας συμμετρίας είναι κύριος άξονας.
Κάθε άξονας κάθετος σε ένα επίπεδο συμμετρίας είναι κύριος άξονας αρκεί ως αρχή να εκλέγεται η τομή του άξονα με το επίπεδο συμμετρίας.
Ένας άξονας παράλληλος με έναν άξονα συμμετρίας είναι κύριος άξονας αν η αρχή βρίσκεται πάνω στον άξονα στο σημείο που βρίσκεται πιο κοντά στο κέντρο μάζας.
– Γενικά στην σχέση L=Jω ο J είναι τανυστής δεύτερης τάξης και ονομάζεται τανυστής αδράνειας.
Ο τανυστής αδράνειας είναι συμμετρικός.
Το L δεν είναι πάντα παράλληλο προς το ω
– Από τυχόν σημείο Ο ενός στερεού περνούν τρεις διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους, που έχουν την ιδιότητα όταν το στερεό περιστρέφεται γύρω από μια τέτοια διεύθυνση το διάνυσμα της στροφορμής είναι παράλληλο προς την διεύθυνση αυτή. Οι διευθύνσεις αυτές ονομάζονται κύριες διευθύνσεις του τανυστή αδράνειας στο σημείο Ο. Οι διευθύνσεις αυτές είναι διαφορετικές για τα διάφορα σημεία του στερεού.
– Ο πίνακας του τανυστή αδράνειας ως προς το σύστημα των κυρίων αξόνων είναι διαγώνιος, τα δε διαγώνια στοιχεία του, που είναι οι ροπές αδράνειας ως προς τους κύριους άξονες, είναι ίσα με τις ιδιοτιμές του τανυστή αδράνειας (κύριες ροπές αδράνειας).
Λυμένα παραδείγματα υπολογισμών για σώματα που έχουν ανφερθεί στην κουβέντα.
http://ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/512/mod_resource/content/0/notesIIu.pdf
Συγνώμη, τα λυμένα παραδείγματα είναι στην παράγραφο 3.1
Καλησπέρα Άρη και σε ευχαριστώ για την παρέμβαση.
Να το αναλύσουμε λίγο; Γράφεις:
“Από τυχόν σημείο Ο ενός στερεού περνούν τρεις διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους, που έχουν την ιδιότητα όταν το στερεό περιστρέφεται γύρω από μια τέτοια διεύθυνση το διάνυσμα της στροφορμής είναι παράλληλο προς την διεύθυνση αυτή. Οι διευθύνσεις αυτές ονομάζονται κύριες διευθύνσεις του τανυστή αδράνειας στο σημείο Ο. Οι διευθύνσεις αυτές είναι διαφορετικές για τα διάφορα σημεία του στερεού.”
1) Από κάθε σημείο.. Άρα δεν μας ενδιαφέρει το κ.μ. Μπορούμε να έχουμε “κύριες διευθύνσεις” του τανυστή για κάθε σημείο Ο του στερεού. Σωστά;
2) Όταν μιλάς για κύριες διευθύνσεις, είναι το ίδιο να πω εγώ για “κύριους άξονες”;
3) Ένας άξονας κάθετος στο επίπεδο του δίσκου, που περνάει από το σημείο Ο, και όχι από το κέντρο μάζας του δίσκου, όπως στο σχήμα:
“δικαιούται” να ονομαστεί κύριος άξονας;
4) “Ένας άξονας παράλληλος με έναν άξονα συμμετρίας είναι κύριος άξονας αν η αρχή βρίσκεται πάνω στον άξονα στο σημείο που βρίσκεται πιο κοντά στο κέντρο μάζας.” Δηλαδή;
Καλησπέρα Άρη.
Δεν καταλαβαίνω τη φράση:
Κάθε άξονας κάθετος σε ένα επίπεδο συμμετρίας είναι κύριος άξονας αρκεί ως αρχή να εκλέγεται η τομή του άξονα με το επίπεδο συμμετρίας.
Ένα σχήμα:
Η μπλε εστιγμένη παριστάνει επίπεδο συμμετρίας της γκρίζας σφαίρας. Ο κόκκινος άξονας είναι κάθετος σ’ αυτό.
Αν πάρω ως αρχή το πράσινο σημείο (σημείο τομής με το επίπεδο συμμετρίας) ο κόκκινος άξονας καθίσταται κύριος;
Καλησπέρα και πάλι, καλησπέρα Άρη.
Για αυτό που λέει ο Άρης: Μπορεί κάποιος να βρει κύριους άξονες αδράνειας ως προς οποιοδήποτε σημείο ενός στερεού, ακόμη και αν δεν είναι το cm το σημείο αυτό. Για παράδειγμα αν ένας ομογενής κύβος περιστρέφεται από μία κορυφή του, ο άξονας που συνδέει το cm με την κορυφή, και δύο κάθετοι άξονες τόσο μεταξύ τους όσο και με τον άξονα της διαγωνίου, αποτελούν ΄ένα σύστημα κυρίων αξόνων αδράνειας.
Μία εικόνα: