by 
Η ράβδος του σχήματος είναι οριζόντια και μπορεί να στρέφεται αριστερόστροφα γύρω από κατακόρυφο άξονα zz΄ που διέρχεται από το μέσον της μέσω κινητήρα. Το μήκος της ράβδου είναι L=1m και η μάζα της Μ=12kg. Σε κάθε άκρο της ράβδου έχει συγκολληθεί παράλληλα στον άξονα zz΄ μία λεπτή ράβδος μήκους l=0,3m και μάζας mρ=1kg όπως φαίνεται στο σχήμα. Σε απόσταση r=0,1m από τον άξονα περιστροφής βρίσκονται δύο σημειακοί μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας mΔ=5kg ο καθένας, που συνδέονται μεταξύ τους με ένα ιδανικό νήμα. Το σύστημα στρέφεται γύρω από τον άξονα με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω1=10r/s.
i) Βρείτε τη ροπή αδράνειας του συστήματος των ράβδων χωρίς τους δακτυλίους περί τον άξονα zz΄.
ii) Βρείτε τη στροφορμή του συστήματος περί τον άξονα zz’.
iii) Αν το όριο θραύσης του νήματος είναι Tορ=200Ν να βρεθεί η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος.
iv) Αν τη στιγμή που το νήμα σπάει σταματά η λειτουργία του κινητήρα να βρεθεί η νέα γωνιακή ταχύτητα του συστήματος όταν οι δακτύλιοι βρεθούν στα άκρα της ράβδου.
v) Να βρεθεί η μεταβολή στη μηχανική ενέργεια του συστήματος στη θέση που κόβεται το νήμα και στη θέση που οι δακτύλιοι βρεθούν στα άκρα της ράβδου. Που οφείλεται η διαφορά αυτή;
Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι I = 1/12 ML2.
Απάντηση
στο blogspot ή σε word ή σε pdf
Καλησπέρα Χρήστο.
Μια πολύ ωραία ΑΔΣ, με ένα πολύ ωραίο σύστημα.
Μια μικρή "διαφωνία". Γράφεις:
"όταν οι δακτύλιοι βρεθούν στα άκρα της ράβδου."
Αυτό μεταφράζεται ότι απλά βρίσκονται στα άκρα χωρίς να έχουν κολλήσει. Αλλά τότε δεν έχουμε ένα στερεό, αλλά συνεχίζουμε να έχουμε ένα σύστημα σωμάτων.
Αλλά σε σύστημα σωμάτων, δεν έχουμε "ισοδύναμη ροπή αδράνειας" ή τουλάχιστον δεν την έχουμε διδάξει…
Δες κάτι παλιότερο:
Ισοδύναμη ροπή αδράνειας;
Καλησπέρα.
Θέμα για πανελλήνιες Χρήστο. Αν θυμάμαι καλά δεν έχει μπει μέχρι τώρα, οπότε..
Τώρα μια ειλικρινής απορία. Την ερμηνεία στο σχόλιο 1 δίδω και εγώ. Όμως δεν με ικανοποιεί.
Ένας ακίνητος παρατηρητής βλέπει τους δακτυλίους να αυξάνουν την ακτινική τους ταχύτητα από 0 μέχρι μια τελική τιμή. Δηλ κατά την ακτινική διεύθυνση αποκτούν επιτάχυνση. Δεν μπορεί όμως να αποδώσει αυτήν την επιτάχυνση σε κάποια δύναμη.
'Ενας στρεφόμενος παρατηρητής πάνω στην ράβδο βλέπει μια Coriolis που εμφανίζεται στον δακτύλιο κάθετη στην ράβδο και μια φυγόκεντρο ακτινική με φορά προς τα έξω που επιταχύνει ακτινικά τον δακτύλιο.
Η ερμηνεία του στρεφόμενου με ικανοποιεί. Με τον αδρανειακό έχω το πρόβλημα.
Καλησπέρα Γιώργο.
Σίγουρα η ερμηνεία του στρεφόμενου παρατηρητή, είναι περισσότερο σαφής και ξεκάθαρη.
Γιατί όμως αδρανειακός παρατηρητής, απουσία δυνάμεων να μην στηριχθεί στην αδράνεια;
Ο δακτύλιος "τείνει να κινηθεί" ευθύγραμμα…
Πάρα πολύ καλή άσκηση!
Φυσικά θα συμφωνήσω με τον Γιώργο για τις Coriolis. Οι αντιδράσεις τους επιταχύνουν την ράβδο.
Μια μελέτη από την σκοπιά ενός παρατηρητή που στρέφεται με την ράβδο απαιτεί και τις δυνάμεις Euler.
Καλησπέρα Διονύση και Γιάννη.
Λες Διονύση λόγω αδράνειας τείνει να κινηθεί ευθύγραμμα. Ναι αλλά και επιταχυνόμενο?
Καλησπέρα παιδιά.
Δεν νομίζω να υπάρχει κάποια επιτάχυνση, όπως τα βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής.
Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα.
Το σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα και μετά από λίγο εγκαταλείπει το δίσκο, με την ίδια ταχύτητα.
Ας δούμε τώρα τι βλέπουμε, όταν εστιάσουμε στην ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας.
Στην αρχική θέση η συνιστώσα αυτή είναι μηδενική, αφού το σώμα διαγράφει κυκλική τροχιά.
Τη στιγμή όμως που εγκαταλείπει το δίσκο, το σώμα έχει συνιστώσα ταχύτητας υr, όπως στο σχήμα.
Αυτό πώς θα το έβλεπε ο περιστρεφόμενος παρατηρητής;
Θα υποστήριζε ότι το σώμα επιταχύνεται στη διεύθυνση της ακτίνας.
Για τον αδρανειακό παρατηρητή, δεν υπάρχει καμιά επιτάχυνση, απλά λόγω αδράνειας συνεχίζει να κινείται ευθύγραμμα…
Γιώργο καλησπέρα. Ας υποθέσουμε ότι θέλω εξήγηση της επιτάχυνσης χωρίς όμως την επίκληση στρεφόμενου παρατηρητή.
Έστω ότι πρόκειται για ένα στοίχημα ή ότι με ρωτά μαθητής που θέλει κάτι πιο συγκεκριμένο από την επίκληση της διατήρησης στροφορμής. Που εδώ που τα λέμε είναι υπεκφυγή.
Θα έλεγα τότε ότι η στροφή της ράβδου και η απουσία κεντρομόλου επί του δακτυλίου, τον οδηγεί σε μεγαλύτερη απόσταση από το Μ, δηλαδή σε περιοχές μεγαλύτερης ταχύτητας. Έτσι επιταχύνεται από δυνάμεις κάθετες στην ράβδο. Εσύ όταν περπατάς πάνω σε έναν μύλο παιδικής χαράς προς τα έξω, πηγαίνεις σε περιοχές μεγαλύτερης ταχύτητας. Το καινούριο έδαφός σου κινείται ταχύτερα από το προηγούμενο. Άφησες τον αργό κυλιόμενο διάδρομο και έπιασες τον καινούριο τον γρήγορο. Θα επιταχυνθείς. Το "από ποια δύναμη" είναι άλλο θέμα. Ο δακτύλιος πάντως επιταχύνεται από δύναμη κάθετη στη ράβδο.
Δεν ξέρω αν κάτι τέτοιο ρωτάς.
Ωραίες οι αναλύσεις σας το κάνουν σαφές.
Γιώργο σαφέστερη από κάποια ανάλυση είναι μία εικόνα:
Με κόκκινο χρώμα φαίνεται η δύναμη που δέχεται το σώμα. Μια δύναμη της οποίας το έργο επιταχύνει το σώμα, ενώ το έργο της αντίδρασής της επιβραδύνει την ράβδο. Φαίνεται η τροχιά του σώματος και η ολοένα αυξανόμενη ταχύτητα.
Δεν διαφέρει ουσιαστικά από την περίπτωση της άσκησης.
Γιάννη, μια ερώτηση.
Κατά την κίνηση του δακτυλιδιού, προς τα έξω, ισχύει η ΑΔΜΕ ή όχι;
Αν ισχύει, τότε αυξάνεται το μέτρο της ταχύτητας του σώματος;
Η παραπάνω ανάλυσή σου, δείχνει αύξηση κινητικής ενέργειας. Υπάρχει;
Παρέλειψα να γράψω ότι η δύναμη είναι κάθετη στην ράβδο, αλλά όχι κάθετη στην τροχιά.
Διονύση απουσία τριβών διατηρείται η ενέργεια. Μέχρι την στιγμή της κρούσης φυσικά. Αυξάνεται η κινητική ενέργεια του σώματος και ισόποσα μειώνεται αυτή της ράβδου.
Για λόγους οικονομίας και μεγέθους δεν προσομοίωσα την άσκηση αλλά καταλαβαίνουμε ότι ισχύουν τα ίδια. Συμμετρική κατάσταση δηλαδή.
Γιάννη, δεν έδωσα ράβδο η οποία αλληλεπιδρά και όπου το δακτυλίδι υποχρεώνεται να παρακολουθεί τη ράβδο.
Έδωσα το σχήμα:
Η συζήτηση είχε θέμα, όπως τουλάχιστον κατάλαβα εγώ το ερώτημα του Γιώργου, αν ή όχι επιταχύνεται το σώμα εξαιτίας της φυγοκέντρου δύναμης, όπως την βλέπει ο κινούμενος παρατηρητής.
Αυτό δεν έχει τίποτα να κάνει με την προσομοίωση του i.p. όπου δεν επιταχύνεται το δακτυλίδι σου εξαιτίας κάποιας φανταστικής δύναμης, που βλέπει ο περιστρεφόμενος παρατηρητής, αλλά επιταχύνεται λόγω αλληλεπίδρασης με τη ράβδο.
Διάβασε παραπάνω την τοποθέτησή μου.
Τι βλέπει ο περιστρεφόμενος παρατηρητής, ενώ το σώμα ΔΕΝ αυξάνει το μέτρο της ταχύτητάς του.