Αυτό για την εξαναγκασμένη ταλάντωση. Σε αρμονική ταλάντωση γενικά το έργο της δύναμης επαναφοράς μπορεί να είναι αλλά μπορεί και να μην είναι όλη η δυναμική ενέργεια
1. Ασκώ σε αρχικά ακίνητο σώμα δύναμη F=Fo.συνω.t. Εκτελεί αρμονική ταλάντωση. Το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη θέση x ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 0,5.m.ω^2.x^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Εδώ δεν έχουμε δυναμική ενέργεια.
2. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το έργο της επαναφοράς από τη θέση x ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 0,5.m.ω^2.x^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια είναι 0,5k.x^2.
3. Ένα κύμα διαδίδεται σε χορδή. Ένα τμηματίδιο κάποια στιγμή βρίσκεται σε θέση μέγιστης απομάκρυνσης Α. Το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη θέση Α ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 0,5.m.ω^2.Α^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Η δυναμική του ενέργεια είναι μηδενική.
4. Ο κυλιόμενος και ταλαντευόμενος κύλινδρος. Το έργο της επαναφοράς από τη θέση x ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 1/3.k.x^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια είναι 1/2.k.x^2.
Η άποψη μου (την οποία δεν είχα πάντα) είναι ότι ένα σώμα μπορεί να εκτελεί αρμονική ταλάντωση υπό την επίδραση διαφόρων δυνάμεων, συντηρητικών και μη. Η δυναμική ενέργεια καθορίζεται μόνο από τις συντηρητικές δυνάμεις.
Λέγοντας δε συντηρητικές δυνάμεις, εννοούμε δυνάμεις από πεδίο, για τις οποίες F=-gradU.
Σε μία εξαναγκασμένη ταλάντωση η δύναμη του διεγέρτη δεν είναι συντηρητική δύναμη. Η δυναμική ενέργεια καθορίζεται από το ελατήριο ή τέλος πάντων το "υποκατάστατό του" (π.χ. περίπτωση νερού σε υοειδή σωλήνα, εκκρεμές κ.λ.π).
Αγαπητέ Στάθη αν εσύ κάτι δεν καταλαβαίνεις εγώ δεν καταλαβαίνω αρκετά στο τελευταίο σχόλιο σου. Μεταξύ άλλων , τι προσπερνάς; Το ότι ζήτησα να αιτιολογήσεις αυτά που είπες; ( Γιατί τα χρονοεξαρτώμενα ‘δυναμικά’ έχουν εφαρμογή κατά κύριο λόγο στην κβαντική θεωρία. Πως ανίχνευσες τις διδακτικές επιλογές του Taylor;) Το ότι χαρακτηρίζεις ασήμαντη μια συζήτηση όπου κάποιοι άνθρωποι αφιέρωσαν αρκετές ώρες για να γράψουν πάνω από 30 σχόλια αντιλαμβάνεσαι ότι είναι προσβλητικό;
Αν είχες διαβάσει το κείμενο μυ ή απλά είχες δει την εικόνα στην αρχή της συζήτησης δεν θα ρωτούσες για το φυσικό νόημα της δυναμικής ενέργειας που εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Το γράφει και ο Taylor: the potential energy depends explicitly on time in precisely those situations where mechanical energy gets transformed to some other form of energy or to mechanical energy of other bodies external to the system of interest
Στην ακόλουθη ερώτηση. Μέσα σε πυκνωτή με μεγάλους επίπεδους οπλισμούς που τους έχουμε συνδέσει με πηγή εναλλασσόμενης τάσης εκτοξεύουμε φορτισμένο σωματίδιο. Αν μας έχουν δώσει τα απαραίτητα δεδομένα μπορούμε να γράψουμε την Lagrangian του σωματιδίου; Πως θα απαντούσες
Να ξεκινήσω λέγοντας ότι με βρίσκει σύμφωνο η θέση του Γιάννη, όπως έχει καταγραφεί στο τελευταίο του σχόλιο, για τη δυναμική ενέργεια. Άλλωστε αυτό νομίζω ότι ήταν το θέμα της συζήτησης…
Ιάκωβε, νομίζω και γω ότι έχουμε χαθεί, αφού ξεκινήσαμε από την ενέργεια στο διακρότημα και καλούμαι να απαντήσω τι συμβαίνει σε ένα φορτίο στο εσωτερικό πυκνωτή που φορτίζεται από εναλλασσόμενη τάση!!!
Και μάλιστα μετ΄ επιτάσεως, λες και δίνω εξετάσεις…
Δεν πρόκειται να ασχοληθώ με το πώς μπορεί να μελετηθεί ένα χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο, είτε αυτό είναι το ηλεκτρικό πεδίο μιας σφαίρας που «χάνει» φορτία, είτε το φορτίο στο εσωτερικό του πυκνωτή. Είναι προφανές ότι εκεί η δυναμική ενέργεια, σε κάθε σημείο, είναι συνάρτηση και του χρόνου, αλλά δεν είναι αυτό το θέμα της συζήτησης…
Δεν θα απαντήσω σε τίποτα άλλο Ιάκωβε, αν δεν αποδείξεις, με βάση αυτά που έγραψες εσύ παραπάνω:
Πώς εφαρμόζονται στην περίπτωση μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης και πώς ορίζεται η δυναμική ενέργεια, την οποία συνδέεις με το έργο της δύναμης του διεγέρτη F=Fo∙ημωt. Και για να μην πέσουμε σε διακρότημα, μπορείς να την μελετήσεις στην σταθερή κατάσταση (μετά το τέλος των μεταβατικών φαινομένων στην περίπτωση ύπαρξης και δύναμης απόσβεσης), όπου η κατάσταση αυτή επιτυγχάνεται.
Ας απαντηθεί το ερώτημα από όπου ξεκινήσαμε…
Και θα παρακαλούσα, η απάντηση να μην είναι παραπομπή σε κάποιο απόσπασμα βιβλίου.
Καλησπέρα σε όλους. Γιάννη τώρα είδα το σχόλιο σου. Επειδή ο διαθέσιμος χρόνος μου είναι περιορισμένος επίτρεψέ μου να σου απαντήσω αναλυτικά αργότερα. Έχω να απαντήσω και στον Διονύση. Προς το παρόν κάποιες παρατηρήσεις. Προτείνω να θεωρήσουμε ‘κλασικού’ τύπου εξαναγκασμένη ταλάντωση : Μέσα στον πυκνωτή που έχει οριζόντιους οπλισμούς κατακόρυφο ελατήριο με κρεμασμένη φορτισμένη μάζα. Δύναμη διεγέρτη η δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου στην φορτισμένη μάζα.
Είδα ότι θεωρείς δυναμική ενέργεια με χρονική μόνο εξάρτηση. Όμως θα πρέπει να υπάρχει και χωρική εξάρτηση (το δυναμικό μέσα στο ομογενές πεδίο του πυκνωτή δεν είναι παντού το ίδιο)
1. Δεν ζήτησες αυτό, τώρα το ζητάς. Δεν μίλησες για ελατήριο.
2. Αν το κάνω θα είναι παράδειγμα. Έκανα ένα αντιπαράδειγμα. Θέλεις να εξετάσεις την ορθότητα της πρότασης "το έργο της δύναμης επαναφοράς είναι ίσο με τη δυναμική ενέργεια". Αν βρεις ένα αντιπαράδειγμα, περίπτωση δηλαδή που δεν ισχύει, τότε η πρόταση είναι λανθασμένη. Η επιλογή του αντιπαραδείγματος ανήκει σ' αυτόν που θέλει να ελέγξει την πρόταση.
Ιακώβε βλέπω ότι ντε και καλά, θέλεις να μας μεταφέρεις στον πυκνωτή και στο χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο.
Προφανώς είσαι ελεύθερος να γράψεις ό,τι θέλεις, αλλά εγώ δεν πρόκειται να παίξω στο γήπεδο αυτό
Έχω κάνει ερώτημα συγκεκριμένο παραπάνω, με βάση τη θεωρία που έχεις βάλει στην κορυφή.
Επιμένω στο ίδιο ερώτημα που αναφέρεται στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η δύναμη του διεγέρτη, δεν θέλω να έχει καμιά σχέση με πεδίο. Μια δύναμη απλά χρονοεξαρτώμενη…
Φαίνεται και εδώ (δεξιά) ότι ουδεμία σχέση έχει η δυναμική ενέργεια με το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη θέση y στην θέση ισορροπίας. Συμβολίζω το έργο αυτό ως Uταλ (ενέργεια ταλάντωσης).
Καλησπέρα και πάλι. Διονύση δεν καταλαβαίνω που σε ενοχλεί το χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο , όπως δεν κατάλαβα εκείνο το «…μετ’ επιτάσεως λες και δίνω εξετάσεις». το οποίο από πουθενά δεν προκύπτει. Επίσης τα «… δεν θα απαντήσω αν δεν …» δεν χρειάζονται στην συζήτηση αυτή.
Με τον τρόπο που το θέλεις λοιπόν. Ταλαντωτής ελατηρίου-μάζας σε οριζόντιο λείο επίπεδο δέχεται οριζόντια δύναμη διέγερσης Fδ=F0ημωt και αρχίζει να κάνει ταλάντωση (με διακροτήματα που δεν με ενοχλούν). Η ολική δύναμη στην μάζα είναι είναι F = -kx+ F0ημωt η οποία προφανώς έχει μηδενικό χωρικό στροβιλισμό , οπότε ορίζεται συνάρτηση δυναμικής ενέργειας η οποία σύμφωνα με τον τύπο που έχω δώσει και με ολοκλήρωση από χ μέχρι χ=0 της δύναμης , προκύπτει ότι είναι U = 1/2kx^2-xF0ημωt. Προφανώς F=-gradU
Γιάννη αρχικά πρότεινα τον πυκνωτή για να φανεί ότι η χρονικά μεταβαλλόμενη δύναμη του ηλεκτρικού του πεδίου σε φορτίο μπορεί να ‘δώσει’ δυναμική ενέργεια χρονικά με άμεση χρονική εξάρτηση. Η ταλάντωση που πρότεινες αρχικά δεν είναι σαν τις εξαναγκασμένες που συνήθως μελετάμε (πριν δράσει η διεγείρουσα δύναμη ποιος είναι ο ταλαντωτής;)
Λες «Λέγοντας δε συντηρητικές δυνάμεις, εννοούμε δυνάμεις από πεδίο, για τις οποίες F=-gradU.» Η ηλεκτρική δύναμη στο φορτίο είναι από πεδίο και αν εφαρμόσουμε αυτά που έγραψα προηγουμένως προκύπτει ότι F=-gradU. Οπότε πως λες ότι η δύναμη του διεγέρτη δεν είναι συντηρητική;
by 
Αυτό που μόλις έγραψες αποτελεί απάντηση στο ερώτημά μου;
Το ερώτημά μου έχει τρεις πιθανές απαντήσεις:
1. Η πρόταση είναι σωστή.
2. Η πρόταση είναι λανθασμένη.
3. Δεν γνωρίζω.
Αυτό για την εξαναγκασμένη ταλάντωση. Σε αρμονική ταλάντωση γενικά το έργο της δύναμης επαναφοράς μπορεί να είναι αλλά μπορεί και να μην είναι όλη η δυναμική ενέργεια
Η επιλογή λοιπόν είναι το 2
Συμφωνούμε. Η πρόταση είναι λανθασμένη.
Τέσσερα αντιπαραδείγματα:
1. Ασκώ σε αρχικά ακίνητο σώμα δύναμη F=Fo.συνω.t. Εκτελεί αρμονική ταλάντωση. Το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη θέση x ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 0,5.m.ω^2.x^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Εδώ δεν έχουμε δυναμική ενέργεια.
2. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το έργο της επαναφοράς από τη θέση x ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 0,5.m.ω^2.x^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια είναι 0,5k.x^2.
3. Ένα κύμα διαδίδεται σε χορδή. Ένα τμηματίδιο κάποια στιγμή βρίσκεται σε θέση μέγιστης απομάκρυνσης Α. Το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη θέση Α ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 0,5.m.ω^2.Α^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Η δυναμική του ενέργεια είναι μηδενική.
4. Ο κυλιόμενος και ταλαντευόμενος κύλινδρος. Το έργο της επαναφοράς από τη θέση x ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 1/3.k.x^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια είναι 1/2.k.x^2.
Η άποψη μου (την οποία δεν είχα πάντα) είναι ότι ένα σώμα μπορεί να εκτελεί αρμονική ταλάντωση υπό την επίδραση διαφόρων δυνάμεων, συντηρητικών και μη. Η δυναμική ενέργεια καθορίζεται μόνο από τις συντηρητικές δυνάμεις.
Λέγοντας δε συντηρητικές δυνάμεις, εννοούμε δυνάμεις από πεδίο, για τις οποίες F=-gradU.
Σε μία εξαναγκασμένη ταλάντωση η δύναμη του διεγέρτη δεν είναι συντηρητική δύναμη. Η δυναμική ενέργεια καθορίζεται από το ελατήριο ή τέλος πάντων το "υποκατάστατό του" (π.χ. περίπτωση νερού σε υοειδή σωλήνα, εκκρεμές κ.λ.π).
Θα απαντήσω αναλυτικά αύριο το απόγευμα
Αγαπητέ Στάθη αν εσύ κάτι δεν καταλαβαίνεις εγώ δεν καταλαβαίνω αρκετά στο τελευταίο σχόλιο σου. Μεταξύ άλλων , τι προσπερνάς; Το ότι ζήτησα να αιτιολογήσεις αυτά που είπες; ( Γιατί τα χρονοεξαρτώμενα ‘δυναμικά’ έχουν εφαρμογή κατά κύριο λόγο στην κβαντική θεωρία. Πως ανίχνευσες τις διδακτικές επιλογές του Taylor;) Το ότι χαρακτηρίζεις ασήμαντη μια συζήτηση όπου κάποιοι άνθρωποι αφιέρωσαν αρκετές ώρες για να γράψουν πάνω από 30 σχόλια αντιλαμβάνεσαι ότι είναι προσβλητικό;
Αν είχες διαβάσει το κείμενο μυ ή απλά είχες δει την εικόνα στην αρχή της συζήτησης δεν θα ρωτούσες για το φυσικό νόημα της δυναμικής ενέργειας που εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Το γράφει και ο Taylor: the potential energy depends explicitly on time in precisely those situations where mechanical energy gets transformed to some other form of energy or to mechanical energy of other bodies external to the system of interest
Στην ακόλουθη ερώτηση. Μέσα σε πυκνωτή με μεγάλους επίπεδους οπλισμούς που τους έχουμε συνδέσει με πηγή εναλλασσόμενης τάσης εκτοξεύουμε φορτισμένο σωματίδιο. Αν μας έχουν δώσει τα απαραίτητα δεδομένα μπορούμε να γράψουμε την Lagrangian του σωματιδίου; Πως θα απαντούσες
Καλημέρα συνάδελφοι.
Να ξεκινήσω λέγοντας ότι με βρίσκει σύμφωνο η θέση του Γιάννη, όπως έχει καταγραφεί στο τελευταίο του σχόλιο, για τη δυναμική ενέργεια. Άλλωστε αυτό νομίζω ότι ήταν το θέμα της συζήτησης…
Ιάκωβε, νομίζω και γω ότι έχουμε χαθεί, αφού ξεκινήσαμε από την ενέργεια στο διακρότημα και καλούμαι να απαντήσω τι συμβαίνει σε ένα φορτίο στο εσωτερικό πυκνωτή που φορτίζεται από εναλλασσόμενη τάση!!!
Και μάλιστα μετ΄ επιτάσεως, λες και δίνω εξετάσεις…
Δεν πρόκειται να ασχοληθώ με το πώς μπορεί να μελετηθεί ένα χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο, είτε αυτό είναι το ηλεκτρικό πεδίο μιας σφαίρας που «χάνει» φορτία, είτε το φορτίο στο εσωτερικό του πυκνωτή. Είναι προφανές ότι εκεί η δυναμική ενέργεια, σε κάθε σημείο, είναι συνάρτηση και του χρόνου, αλλά δεν είναι αυτό το θέμα της συζήτησης…
Δεν θα απαντήσω σε τίποτα άλλο Ιάκωβε, αν δεν αποδείξεις, με βάση αυτά που έγραψες εσύ παραπάνω:
Πώς εφαρμόζονται στην περίπτωση μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης και πώς ορίζεται η δυναμική ενέργεια, την οποία συνδέεις με το έργο της δύναμης του διεγέρτη F=Fo∙ημωt. Και για να μην πέσουμε σε διακρότημα, μπορείς να την μελετήσεις στην σταθερή κατάσταση (μετά το τέλος των μεταβατικών φαινομένων στην περίπτωση ύπαρξης και δύναμης απόσβεσης), όπου η κατάσταση αυτή επιτυγχάνεται.
Ας απαντηθεί το ερώτημα από όπου ξεκινήσαμε…
Και θα παρακαλούσα, η απάντηση να μην είναι παραπομπή σε κάποιο απόσπασμα βιβλίου.
Καλημέρα παιδιά.
Ασχολήθηκα λίγο με την περίπτωση του φορτίου σε πυκνωτή.
Αν δεν έκανα λάθος, άλλο είναι το έργο της δύναμης επαναφοράς και άλλο η δυναμική ενέργεια.
Οι γραφικές παραστάσεις που παρέθεσα είναι:
Της έντασης του πεδίου (κόκκινη). Η γραφική παράσταση της δυναμικής είναι ίδιας μορφής.
Της κινητικής ενέργειας (μπλε). Η γραφική παράσταση της 1/2.m.ω^2.y^2 είναι ίδιας συχνότητας, μόνο που ξεκινά από το 71 και όχι από το μηδέν.
Η ακρίβεια είναι 200.
Καλησπέρα σε όλους. Γιάννη τώρα είδα το σχόλιο σου. Επειδή ο διαθέσιμος χρόνος μου είναι περιορισμένος επίτρεψέ μου να σου απαντήσω αναλυτικά αργότερα. Έχω να απαντήσω και στον Διονύση. Προς το παρόν κάποιες παρατηρήσεις. Προτείνω να θεωρήσουμε ‘κλασικού’ τύπου εξαναγκασμένη ταλάντωση : Μέσα στον πυκνωτή που έχει οριζόντιους οπλισμούς κατακόρυφο ελατήριο με κρεμασμένη φορτισμένη μάζα. Δύναμη διεγέρτη η δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου στην φορτισμένη μάζα.
Είδα ότι θεωρείς δυναμική ενέργεια με χρονική μόνο εξάρτηση. Όμως θα πρέπει να υπάρχει και χωρική εξάρτηση (το δυναμικό μέσα στο ομογενές πεδίο του πυκνωτή δεν είναι παντού το ίδιο)
Καλησπέρα Ιάκωβε.
Μπορώ να το κάνω, όμως…..
1. Δεν ζήτησες αυτό, τώρα το ζητάς. Δεν μίλησες για ελατήριο.
2. Αν το κάνω θα είναι παράδειγμα. Έκανα ένα αντιπαράδειγμα. Θέλεις να εξετάσεις την ορθότητα της πρότασης "το έργο της δύναμης επαναφοράς είναι ίσο με τη δυναμική ενέργεια". Αν βρεις ένα αντιπαράδειγμα, περίπτωση δηλαδή που δεν ισχύει, τότε η πρόταση είναι λανθασμένη. Η επιλογή του αντιπαραδείγματος ανήκει σ' αυτόν που θέλει να ελέγξει την πρόταση.
Ιακώβε βλέπω ότι ντε και καλά, θέλεις να μας μεταφέρεις στον πυκνωτή και στο χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο.
Προφανώς είσαι ελεύθερος να γράψεις ό,τι θέλεις, αλλά εγώ δεν πρόκειται να παίξω στο γήπεδο αυτό
Έχω κάνει ερώτημα συγκεκριμένο παραπάνω, με βάση τη θεωρία που έχεις βάλει στην κορυφή.
Επιμένω στο ίδιο ερώτημα που αναφέρεται στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η δύναμη του διεγέρτη, δεν θέλω να έχει καμιά σχέση με πεδίο. Μια δύναμη απλά χρονοεξαρτώμενη…
Μια προσομοίωση που περιλαμβάνει ηλεκτρικό πεδίο μαζί με ελατήριο.
Φαίνεται και εδώ (δεξιά) ότι ουδεμία σχέση έχει η δυναμική ενέργεια με το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη θέση y στην θέση ισορροπίας. Συμβολίζω το έργο αυτό ως Uταλ (ενέργεια ταλάντωσης).
Καλό βράδυ σε όλους.
Κάποιες σκέψεις εδώ.
Καλησπέρα και πάλι. Διονύση δεν καταλαβαίνω που σε ενοχλεί το χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο , όπως δεν κατάλαβα εκείνο το «…μετ’ επιτάσεως λες και δίνω εξετάσεις». το οποίο από πουθενά δεν προκύπτει. Επίσης τα «… δεν θα απαντήσω αν δεν …» δεν χρειάζονται στην συζήτηση αυτή.
Με τον τρόπο που το θέλεις λοιπόν. Ταλαντωτής ελατηρίου-μάζας σε οριζόντιο λείο επίπεδο δέχεται οριζόντια δύναμη διέγερσης Fδ=F0ημωt και αρχίζει να κάνει ταλάντωση (με διακροτήματα που δεν με ενοχλούν). Η ολική δύναμη στην μάζα είναι είναι F = -kx+ F0ημωt η οποία προφανώς έχει μηδενικό χωρικό στροβιλισμό , οπότε ορίζεται συνάρτηση δυναμικής ενέργειας η οποία σύμφωνα με τον τύπο που έχω δώσει και με ολοκλήρωση από χ μέχρι χ=0 της δύναμης , προκύπτει ότι είναι U = 1/2kx^2-xF0ημωt. Προφανώς F=-gradU
Γιάννη αρχικά πρότεινα τον πυκνωτή για να φανεί ότι η χρονικά μεταβαλλόμενη δύναμη του ηλεκτρικού του πεδίου σε φορτίο μπορεί να ‘δώσει’ δυναμική ενέργεια χρονικά με άμεση χρονική εξάρτηση. Η ταλάντωση που πρότεινες αρχικά δεν είναι σαν τις εξαναγκασμένες που συνήθως μελετάμε (πριν δράσει η διεγείρουσα δύναμη ποιος είναι ο ταλαντωτής;)
Λες «Λέγοντας δε συντηρητικές δυνάμεις, εννοούμε δυνάμεις από πεδίο, για τις οποίες F=-gradU.» Η ηλεκτρική δύναμη στο φορτίο είναι από πεδίο και αν εφαρμόσουμε αυτά που έγραψα προηγουμένως προκύπτει ότι F=-gradU. Οπότε πως λες ότι η δύναμη του διεγέρτη δεν είναι συντηρητική;
(θα συνεχίσω αργότερα)