by 
Όταν δυο σώματα αλληλεπιδρούν ακολουθώντας τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα οι δυνάμεις που ασκούν αμοιβαία είναι αντίθετες. Όταν όμως οι δυνάμεις είναι μεν αντίθετες αλλά δεν είναι στον ίδιο φορέα δημιουργείται ζεύγος δυνάμεων και κατά συνέπεια ροπή. ‘Όμως, σύμφωνα με τους νόμους της μηχανικής, οι δυνάμεις που ασκούν μεταξύ τους τα μέρη ενός συστήματος πρέπει να έχουν συνισταμένη μηδέν και συνισταμένη ροπή μηδέν, πρέπει οι δυνάμεις ανάμεσα σε δυο αλληλεπιδρώντα σώματα, όχι μόνο να είναι αντίθετες αλλά να είναι και στον ίδιο φορέα.
Οι ηλεκτροστατικές και οι βαρυντικές αλληλεπιδράσεις ακολουθούν αυτόν τον κανόνα. Αλλά τι γίνεται με τις μαγνητικές;
Στο παρακάτω σχήμα (εδω) έχω δυο μαγνητικά δίπολα που αλληλεπιδρούν. Οι δυνάμεις μεταξύ μαγνητικών διπόλων εξαρτώνται από τις μαγνητικές ροπές τους μ και από το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει. Σύμφωνα με τον τύπο (εδω) που δίνει τις δυνάμεις αυτές, οι δυνάμεις είναι μεν αντίθετες αλλά δεν είναι στον ίδιο φορέα. Επομένως υπάρχει ζεύγος δυνάμεων που δημιουργεί ροπή.
Αν συμβαίνει το παραπάνω έχουμε πρόβλημα. Το ερώτημα λοιπόν είναι: Πρόκειται για πρόβλημα ή για ψευδοπρόβλημα;
Γιάννη, η ανάλυση που κάνεις με τα ηλεκτρικά δίπολα είναι ορθότατη. Δυστυχώς δεν μπορείς να κάνεις μια τέτοια ανάλυση για τα μαγνητικά δίπολα, αλλά, αν μπορούσες, θα μας έδειχνες ότι και εκεί η ροπή είναι μηδέν.
Ακριβώς εκεί είναι το πρόβλημα. Μια πλήρης ανάλυση θα αποδείκνυε ότι η συνισταμένη ροπή στο σύστημα είναι μηδέν. Αν είχες απόλυτη εμπιστοσύνη στη μηχανική, δε θα υπήρχε λόγος να κάνεις την ανάλυση και θα μπορούσες να μου πεις απλά: "Τα όσα γράφεις δεν συμφωνούν με τη μηχανική, άρα είναι λάθος".
Μα βέβαια εγώ παραδέχομαι ότι κάπου υπάρχει λάθος. Το πρόβλημα που έθεσα στην παρούσα ανάρτηση είναι της μορφής: "που είναι το λάθος;" Μήπως η εξίσωση που έδωσα είναι λάθος; Αν είναι λάθος η εξίσωση και η σωστή εξίσωση προβλέπει ότι οι δυνάμεις είναι αντίθετες και, επί πλέον, είναι επάνω στην ευθεία που ενώνει τα δίπολα, τότε δεν υπάρχει ζεύγος δυνάμεων, άρα ούτε και ροπή και όλα είναι ωραία.
Αλλά όχι. Το λάθος δεν είναι στην εξίσωση (μέχρις αποδείξεως του εναντίον τουλάχιστον) είναι αλλού. Ζητώ να το βρείτε.
Γιάννη, στη ερώτησή σου επί του τρόπου παραγωγής της F1, η απάντηση είναι ότι έκανα μια πλήρη ανάλυση που περιλάμβανε τρία στάδια. Στο πρώτο υπολόγισα το ανυσματικό δυναμικό μαγνητικού διπόλου στο χώρο. Στο δεύτερο υπολόγισα τη μαγνητική επαγωγή Β σε κάθε σημείο του χώρου. Στο τρίτο υπολόγισα τη δύναμη που δέχεται μαγνητική ροπή μ στο σημείο του χώρου που η μαγνητική επαγωγή είναι Β. Χρησιμοποίησα τη σχέση F=grad(μ.B).
Νίκο δεν καταλαβαίνω τι λες.
Το μαγνητικό δίπολο δεν μπορεί να εκληφθεί ως παράθεση δύο σημειακών μαγνητικών ποσοτήτων +m1 και -m1 ;
Θέλεις να σβήσω τα + και – και να βάλω Ν και S;
Καταλαβαίνω ότι ετέθη ως παράδοξο. Έγραψα και πριν περί παραδόξων και της λογικής τους αλλά δεν διάβασες το σχόλιο.
Έγραψα επίσης και ένα σχόλιο με τον Ισημερινό. Πίστευα ότι δεν χρειάζεται ανάλυση. Τέλος πάντων τι θέλω να πω:
Ένα παράδοξο του τύπου "βρες το λάθος" πρέπει να έχει αναλυτική παρουσίαση και τεκμηρίωση.
Να μην είναι σαν αυτό που έστειλα με τον Ισημερινό όπου παρατίθεται ένα ουρανοκατέβατο ολοκλήρωμα και από κάτω μια ερώτηση "ποιο λάθος έκανα;". Πως θα ελέγξεις εσύ με ποιο τρόπο έβγαλα το ολοκλήρωμα;
Να σου πω και εγώ "Νίκο αν είχες εμπιστοσύνη στην αρχή διατήρησης της στροφορμής και στη αρχή διατήρησης της ενέργειας, θα εντόπιζες το λάθος";;
Είναι δυνατόν να καταλάβει κάποιος πως προέκυψε αυτό το ολοκλήρωμα;
Αν όχι πως θα καταλάβουμε πως προέκυψε η σχέση σου που δίνει την F1;;
Μάλιστα. Και εγώ έκανα κάπου κάποτε ανάλυση με το πρόβλημα το σχετικό με τον Ισημερινό.
Δικαιούμαι να σου ζητώ να βρεις το λάθος δίνοντάς σου μία σχέση;
Εσύ γιατί να θυμάσαι ή να ψάξεις να βρεις τι είχα γράψει τότε;
Τα παράδοξα θέλουν αναλυτική παρουσίαση.
Νίκο δεν κατάλαβα τι εννοείς. Κατά πρώτον ο τύπος έχει πρόβλημα, έγραψα αναλυτικά το γιατί. Θεώρησα ότι έγινε κάποιο τυπογραφικό λάθος (για παράδειγμα δεν μπορεί ένα εγωτερικό γινόμενο "x" να συνοδεύεται από ένα εσωτερικό γινόμενο ".", χωρίς να παρεμβάλλεται διάνυσμα). Μάλλον η θεώρησή μου αυτή ήταν λάθος.
Κατά δεύτερον δεν κατάλαβα τι εννοείς με το "Στάθη είναι περιττή η ανάλυση που κάνεις…". Μάλλον το περιττό είναι να συνεχίσω, για μία ακόμη φορά είσαι αγενής.
Στάθη συγγνώμη, αλλά λείπουν τα βελάκια πάνω από κάποια μ. Δεν το είχα δει προηγουμένως γι΄ αυτό δεν κατάλαβα που κόλλαγες. Συνήθως είμαι σχολαστικός όταν γράφω μια εξίσωση αλλά…μερικές φορές δεν μπορείς να αποφύγεις το λάθος.
Όλα τα μ θέλουν βελάκια.
Ο τρίτος νόμος του νεύτωνα δεν ισχύει σε περπτώσεις επιταχυνόμενων φορτίων όπως αυτά που δημιουργουν τα μαγνητικά δίπολα. Στην περίπτωση π.χ. δύο επιταχυνόμενων ηλεκτρικών διπόλων πρέπει να πάρουμε τη συνεισφορά και αλληλεπίδραση του μαγνητικού πεδίου του ενός φορτίου του ηλεκτρικού διπόλου στο άλλο φορτίο του ίδιου διπόλου για να μας βγούν σωστά συμπεράσματα. Επιπλέον με τη σχέση για το Β βρήκαμε το Β σε ένα σημείο. Το πεδίο όμως που δημιουργούν τα δίπολα είναι μη ομογενή. Σε ποιό ακριβώς σημείο βρήκαμε το Β
Γιάννη αντιλαμβάνομαι ότι έχεις ένα κενό γνώσεως πάνω στην αλληλεπίδραση μαγνητικού πεδίου-μαγνητικού διπόλου. Αν είχα κάνει μια πλήρη ανάλυση του προβλήματος, θα έδινα κάποια στοιχεία σε σχέση μ΄ αυτή την αλληλεπίδραση και τότε η λύση του "παράδοξου" θα γινόταν εύκολη. Ας δώσω λοιπόν κάποια στοιχεία πάνω στην αλληλεπίδραση μαγνητικού πεδίου-διπόλου ώστε να μη με κατηγορούν ότι "δίνω μισές αναλύσεις".
Επειδή το μαγνητικό δίπολο καταλαμβάνει πολύ μικρό χώρο, το μαγνητικό πεδίο στην περιοχή του είναι κατά προσέγγιση ομογενές. Όμως σε ένα μαγνητικό δίπολο που βρίσκεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο ασκείται ροπή και όχι δύναμη.
Ακόμα κι αν το πεδίο στην περιοχή του διπόλου είναι κατά προσέγγιση ομογενές, το grad το πεδίου (για την ακρίβεια το grad(μ.Β)) είναι πεπερασμένο και η δύναμη που ασκείται στο δίπολο είναι F=grad(μ.B). Επομένως, σε ένα μαγνητικό δίπολο που βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο ασκούνται:
Επομένως, όταν δυο μαγνητικά δίπολα είναι κοντά, το καθένα ασκεί στο άλλο μια δύναμη και μια ροπή που οφείλονται στο ότι το κάθε δίπολο βρίσκεται στο μαγνητικό πεδίο του άλλου.
Ελπίζω η παραπάνω πληροφορία να είναι διαφωτιστική.
Τώρα που εντόπισες το κενό γνώσεως, καλείς και εμένα να απαντήσω με βάση τι;
Μια σχέση που βγήκε από το πουθενά, η οποία ήταν μάλιστα λανθασμένη (όπως είπες).
Μήπως να κάνουμε πράξεις ώστε να ελέγξουμε την ορθότητα της σχέσης;
Μήπως να συμπεράνουμε ότι οι φορείς διαφέρουν;
Κατάλαβες αυτό που είπα με τον Ισημερινό;
Δεν εννοώ αν βρήκες το λάθος, εννοώ αν κατάλαβες την αναλογία.
Γιάννη, δεν ξέρω αν το κατάλαβες, αλλά έδωσα διαφωτιστικά στοιχεία. Με αυτά τα στοιχεία, το παράδοξο λύνεται ως εξής:
Στο σύστημα υπάρχουν τρεις ροπές: η ροπή του ζεύγους των F1 και F2, η ροπή στο πρώτο δίπολο και αυτή στο δεύτερο. Το άθροισμα των τριών ροπών πρέπει να είναι μηδέν. Επίσης υπάρχουν δυο δυνάμεις, οι F1 και F2 που είναι αντίθετες, άρα η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν. Δεν υφίσταται πια παράδοξο.
Ο λόγος που έδωσα αυτό το πρόβλημα ήταν να δω αν μπορούσε να υποπτευθεί κάποιος τις ροπές που ασκούνται στα δίπολα που το καθένα βρίσκεται στο πεδίο του άλλου. Αυτή η ανακάλυψη θα ήταν σαν την ανακάλυψη του νετρίνο από τον Pauli: τα σωμάτια που παράγονταν από τη διάσπαση δεν ικανοποιούσαν την αρχή διατήρησης της ενέργειας. Άρα υπάρχει και ένα τρίτο σωμάτιο που φέρνει την ενέργεια που λείπει.
Όλα αυτά που λες φαίνονται εδώ;
Όχι Γιάννη. Το σχήμα δείχνει τις δυνάμεις και όχι τις ροπές. Δεν ήθελα να προδώσω τη λύση του "παραδόξου".
ΥΓ Αν θέλεις μου εξηγείς κάτι που δεν κατάφερα να πετύχω ο ίδιος; Πως έβαλες την εξίσωση στην εικόνα;
Καλημέρα Νίκο.
Αυτό που ρωτάς:
Εικόνα σε σχόλιο
Καλημέρα Διονύση
Εικόνα ξέρω να βάζω. Με την εξίσωση έχω πρόβλημα. Πάω να βάλω την εξίσωση σε αρχείο ζωγραφικής και μου τη βγάζει με ερωτηματικά.
Καλημέρα Νίκο.
Έχεις γράψει την εξίσωση σε ένα έγγραφο. Με κάποιο πρόγραμμα τύπου lightshot κάνεις εικόνα ένα τμήμα του εγγράφου.
Ακολουθώντας τις οδηγίες του Διονύση την ανεβάζεις στο σχόλιο, σε όποια θέση θέλεις.