by 
Δύο σωληνοειδή πηνία Α,Γ διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα, έχουν το ίδιο μήκος και τον ίδιο αριθμό σπειρών. Η διάμετρος του σωληνοειδούς Α είναι διπλάσια αυτής του σωληνοειδούς Γ. Αν με ΒΑ και ΒΓ συμβολίσουμε τα μέτρα των εντάσεων του μαγνητικού πεδίου στα άκρα κάθε σωληνοειδούς αντίστοιχα, ισχύει
Είναι μια ερώτηση από το study4exams.
Ποια πρόταση είναι σωστή συνάδελφοι;
Σπύρο ο υπολογισμός του μέτρου της μαγνητικής επαγωγής στο σωληνοειδές πηνίο, δεν ξεκινάει από το νόμο Biot-Savart…
Δες τη μαθηματική εξίσωση που έδωσε παραπάνω ο Στάθης, με κλικ εδώ.
κ.Διονύση εγώ το ταλαιπώρησα λίγο παραπάνω το πράγμα, υπολογίζοντας πρώτα μέσα από Biot-Savart για ένα σύρμα ακτίνας R, και μετά το ειδίκευσα για σωληνωειδές.
Ίσως δεν έγινα κατανοητός γιατί τα έγραψα χωρίς εξήγηση….
Θα ανεβάσω σε λίγο λεπτομερειακά την μέθοδο…..
Καλημέρα. Η ερώτηση απευθύνεται σε μαθητές και προφανώς τα πηνία θα θεωρούνται μεγάλου ως προς τη διάμετρο μήκους, άρα σωστή η (α). Ποιος μαθητής με την υπάρχουσα θεωρία, μπορεί να βγάλει το c; Η διάμετρος επηρεάζει το μήκος που χρησιμοποιούμε για να κατασκευάσουμε το σωληνοειδές και για σφιχτά τυλιγμένο θα είναι
L = (l/δ)πΔ, l το μήκος του σωληνοειδούς, Δ η διάμετρος της σπείρας, δ η διάμετρος του σύρματος
και κατ΄επέκταση την αντίσταση του σωληνοειδούς.
Ο συλλογισμός μου για τον υπολογισμό της μαγνητικής επαγωγής, στα άκρα σωληνοειδούς, εδώ.
κ.Διονύση, χρησιμοποίησα Biot-Savart για τον υπολογισμό της έντασης στο σημείο P, και βγαίνει το ζητούμενο, αλλά με πράξεις…
Τι θα λέγατε συνάδελφοι για τη δικαιολόγηση της επιλογής c ;
ίδια : ρεύματα, μήκος, σπείρες.. εκτός από τη διατομή τους.
Γνωρίζουμε ότι η πυκνότητα των δυναμικών γραμμών μας ''δείχνει'' και την ένταση του μαγνητικού πεδίου σε μια περιοχή, εδώ στα άκρα του.
Η ένταση στο μέσο τους είναι ίδια. Όμως , καθώς οι κλειστές δυν. γραμμές βγαίνουν από το σωληνοειδές, σε αυτό που έχει μεγαλύτερη διατομή, δηλαδή στο Α, θα αραιώσουν πιο πολύ. Άρα , επειδή η πυκνότητά τους έχει σχέση με την ένταση Β, στο Α θα έχουμε μικρότερη ένταση στα άκρα του.
Τι λέτε ;;;
Εκ πρώτης όψεως η απάντηση φαίνεται να είναι το (α) αλλά θα ήταν μια τετριμμένη ερώτηση … ας υποθέσουμε σωληνοειδή μη-απείρου μήκους …
Το μαγνητικό πεδίο κυκλικού αγωγού ακτίνας R πάνω στον άξονα συμμετρίας του (άξονα z) Βz πάει ως (είναι ανάλογο του) R^2 / (R^2 + z^2)^(3/2) … οπότε για z >> R δηλ. μακριά από το κέντρο του κυκλικού αγωγού το πεδίο επί του άξονα z πάει ως {(R/z)^2 *(1/z)}, ενώ για z << R δηλ. πολύ κοντά στο κέντρο του κυκλικού αγωγού επί του άξονα z το πεδίο πάει ως 1/R. Ας εστιάσουμε στο άκρο του κάθε σωληνοειδούς κι ας δούμε το σωληνοειδές ως μια στοίβαξη κυκλικών αγωγών ο ένας δίπλα στον άλλον όπου όλοι διαρρέονται από ρεύμα ίδιας έντασης και φοράς … οι βρόχοι που είναι μακριά από το άκρο του σωληνοειδούς έχουν συνεισφορά στο μαγνητικό πεδίο όπως για z >> R παραπάνω, που είναι όμως πολύ μικρή γιατί είναι ανάλογη του (R/z)^2 << 1, ενώ οι βρόχοι που είναι κοντά στο άκρο έχουν συνεισφορά όπως για z << R παραπάνω, που είναι ανάλογη του 1/R, και η συνεισφορά των τελευταίων είναι πολύ μεγαλύτερη (από την συνεισφορά των μακρινότερων βρόχων) … οπότε πλειοψηφικά θα περιμένουμε το net magnetic field στο άκρο του σωληνοειδούς να συμπεριφέρεται ως 1/R … κι αυτό οδηγεί στην απάντηση που προτείνεται ως σωστή … δουλεύει αυτός ο συλλογισμός;
Πρόδρομε δεν θα συμφωνήσω.
Με βάση τη θεωρία που έχουν οι μαθητές, η ένταση στο μέσον των δύο, θα έχει την ίδια τιμή.
Στα δύο άκρα, θα έχουμε την μισή ένταση, άρα ξανά ίσου μέτρου (για τα δύο πηνία).
Μην το πάμε τώρα στη ροή (αυτή είναι η φιλοσοφία του σκεπτικού σου). Στο πιο φαρδύ, με ίδια πυκνότητα στο μέσον, έχεις πολύ περισσότερες δυναμικές γραμμές (σε σχέση με το στενό), οπότε όταν βγαίνουν από το άκρο θα έχεις περισσότερες γραμμές να βγαίνουν από μεγαλύτερη επιφάνεια…
Παντελή για "τετριμμένη" απάντηση ψάχνουμε, σε μια "τετριμμένη" ερώτηση που έχει αναρτηθεί ως παράδειγμα Α΄ θέματος, που απευθύνεται σε μαθητές…
Με αυτά τα δεδομένα και αυτά που ξέρουν οιμαθητες, θεωρώ πρέπει να δεχτούμε ως σωστή την α.
… ε τότε η διατύπωση της ερώτησης είναι κάπως περίεργη …
Θα συμφωνήσω με τον Διονύση ότι εστιάζουμε στο τι μπορεί να απαντήσει ένας μαθητής.
Όμως καφενείο είμαστε και περί πολλών τυρβάζουμε. Έτσι ας ψάξουμε και το επιστημονικά ορθόν, ως εάν επρόκειτο περί θέματος αναρτημένου στο φόρουμ.
Είναι μικρότερο το Β στην φαρδιά περίπτωση;
Περνούν λιγότερες δυναμικές γραμμές διότι φαρδαίνει;
Αν οι συλλογισμοί του Παντελεήμονος μαθηματικοποιηθούν θα καταλήξουμε (υποθέτω) στον τύπο που έδωσε ο Στάθης.
Ο τύπος αυτός δίνει το Β στον άξονα. Η ερώτηση δεν μπορεί να απευθύνεται σε άλλο σημείο, διότι δεν θα μπορούσε να γίνει σύγκριση. Έτσι παραμένουμε στον άξονα. Ο τύπος δείχνει κάποια διαφορά στην γωνία θ1. Στο φαρδύ είναι μεγαλύτερη η θ1 και επομένως έχει μικρότερο συνημίτονο στην φαρδιά περίπτωση. Έτσι μοιάζει να είναι μικρότερο το Β στην περίπτωση του χοντροπηνίου.
Προφανώς ο συντάκτης της ερώτησης δεν ήθελε τέτοια αποδεικτική οδό. Να υποθέσουμε ότι ήθελε αυτό που είπε ο Πρόδρομος;;
Χρήστο προσπαθώ να φανταστώ τον εαυτό μου το Καλοκαίρι στο βαθμολογικό, όταν παίρνω τα θέματα και προσπαθώ να τα απαντήσω πριν έρθουν οι ενδεικτικές λύσεις. Επειδή δεν βρίσκομαι σε κλίμα φόρουμ θα απαντήσω το α.
Τώρα αν εσύ βάλεις το θέμα στο φόρουμ, αλλάζει η στάση μου. Ψάχνω διαφορετικά το θέμα. Εκεί θα χρησιμοποιήσω τον τύπο που έδωσε ο Στάθης ή θα παραλλάξω την Προδρομική εξήγηση.
Σε κάθε περίπτωση με ενδιαφέρει το σκεπτικό του συντάκτη της ερώτησης.
Επιστημονικό λάθος δεν βρίσκω πάντως.
Έχω δύο διαφορετικές απαντήσεις.
Η πρώτη είναι καθαρά σχεδιαστική:
Βλέπουμε ότι οι γραμμές αραιώνουν στην έξοδο. Όσο φαρδύτερο το σωληνοειδές, τόσο μεγαλύτερη η αραίωση.
Μια άλλη εξήγηση:
Βλέπουμε έξι οριζόντια δαχτυλίδια. Διαρρέονται από ίδια ρεύματα.
Συγκρίνουμε τα μαγνητικά πεδία που δημιουργούν (στο σημείο πάνω) δύο δαχτυλίδια που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Η σύγκριση των πάνω δαχτυλιδιών καταλήγει στο ότι μεγαλύτερο Β δημιουργεί το μικρό.
Η σύγκριση των μεσαίων καταλήγει στο ίδιο συμπέρασμα.
Το ίδιο και για τα κάτω.
Θεωρώντας κάθε σωληνοειδές ως επαλληλία δαχτυλιδιών, καταλήγουμε στο ότι νικάει το λεπτό πηνίο.
Το πρόβλημα είναι πως ένας μαθητής (χωρίς Μπιό-Σαβάρ) θα μπορέσει να συγκρίνει τα μεσαία δαχτυλίδια αλλά και τα κάτω.
Πάντως επιστημονική ορθότητα υπάρχει.
Επιστημονική ορθότητα φαίνεται να υπάρχει … για την πληρότητα δεν είμαι σίγουρος … αυτό που μου περνάει από το μυαλό είναι ότι η ερώτηση μάλλον δεν αναφέρεται σε απείρου μήκους σωληνοειδή … όμως όποιο και να 'ναι το ακριβές αποτέλεσμα (ενδεχομένως κάτι περίπλοκο για έναν μαθητή λυκείου … κάτι πολύ απλό για έναν δευτεροετή φοιτητή …), στο όριο όπου τα δύο σωληνοειδή έχουν άπειρο μήκος θα πρέπει η προτεινόμενη απάντηση να συγκλίνει στην απάντηση (α)
… ίσως όταν το σωληνοειδές έχει άπειρο μήκος, παρότι η συνισταμένη συνεισφορά στο μαγνητικό πεδίο πάνω στον άξονα συμμετρίας, στο άκρο εν προκειμένω, φθίνει καθώς πάμε σε όλο και μακρυνότερες από το άκρο σπείρες, επειδή συγχρόνως έχουμε "αμέτρητες" σπείρες (κι ας είναι μακριά) … η φθίνουσα συνεισφορά να ισοσταθμίζεται κατά κάποιον τρόπο από το μεγάλο πλήθος των σπειρών … βέβαια αυτά που λέω χρειάζονται πιο προσεκτική σκέψη και μπορεί να σφάλλω κάπου