by 
Μια ομογενής ράβδος ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση σε οριζόντιο έδαφος με το οποίο παρουσιάζει έναν (αρκούντως) μεγάλο συντελεστή τριβής. Σε μια στιγμή εκτρέπεται ελάχιστα, με αποτέλεσμα να πέφτει στο έδαφος, χωρίς το κάτω άκρο της Β να ολισθαίνει.
Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του άνω άκρου της Α, τη στιγμή που η ράβδος γίνεται οριζόντια (το άκρο Α φτάνει στο έδαφος).
Ποια η απάντηση συνάδελφοι;
Άλλωστε δεν είναι δυνατόν να εκτελούν ακριβώς την ίδια κίνηση ταυτόχρονα και να ασκούνται διαφορετικές δυνάμεις προσδίδοντας διαφορετικές επιταχύνσεις….
Σπύρο ένα στιγμιότυπο:
Μεγάλη διαφορά.
Δες και το αρχικό διορθωμένο Γιάννη.
Αν στο στιγμιότυπό σου πας δύο βήματα χρόνου πίσω θα είναι όλα εντάξει.
Καλησπέρα σε όλους.
Ο λόγος για τον οποίο η ράβδος αρχίζει να ολισθαίνει σε κάποια γωνία, οφείλεται στο ότι το μέτρο της κάθετης συνιστώσας Ν γίνεται πολύ μικρότερο από το μέτρο της οριζόντιας συνιστώσας Τ, της δύναμης μεταξύ εδάφους και ράβδου. Τότε ο οριακός συντελεστής στατικής τριβής μ=Τ/Ν γίνεται πολύ μεγάλος και υπερβαίνει τον πραγματικό συντελεστη τριβής ράβδου -επιπέδου. Ο οριακός συντελεστής απειρίζεται για γωνία τοξσυν(1/3)=70.5μοίρες=1.2rad..
Δέστε τα παρακάτω γράφημα:
Για όσο ο συντελεστής στατικής τριβής είναι μικρότερος του οριακού, οι λύσεις με την άρθρωση και χωρίς, ταυτίζονται.
Διότθωση:
Αν όμως πας στην αρχή:
Και μιλάμε για συντελεστή τριβής 10^9 ;
Το γιατί το πρόβλημα έχει πρόβλημα το βλέπουμε εδώ που έχω βάλει άρθρωση:
Βλέπουμε ότι η άρθρωση μπορεί να ασκεί δύναμη με κάθετη συνιστώσα μηδέν και οριζόντια συνιστώσα 8,5 Ν.
Το έδαφος δεν έχει τέτοιες ικανότητες.
Όταν επομένως λύνουμε μια άσκηση με ράβδο σε τραχύ έδαφος ως εάν είχαμε άρθρωση αυθαιρετούμε.
Τόσο όσο αυθαιρετούσαμε στην ανακύκλωση κυλιόμενης σφαίρας.
Γιάννη επισυνάπτω μερικά στιγμιότυπα και ένα τελευταίο ip στο οποίο η κίνηση είναι ακριβώς η ίδια. Τι έκανα;
Έτρεξα το ip χωρίς να δώσω αρχική ταχύτητα στη ράβδο που στηρίζεται στο δάπεδο και σημείωσα τη θέση του κ.μ. της όταν ισορροπήσει. Στην συνέχεια εισήγαγα τη θέση αυτή σαν αρχική και έδωσα τις ίδιες αρχικές συνθήκες με την αρθρωμένη. Με αυτό τον τρόπο απαλλάχτηκα από τις αρχικές μικρές κατακόρυφες κινήσεις οι οποίες δημιουργούσαν το μεγαλύτερο μέρος της διαφοράς. Όπως βλέπεις η κίνηση είναι ακριβώς η ίδια όπως και οι επιταχύνσεις (μέχρι τρίτο δεκαδικό ψηφίο) σε κάθε θέση.
Στάθη πράγματι η κάθετη δύναμη του δαπέδου μηδενίζεται στιγμιαία για γωνία στροφής τοξσυν(1/3). Επομένως πριν τη θέση αυτή η ράβδος θα αρχίσει να γλιστράει όταν η οριακή τριβή γίνει μικρότερη από την απαιτούμενη. Πόσο πριν όμως; Αυτό προφανώς εξαρτάται απο τον συντελεστή τριβής. Ισχυρίζομαι λοιπόν ότι για μ–>οο η κίνηση προσεγγίζει την κίνηση της αρθρωμένης με όση ακρίβεια θέλουμε.
Καλό σας βράδυ
Σταθη εκανα μια λυση και επιβεβαιώνω τον τελικο σου τυπο για το μ .
Εχω καταληξει :
Τ= (3/8) *mg * [ 3*ημ(2φ) – 4*ημ(φ) ]
Ν= (1/4 )*mg * (1 – 3*συνφ ) ^ 2
αρα το μ = Τ / Ν = (3/2)* { [ 3*ημ(2φ) – 4*ημ(φ) ] / (1 – 3*συνφ ) ^ 2 }
( Στους υπολογισμους του Σ.Χορτη θα πρεπει στον τυπο που δινει το Τ να πολλαπλασιαστει με ενα ημιτονο δηλαδη τελικα ειναι :
Τ = (3/2) * mg*ημ(φ) *[ 1.5 * συν(φ) – 1 ] οποτε μετα απο μια τριγωνομετρικη μετατροπη ο τυπος που δινει το Τ θα παρει τελικα την μορφη που εγραψα πιο πανω )
Καλημέρα συνάδελφοι.
Κώστα χαίρομαι που επιβεβαιώνεις τους υπολογισμούς.
Σπύρο διαφωνώ στο τελευατίο σου συμπέρασμα "...Ισχυρίζομαι λοιπόν ότι για μ–>οο η κίνηση προσεγγίζει την κίνηση της αρθρωμένης με όση ακρίβεια θέλουμε".
Υπάρχει μία ουσιαστική διαφορά της κίνησης με άρθρωση και χωρίς. Αν υπάρχει άρθρωση, ο λόγος μ=Τ/Ν δεν έχει κανένα φυσικό νόημα. Οι δυνάμεις Τ και Ν μπορούν να υπάρχουν ανεξάρτητα η μία της άλλης. Έτσι ακόμη και όταν μηδενιστεί η Ν, στην γωνία των 72 μοιρών περίπου, η δύναμη Τ εξακολουθεί να υφίσταται. Άρα η άρθρωση εξακολουθεί να ασκεί δύναμη στην ράβδο.
Αν βγάλουμε όμως την άρθρωση, οι δυνάμεις Τ και Ν είναι αλληλένδετες. Όταν μηδενιστεί η Ν, μηδενίζεται και η Τ, ώστε να ισχύει η σχέση Τ=μΝ. Άρα ακόμη και αν έχεις πολύ μεγάλο συντελεστή τριβής (δε έχει νόημα ο απειρισμός σε κανένα φυσικό μέγεθος), οι δυνάμεις θα μηδενιστούν κάποια στιγμή σε μία γωνία κοντά στις 72 μοίρες και θα αρχίσει η ολίσθηση (σε συντελεστές τριβής κοντπα στην μονάδα, αυτό θα συμβεί σε πολύ μικρότερη γωνία, 'εχω δώσει το γράφημα παραπάνω.). Το τι θα συμβεί μετά πρέπει να αναλυθεί εκ νέου μέσω των νόμων του Νεύτωνα.
Συμφωνώ όμως ότι μ΄μεχρι να αρχίσει η ολίσθηση, οι κινήσεις με 'αρθρωση και χωρίς, έχουν ακριβώς τα ίδια χαρακτηριστικά.
Καλημέρα σε όλους.
Κώστα πράγματι ένα ημίτονο το "έφαγα" στην τελική σχέση για την τριβή. Σ' ευχαριστώ.
Στάθη όλα αυτά που λες ασφαλώς και είναι σωστά. Δεν υποστήριξα ότι είναι ακριβώς το ίδιο φαινόμενο. Εξακολουθώ όμως να υποστηρίζω ότι μπορώ να μειώσω το σφάλμα προσεγγίζοντας όσο κοντά θέλω την κίνηση με άρθρωση χωρίς να γίνει ποτέ ακριβώς ίδια.. Το τελευταίο ip που ανέβασα το επιβεβαιώνει.
Η Ν γίνεται μηδέν σε μια συγκεκριμένη θέση. Η ολίσθηση θα αρχίσει λίγο πριν από αυτή τη θέση, και αμέσως μετά θα υπάρξει και πάλι τριβή η οποία θα την σταματήσει. Το διάστημα αυτό της ολίσθησης γίνεται μικρότερο όσο μεγαλώνει ο συντελεστής οριακής τριβής. Γι' αυτό έγραψα απο την αρχή για εξωπραγματικό συντελεστή τριβής.
Σε κάθε περίπτωση ευχαριστώ για την συζήτηση.