by 
Ένα σώμα Σ μάζας m=1kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η απομάκρυνσή του από την θέση x=0, (θέση ισορροπίας του), δίνεται από την εξίσωση:
x= 1∙ημ(2πt+ π/2)
Ενώ η συνισταμένη δύναμη που δέχεται από το περιβάλλον του, είναι της μορφής:
F=-40∙ημ(2πt+π/2)
Τη χρονική στιγμή t1=1/3s το σώμα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερο σώμα, ίδιας μάζας, το οποίο ήταν ακίνητο.
Να βρεθεί η θέση του σώματος Σ την χρονική στιγμή t2=1s.
Ποια είναι η απάντηση συνάδελφοι;
Αν απαλειψουμε τον χρονο απο τις δυο εξισωσεις βρισκουμε οτι η συνισταμενη F=-40x ειναι ενα συντηρητικο πεδιο.π.χ ελατηριο. To πεδιο αυτο δεν αλλαζει μετα την κρουση διοτι αν αλλαζε η ασκηση δεν λυνεται.Αρα αν το πειραξω καθως ταλαντωνεται το μονο που μπορω να του αλλαξω ειναι το πλατος ταλαντωσης.Η περιοδος ειναι 1s αρα Τ/4=1/4s αρα (1/3)(Τ/4)=1/12s. Ξερουμε ομως οτι για να διανυσει ενας ταλαντωτης
την αποσταση απο χ=0 εως χ=Α/2 θελει χρονο Τ/12. Αφου 1/3s=1/4+1/12 αυτο σημαινει οτι η κρουση θα γινει στην θεση χ=-0.5m.Aρα το καινουργιοπλατος ειναι Α΄=0.5m Θα κινηθει για 1-1/3=2/3 sec ακομα. Ομως 2/3=1/4+1/4+1/4 -1/12 αρα θα ειναι στην θεση χ=Α’/2=0.25m
Στην πραγματικοτητα ολοκληρη η δυναμη ειναι πλεονασματικο δεδομενο.
Με τι δεδομενα
Ωραια περναμε παντως
Κωνσταντίνε σωστά αυτά που γράφεις, με την προυπόθεση ότι σου δίνεται η πληροφορία ότι η δύναμη είναι χωρο-εξαρτώμενη. Όμως η εκφώνηση δεν λέει κάτι τέτοιο, αλλά ότι το περιβάλλον ασκεί στο σώμα δύναμη που εξαρτάται από το χρόνο, F=-40∙ημ(2πt+π/2) . Αυτή θα ασκηθεί και μετά την κρούση.
Ο Διονύσης λέει στην εκφώνηση ότι η θέση Ο είναι η θέση ισορροπίας (x=0) και τη στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση x=1m όπου εκείνη τη στιγμή δέχεται δύναμη F==-40Ν. Μπορούμε να τη θεωρήσουμε χωρο-εξαρτώμενη; Νομίζω όχι.
Αν η ασκηση ελεγε τα εξης:Σωμα συνδεδεμενο σε ελατηριο σταθερας 40N/m Aπομακρυνεται απο την θεση ισορροπιας του κατα Α=1m και αφηνεται ελευθερο χωρις αρχικη ταχυτητα στη θεση x=1m.Η μαζα ειναι m=1Kg.(Αρα ω=2π).Στην θεση x=-0.5m συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερο σώμα, ίδιας μάζας, το οποίο ήταν ακίνητο.Σε ποια θεση θα βρισκεται 2/3 sec μετα την κρουση?
Αυτη ειναι η ιδια ασκηση!
Εχουμε ενα ζευγος συναρτησεων. x(t) , F(t). Γιατι να υποθεσουμε οτι μετα την κρουση η x(t) αλλαζει ενω η F(t) δεν αλλαζει? Πριν την κρουση εχουμε την δεδομενη F(t) και ταυτοχρονα την F(x)=-40x .Θεωρω το συντηρητικο πεδιο F(x)=-40x
χρονικα σταθερο που ειναι και το πιο λογικο.
Πρόδρομε καλησπέρα.
Πρέπει πρώτα να ολοκληρώσεις, όπως κάνεις, την δύναμη, αλλά στο αποτέλεσμα υπάρχει μια επιπλέον σταθερά, άρα ταχύτητα ισούται με u(t)=-(20/π)ημ(2πt)+c1.
Στην συνέχεια πρέπει να ολοκληρωσεις εκ νέου, οπότε με την νέα σταθερά βγαίνει η απομάκρυνση x(t)=c2+c1 t -(10/π^2) συν(2πt)
Μετά επιβάλλεις τις αρχικές συνθηκες x(1/3)=-0.5 και u(1/3)=0 και υπολογίζεις τις σταθερές c1 και c2.
Κωνσταντίνε όπως έγραψα και παραπάνω, αυτά που έγραψες παραπάνω είναι σωστά, με την προυπόθεση μιας πρόσθετης πληροφορίας που έπρεπε να λέει η εκφώνηση, ότι η δύναμη είναι χωρο-εξαρτώμενη π.χ. ελατήριο. Τότε θα είχες απόλυτο δίκιο! Αν όμως τη δύναμη την πάρουμε ως έχει, δηλ. χρονοεξαρτώμενη, τότε δεν ισχύουν αυτά που ανααφέρεις.
Νομίζω ότι ο Διονύσης έφτιαξε την άσκηση αυτή , σαν ”ένα συμπλήρωμα” για τη συζήτηση που γίνεται δίπλα : είναι α.α.τ.;
Αυτη η ασκηση δεν εχει καμμια σχεση με την συζητηση που γινεται διπλα.Οσο η x(t) ειναι αρμονικη συναρτηση του χρονου ειναι ΑΑΤ
Παιδιά γύρισα μετά τη βολτούλα μου.
Δεν έλυσα καμία άσκηση. Δεν ακούμπησα μολύβι, ούτε χαρτί.
Έβαλα ακριβώς τα δεδομένα του Διονύση σε προσομοίωση ακρίβειας 200.
Πολύ καλής ακρίβειας δηλαδή.
Συμβαίνει ακριβώς αυτό που έστειλα.
Βλέπω τον Στάθη να βγάζει κάτι όμοιο.
Κωνσταντίνε η απαλοιφή του χρόνου δίνει σχέση μεταξύ δύναμης και x αλλά δεν προκύπτει συντηρητικό πεδίο.
Συμβαίνει ακριβώς ότι δείχνει η προσομοίωση. Θα συνέχιζε να κάνει ταλάντωση αν δεν έχανε την ταχύτητα που είχε.
Όμως δεν κάνει ταλάντωση. Απομακρύνεται με μία ταχύτητα του τύπου υ=C1+C2.ημ(ωt+φ). Αυτό δεν είναι ταλάντωση.
Ταλάντωση θα κάνει μόνο αν η δύναμη προέρχεται από ελατήριο.
Αυτό φαίνεται στην τρίτη προσομοίωση που έστειλα και είναι επίσης ιδιαίτερα ακριβής.
Εν πασει περιπτωσει εγω υποθετω οτι το πεδιο F(x)=-40x ειναι χρονικα σταθερο.Προσωπικη μου εκτιμηση ειναι οτι ο Author της ασκησης αυτο ειχε στο μυαλο του οταν κατασκευασε την ασκηση.Αν δεν ισχυει αυτο γινεται αρκετα πιο συνθετη
Η άσκηση έχει ένα αυστηρό δεδομένο που δεν επιδέχεται άλλη ερμηνεία.
Το σώμα δέχεται δύναμη F=-40.ημ(2πt+π/2) ότι και να γίνει.
Δηλαδή αν ένα χέρι κρατήσει το σώμα ακίνητο στη θέση x=0 μετά από δέκα μέρες ήτοι χρόνο 864.000 sec από την εκκίνηση, η δύναμη θα είναι:
F=-40.ημ(2π.864.000+π/2)=-40Ν.
Αν η ακινητοποίηση γίνει στη θέση x=0,3m μετά από 10 μέρες η δύναμη θα είναι πάλι ίση με -40 Ν.
Δηλαδή η δύναμη καθορίζεται από τον χρόνο και ουδεμία σχέση έχει με την θέση και την ταχύτητα του σώματος την στιγμή του συμβάντος.
Κωνσταντίνε αυτό σε μεγάλη συζήτηση το 2010 ονομάστηκε χιουμοριστικά Κρας-τεστ.
Εγώ κατάλαβα ότι ο Διονύσης θεωρεί την δύναμη χρονοεξαρτώμενη.
Αυτό υλοποίησα στις προσομοιώσεις.
Αν δεν έχω καταλάβει καλά, θα διορθώσω την προσομοίωση.