by 
Στο έγγραφο που ακολουθεί έχω συγκεντρώσει τα βασικά για την κυκλοειδή τροχιά. Υπάρχει μια απόδειξη για το “ισόχρονο” της καμπύλης, όπου αποδεικνύεται ότι για ένα υλικό σημείο που κινείται πάνω σε λεία κυκλοειδή τροχιά (της οποίας το επίπεδο είναι κατακόρυφο), δεχόμενο το βάρος του (και την αντίδραση του δαπέδου του), η κίνηση είναι απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο ανεξάρτητη του πλάτους.
Επίσης καταπιάνομαι με την τροχιά του κέντρου καμπυλότητας (που με βοήθησε να καταλάβω πώς κατάφερε ο Christiaan Huygens να κατασκευάσει το ισόχρονο εκκρεμές).
Το έγγραφο μπορείτε να το κατεβάσετε εδώ.
Ευχαριστώ για την διάθεση του χώρου.
Καλησπέρα Κώστα. Εξαιρετικά ενδιαφέρον άρθρο, συγχαρητήρια.
Καλησπέρα Κώστα.
Πάρα πολύ αναλυτικό και όμορφο.
Συγχαρητήρια.
Συγχαρητήρια και από μένα Κώστα.
Ωραία μελέτη!
Μου θύμισε μια από τις πρώτες μελέτες του Ξενοφώντα Στεργιάδη το 2010:
Η κύλιση χωρίς ολίσθηση – Το κυκλοειδές και η Α.Τ.
Καλησπέρα και πάλι Κώστα.
Μια διευκρίνηση σε κάτι που με μπέρδεψε:
Στην υποενότητα για την ισόχρονη, η ΣF είναι ποια ακριβώς δύναμη; (Η δύναμη στον εφαπτόμενο άξονα μάλλον;).
Αν είναι έτσι, η πρόταση
οδηγεί στο συμπέρασμα
για ποιό πλάτος;
Δεν μπορώ να συνδέσω το πώς περνάμε από τα παραπάνω στο κυκλοειδές εκκρεμές του οποίου σωστά υπολογίζεις την περίοδο (προφανώς κάτι μου διαφεύγει…)
Συγχαρητήρια και πάλι.
Συγχαρητήρια και εδώ.
Είχα γράψει και σχολιάζω το σχόλιό σου.
Στάθη είναι μια ιδέα που ξαφνιάζει. Με ξάφνιασε όταν το διάβασα ως σχόλιο αρχικά. Όμως στέκει τελικά.
Τόξα είναι τα πλάτη. Ένα καμπύλο λαμάκι δεν μπορείς να το ισιώσεις;
Δεν είναι αυτό μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση από ένα σημειοσύνολο σε ένα άλλο;
Ειλικρινά ευχαριστώ για τα ευγενή σας λόγια.
Είναι έτσι όπως το αντιλήφθηκε ο Γιάννης. Ως πλάτος φαντάζομαι το τόξο πάνω
στην κυκλοειδή από το σημείο που αφήνεται το υλικό σημείο, έως το κατώτατο
σημείο. Είναι ανεξάρτητο της περιόδου.
Όπως είχα διαβάσει ο Huygens κατασκεύασε τo
ισόχρονο εκκρεμές που αν και έχανε ενέργεια κατά την πάροδο του χρόνου και το
πλάτος αιώρησης μειωνόταν, ωστόσο επειδή το κρεμασμένο σώμα κινείτο πάνω σε
κυκλοειδή καμπύλη, συνέχιζε να έχει σταθερή περίοδο και να μετρά το χρόνο
σωστά. Αυτό δεν γίνεται με το μαθηματικό εκκρεμές που πάνω από τις 3 μοίρες το πλάτος
επηρεάζει την περίοδο. Αλλά αυτά είναι γνωστά.
Αυτό που με είχε εντυπωσιάσει και δεν είχα καταλάβει είναι η κατασκευή του.
Φανταστείτε το σχήμα που χρησιμοποίησα στην ανάρτηση αναποδογυρισμένο ώστε η τροχιά του κέντρου καμπυλότητας να είναι από πάνω και η κυκλοειδής από κάτω. Φανταστείτε επίσης ότι η τροχιά του κέντρου καμπυλότητας είναι από στερεό υλικό π.χ. μεταλλικό φύλλο. Στην «μύτη» (ανώτερο σημείο) έδεσε το νήμα μήκους 4R και στην άλλη άκρη το σωματίδιο. Το εξέτρεψε ως το σημείο που η κυκλοειδής συναντά το μεταλλικό φύλλο και το άφησε ελεύθερο να κινηθεί με την βαρύτητα. Αυτό ήταν. Το σωματίδιο ακολούθησε την κυκλοειδή διότι το νήμα κάθε στιγμή, κατά ένα μέρος ακουμπούσε στο μεταλλικό φύλλο, και κατά ένα μέρος του ήταν ελεύθερο. Έτσι το κέντρο καμπυλότητας βρισκόταν πάντα στη σωστή θέση και το σωματίδιο εκτελούσε ισόχρονη κίνηση πάνω στην κυκλοειδή.
Μα πόσο έξυπνος ήταν;
Δεν μπορούσα να καταλάβω με τίποτα γιατί υπήρχαν τα μεταλλικά φύλλα ώσπου έγραψα αυτά που είδατε. Κάθισα στο excel και έκανα τη γραφική παράσταση του κέντρου της καμπυλότητας. Και όταν εμφανίσθηκε μπροστά μου το αποτέλεσμα, τότε κατάλαβα το ρόλο τους.
Το κυκλοειδές εκκρεμές
Ακριβώς.
Αφού διαγράφει κυκλοειδές οι αιωρήσεις είναι ισόχρονες παρά τις μειώσεις του πλάτους.
Φοβερό, εσύ το έφτιαξες Στάθη;;;
Δυστυχώς όχι Κώστα, από την wikipedia…
Ωραίο άρθρο. Χμ, δεν έπρεπε να γράψω τίποτα, όλα εκεί είναι.
Καλά έκανες και έγραψες Κώστα, γράφουμε αυτά που μας ενδιαφέρουν για να τα συζητούμε μεταξύ μας, δεν ανακαλύπτουμε τον κόσμο από την αρχή.
Επιπλέον στο άρθρο της wikipedia δεν εξηγεί πολλά πράγματα, απλά παραθέτει τις βασικές σχέσεις και το ιστορικό πλαίσιο.
Συγχαρητήρια Κώστα, πολύ αξιόλογη η δουλειά σου!!
Έδωσες κι εσύ με το δικό σου διερευνητικό βλέμμα, την ενδελεχή άποψή σου, τροφή της σκέψης μας.
Να είσαι καλά.
Ευχαριστώ πολύ Πρόδρομε.