by 
Στην οριζόντια επιφάνεια παγοδρομίου(μηδενική τριβή), κινείται μια ράβδος ΑΒ, μήκους L = 2m. Το μέσον Κ της ράβδου έχει σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 1m/s ενώ ταυτόχρονα η ράβδος στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 2rad/s, κάθετης στο οριζόντιο επίπεδο, με φορά προς το έδαφος. Η κάτοψη της ράβδου, τη χρονική στιγμή t0 = 0, είναι όπως φαίνεται στο σχήμα.
i) Η γωνιακή ταχύτητα υπολογίζεται ως προς κατακόρυφο άξονα, κάθετο στη ράβδο, που
α) διέρχεται από το μέσον Κ της ράβδου
β) διέρχεται από το άκρο Α
γ) μπορεί να διέρχεται από οποιοδήποτε σημείο της ράβδου.
Όμορφη Ανδρέα.
Να υποθέσω ότι βρίσκεστε στο στερεό;
Καλησπέρα Γιάννη. Σε ευχαριστώ. Έχουμε κάνει 3 ώρες στο στερεό. Δεν διεκδικεί τίποτα το πρωτότυπο, αυτή η ανάρτηση, αλλά περιστροφή περί τυχαίο σημείο ήταν κάτι άγνωστο για μαθητές που είχαν ήδη κάνει στερεό… Επίσης για τους περισσότερους σύνθετη κίνηση = κύλιση περί το c.m. Την έφτιαξα για να δομήσουν λίγο καλύτερα τη σύνθετη, πριν πάμε σε κύλιση.
Καλησπέρα Ανδρέα.
Πολύ καλή, με πλήρη στόχευση (και με ψηλούς στόχους…)!
Έχω μια έτοιμη με ράβδο, αλλά είχαν προτεραιότητα “τα στρογγυλά” σώματα 🙂
Σε ευχαριστούμε.
Καλησπέρα Διονύση. Σε ευχαριστώ. Τα στρογγυλά όντως έχουν τη μερίδα του λέοντος, Τα “τετράγωνα” όμως δεν τα έχουν δουλέψει και επειδή χρόνος υπάρχει, μπορούμε να τους κάνουμε κάποιες λίγες ασκήσεις…
Αναμένω τη ράβδο σου.
Καλησπέρα Ανδρέα, καλησπέρα παιδιά.
Εξαιρετική και πάρα πολύ διδακτική. Συγχαρητήρια!
Μπράβο Αντρέα πολύ καλή.
Με τέτοια παραδείγματα μπορούν να πιστέψουν την ανεξαρτησία της γωνιακής ταχύτητας από τον άξονα που επιλεγουμε
Ανδρέα καλησπέρα.Μου άρεσε πάρα πολύ αυτή η άσκηση.Εχω στο νου μου διαφορε; Παρόμοιες αλλά η έκδοση αυτη έχει και πληρότητα .Για άμεση χρήση είναι και θα την τιμησω
Καλημέρα συνάδελφοι, έχω Τηλεκενό και είδα τα σχόλιά σας. Σας ευχαριστώ.
Χριστόφορε χαίρομαι που τη βρήκες διδακτική.
Χρήστο μπορεί να μην “πέσει” ράβδος, αφού δεν είναι στρογγυλή, αλλά βοηθάει πολύ τη διδασκαλία της σύνθετης κίνησης, αφού έχει εύκολη γεωμετρία και – όπως το λες – τους βοηθάει να καταλάβουν τι γίνεται με τον άξονα…
Παρμενίωνα την έφτιαξα με βάση το ότι κάνουμε μάθημα από απόσταση και ένα μικρό ποσοστό τελικά της παρεχόμενης πληροφορίας, φτάνει σε ένα μικρό ποσοστό μαθητών. Ευτυχώς κρατήσαμε το 6-ωρο(μην το ματιάσουμε) και έχουμε χρόνο να κάνουμε αρκετά θέματα.
Διδακτικά εύστοχη Ανδρέα!
Καλησπέρα Ανδρεα. Εχεις θεωρησει μια ραβδο ξαπλωμενη στον παγο που στρεφεται γυρω απο κατακορυφο αξονα που περναει απο το κεντρο της με γωνιακη ταχυτητα μετρου ω=2rad/s και ταυτοχρονα ο αξονας αυτος κινειται με σταθερη ταχυτητα 1m/s, ενω παραμενει κατακορυφος. Στην συνεχεια διατηρωντας την ιδια γωνιακη ταχυτητα,μετατοπιζεις παραλληλα τον αξονα ωστε να περναει απο ενα αλλο σημειο της ραβδου,το Γ, και ταυτοχρονα δινεις στον αξονα την ταχυτητα που εχει το σημειο Γ. Την στιγμη της αλλαγης οι ταχυτητες ολων των σημειων της ραβδου δεν επηρεαζονται.Αυτο ειναι ενα γεγονος χωρις καποια ιδιαιτερη φυσικη σημασια ,ειναι απλως μια στιγμιαια επαλληλια ταχυτητων και δεν εχει καμμια σχεση με το θεωρημα Εuler. Αυτο που κανεις ειναι να παιρνεις μια φωτογραφια την ραβδο και οπως κοιτας την ακινητη φωτογραφια φανταζεσαι στιγμιαια τον αξονα σε διαφορα σημεια,με ταχυτητα ιδια με την ταχυτητα των σημειων.O αξονας αυτος δεν ειναι στιγμιαιος ανονας περιστροφης διοτι ειναι κινουμενος. (παρεπιπτοντως ο στιγμιαιος αξονας περιστροφης δεν εχει καποια ιδιαιτερη φυσικη σημασια απλως αποτελει ενα τεχνασμα που διευκολυνει καποιους υπολογισμους) Αν περασει λιγος χρονος ομως και η ραβδος στραφει π.χ.κατα π/2 αν ο αξονας ειχε παραμεινει στο Γ θα ειχαν αλλαξει τα παντα σε σχεση με την κινηση γυρω απο τον προηγουμενο αξονα.Αρα κινηματικα οι δυο περιπτωσεις δεν εχουν καμμια σχεση. Το θεωρημα Εuler λεει οτι: “Οταν ενα σωμα κινειται στον τρισδιαστατο χωρα ετσι ωστε καποιο σημειο του να παραμενει ακινητο, τοτε οποιαδηποτε μετατοπιση, ισοδυναμει με μια μοναδικη στροφη γυρω απο αξονα που περναει απο το ακινητο σημειο.
Αυτη ειναι η διατυπωση του θεωρηματος που υπαρχει εδω:
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_rotation_theorem#:~:text=In%20geometry%2C%20Euler's%20rotation%20theorem,rotations%20is%20also%20a%20rotation.
η σε αγγλικη μεταφραση:
When a sphere is moved around its centre it is always possible to find a diameter whose direction in the displaced position is the same as in the initial position
Δηλαδη με απλα λογια το θεωρημα κατ ουσιαν λεει οτι η συνθεση δυο στροφων ειναι επισης μια στροφη. Επισης το θεωρημα του chasles λεει κατι αλλο απο αυτο που συμβαινει εδω.
Δεν υπαρχει καμμια εφαρμογη του θεωρηματος Euler στην συγκεκριμενη ασκηση. οπου απλως απαιτει καποια στιγμιαια συνθεση ταχυτητων μεταφορικης και στροφικης κινησης.Η προταση που εχεις βαλει σε bοld δεν ειναι σωστα διατυπωμενη και σιγουρα δεν ειναι το θεωρημα Euler.Μια κινηση ειναι η επαλληλια δυο αλλων κινησεων οταν καθε μετατοπιση ειναι το αθροισμα των δυο επι μερους μετατοπισεων.Στην περιπτωση αυτη απλως υπαρχει μια στιγμιαια επαλληλια ταχυτητων που αφορα ενα στιγμιοτυπο της ραβδου και το στιγμιοτυπο δεν ειναι κινηση. Αρα αυτη η επαλληλια ταχυτητων που αφορα μονο μια χρονικη στιγμη,δεν ειναι επαλληλια κινησεων Η κινηση της ραβδου προφανως δεν ειναι επαλληλια μιας μεταφορικης με ταχυτητα 2m/s και μιας στροφικης γυρω απο αξονα που περναει απο το Γ. ουτε μιας μεταφορικης με ταχυτητα 3m/s και μιας στροφικης γυρω απο αξονα που περναει απο το Α, κλπ
Ανδρέα εύστοχη, υπάρχουν και ράβδοι που κάνουν σύνθετη κίνηση!
Κλασσική άσκηση που διδάσκει απαραίτητη γνώση, δια παν ενδεχόμενο !! Ίσως θυμάσαι μια δική μου το 2011-12 που είχε προκαλέσει πολύ μεγάλη κουβέντα. Ο Θρασύβουλος την είχε λύσει και έβγαιναν παράξενα πράγματα.
Η άσκηση έλεγε ότι εκτοξεύουμε μια ράβδο σε οριζόντιο επίπεδο με το και ωο , είχαμε τριβή ολίσθησης, και ζητούσε να μελετήσουμε τι κίνηση θα κάνει. Το κέντρο μάζας δεν κινούνταν ευθύγραμμα, αλλά έστριβε…
Να είσαι καλά.
Καλημέρα Κωνσταντίνε. Σε ευχαριστώ για το σχόλιο αλλά και την αναλυτική μετάφραση – σε 3 γλώσσες – του θεωρήματος Euler. Συμφωνώ ότι τα bold δεν είναι αυτό το θεώρημα, γιαυτό αφαίρεσα το χαρακτηρισμό – όταν έγραφα την άσκηση μου ήρθε αυθόρμητα ο Euler…
Γράφεις “Δεν υπαρχει καμμια εφαρμογη του θεωρηματος Euler στην συγκεκριμενη ασκηση.”
Ας δούμε το σημείο Ο. Δεν είναι ακίνητο;
Το ίδιο δε βρίσκουμε;
Γράφεις “Η προταση που εχεις βαλει σε bοld δεν ειναι σωστα διατυπωμενη ”
Η πρόταση είναι: H σύνθετη κίνηση ενός στερεού μπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία μιας μεταφορικής, με την ταχύτητα ενός οποιουδήποτε σημείου και μιας στροφικής περί άξονα που διέρχεται από αυτό το σημείο.
Μπορείς να μου γράψεις τη σωστή διατύπωση;
Και παρακάτω γράφεις: “Η κινηση της ραβδου προφανως δεν ειναι επαλληλια μιας μεταφορικης με ταχυτητα 2m/s και μιας στροφικης γυρω απο αξονα που περναει απο το Γ. ουτε μιας μεταφορικης με ταχυτητα 3m/s και μιας στροφικης γυρω απο αξονα που περναει απο το Α, κλπ”
Μπορείς να μου γράψεις τι είναι η κίνηση της ράβδου;
Γράφεις “Επισης το θεωρημα του chasles λεει κατι αλλο απο αυτο που συμβαινει εδω.”
Τι ακριβώς λέει το θεώρημα;
Δεν ξέρω αν η θεώρηση διαφορετικού άξονα περιστροφής δεν έχει φυσική σημασία, όπως λες, αλλά η ανεξαρτησία των αποτελεσμάτων από τη θέση του άξονα ήταν ένας από τους στόχους της ανάρτησης. Αν ψάξεις εδώ στο Ylikonet θα βρεις παρόμοιες αναρτήσεις και σχόλια .
Για παράδειγμα ανάρτηση του Νίκου Κορδατζάκη.
Άξονας περιστροφής
Εκεί είχε αναφέρει τον Euler και μου έμεινε…
Καλησπέρα,
Κοιτάξτε αυτό που λέτε για τον στιγμιαίο άξονα:
“O αξονας αυτος δεν ειναι στιγμιαιος ανονας περιστροφης διοτι ειναι κινουμενος.”
Είναι λάθος αυτό. Είναι απλή η απόδειξη, ότι ο στιγμιαίος άξονας ισχύει αν και μόνο αν το σημείο που εφαρμόζεται είτε είναι ακίνητο είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα.
Εφόσον ο κ. Ανδρέας αναφέρει σταθερή ταχύτητα, τότε ισχύει απόλυτα ο στιγμιαίος άξονας.
Να προτείνω και μια απλή απόδειξη-κατανοητή χωρίς μαθηματικά.
Ένας παρατηρητής σε ένα σημείο της ράβδου βλέπει δύναμη d’Alembert, η οποία προκαλεί ροπή. Αν το σημείο έχει μηδενική επιτάχυνση, η δύναμη d’Alembert είναι μηδενική, άρα και η “φαινομενική” ροπή. Έτσι ισχύει ότι ως προς το σημείο τ=dL/dt και κατά συνέπεια ο άξονας είναι και στιγμιαίος.
Αλλιώς κάνετε έναν απλό μετασχηματισμό συστήματος και προκύπτει το ζητούμενο.
Σπύρο διαβάζω:
Είναι λάθος αυτό. Είναι απλή η απόδειξη, ότι ο στιγμιαίος άξονας ισχύει αν και μόνο αν το σημείο που εφαρμόζεται είτε είναι ακίνητο είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα.
Μάλλον δεν κατάλαβα τι εννοείς. Μάλλον παρεξηγώ όσα γράφεις.
Καλημέρα κ. Γιάννη.
Εννοώ ότι γενικά είναι Στ= dL/dt – m.a.r (διανυσματικά).
Όταν η επιτάχυνση ενός σημείου είναι μηδενική (ήτοι a=0) τότε Στ= dL/dt όπου αν μιλάμε για τα γνωστά στερεά, είναι L=Iω, άρα : Στ=Ια.
(όπου το Ι, η ροπή αδράνειας ως προς το σημείο αυτό)
Με άλλα λόγια μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεμελιώδη νόμο σε σημείο το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα αφού τότε a=0. Έτσι ο στιγμιαίος άξονας εφαρμόζεται όχι μόνο σε ακίνητα σημεία.