by 
Μια μικρή σφαίρα μάζας 100g αφήνεται να κινηθεί από σημείο Α οριζοντίου επιπέδου, που βρίσκεται σε ύψος h=1,25m από το έδαφος και να φτάσει στο σημείο Β του εδάφους.
Η διαδρομή μπορεί να είναι ευθύγραμμη, κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, όπως στο πρώτο σχήμα ή να είναι κυκλική, κέντρου Ο και ακτίνας R=h, όπως στο δεύτερο σχήμα, ενώ τριβές δεν υπάρχουν.
- Σε ποια περίπτωση η σφαίρα θα φτάσει στο έδαφος με μεγαλύτερη ταχύτητα;
- Κάποια στιγμή η σφαίρα περνάει από το μέσον Μ της διαδρομής ΑΒ. Για την θέση αυτή να υπολογιστούν, για κάθε μια διαδρομή χωριστά:
α) Η ταχύτητα της σφαίρας.
β) Η κάθετη αντίδραση που ασκείται στη σφαίρα από το κεκλιμένο επίπεδο και από την επιφάνεια στήριξης στην κυκλική διαδρομή.
γ) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας της σφαίρας.
Δίνεται ότι η σφαίρα δεν στρέφεται κατά την κίνησή της, ενώ g=10m/s2.
ή
Μετακίνηση σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές
Μετακίνηση σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές
Καλησπέρα Διονύση, καλησπέρα και στην υπόλοιπη παρέα.
Για το πρόβλημα του χρόνου που έθεσε ο Γιάννης, αν χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες και η αρχή διατήρησης της ενέργειας σε κάθε περίπτωση (κίνηση στην ευθεία και κίνηση στο τεταρτοκύκλιο), προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα του υλικού σημείου συναρτήσει της γωνίας:
Από το γράφημα φαίνεται ότι η ταχύτητα στο τεταρτοκύκλιο είναι μεγαλύτερη για κάθε τιμή της γωνίας.
*** Στο γράφημα η γωνία του οριζοντίου άξονα φ, είναι η γωνία θ του σχήματος δίπλα και η ακτίνα R είναι το ύψος h στο σχήμα.
άρτι αφιχθείς, συνομήλικε φίλε, Παντελή, από ιατρόν,
περί πολυπόδων, μετά συγχωρήσεως, ειδήμονα,
θυμίζω την αρχική μου τοποθέτηση,
όταν περνούν από την ίδια ακτίνα,
όχι ταυτόχρονα κατ΄ ανάγκην,
πολικές συντεταγμένες τα λέμε, νομίζω, αυτά
σε κάθε περίπτωση πάντως
ο Πειραματικός δικαιούται να διαισθάνεται
ο Θεωρητικός να αποδεικνύει
ε, ναι το μπαλάκι σ΄ αυτόν…
Μας ενδιαφερει το 1/4 της περιοδου ενος εκρεμους για γωνιακο πλατος 90 μοιρων.Ο ακριβης τυπος της περιοδου ειναι σε μορφη σειρας και ειναι δυσχρηστος.Βρηκα ενα paper που εχει τον ακριβη τυπο και μερικους προσεγγιστικους τυπους με τα αντιστοιχα σφαλματα.eq. 6,7,8,9,10,11.Αλλος θεωρητικος τροπος να βγαλουμε συμπερασμα δεν νομιζω να υπαρχει. http://www.scielo.org.mx/pdf/rmfe/v54n1/v54n1a10.pdf
Κωνσταντίνε ο ακριβής χρόνος είναι 1,854*ρίζα(L/g).
Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα από το γκραφ.
Ο τρόπος επίλυσης περιγράφεται εδώ.
Μοιάζει με το παράδειγμα με τη ράβδο.
Καλημέρα συνάδελφοι.
βλέπω ότι προχώρησε η συζήτηση…
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα συνάδελφοι.
Το ολοκλήρωμα/εμβαδό που υπολογίζεις είναι το ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους
και η δημοσίευση στην οποία παραπέμπει ο Κωνσταντίνος, αναπτύσσει το ολοκλήρωμα αυτό σε σειρά. Κατ’ ουσίαν είναι το ίδιο πράγμα.
Δεν νομίζω και εγώ ότι μπορούμε αναλυτικά να υπολογίσουμε τον χρόνο κίνησης, αλλά μπορούμε να δείξουμε ποια κίνηση γίνεται στον μικρότερο χρόνο.
Καλημέρα παιδιά.
Όντως Στάθη είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωμα. Τα υπολογίζω μέσω γκραφ.
Όμως δεν με ικανοποιεί η ακριβής λύση. Αναζητούσα μια απάντηση που θα έμοιαζε με τη σκέψη του Διονύση (σύγκριση επιτροχίων επιταχύνσεων). Ίσως δεν υπάρχει τέτοια.
Γιάννη θες να βρείς ποια διαδρομή είναι συντομότερη, ή να υπολογίσεις με ακρίβεια τον χρόνο της κυκλικής διαδρομής;
Αν θες το πρώτο γίνεται σχετικά απλά, αν θες το δεύτερο δεν νομίζω να γίνεται παρά μόνον με ελλειπτικά ολοκληρώματα, ακριβώς γιατί η επιτρόχιος επιτάχυνση εξαρτάται από την γωνία.
Στάθη είναι το κυκλοειδές η συντομότερη διαδρομή.
Ο χρόνος υπολογισμού της κυκλικής διαδρομής έχει γίνει.
Αναζητώ μια απάντηση όπως αυτές που δίνονται στις γνωστές “λακούβες”:
https://www.youtube.com/watch?v=JWtsOiVxIIE&t=77s&ab_channel=BruceYeany
Βλέπουμε στο 4:35
Υπάρχει ποιοτική εξήγηση που παρακάμπτει ακριβή υπολογισμό;
Γιάννη δεν χρειάζεται να μπλέξουμε το κυκλοειδές, αρχή ελάχιστης δράσης ή ελλειπτικά ολοκληρώματα. Αναφέρομαι στο ερώτημα που έθεσες στην αρχή αυτής της συζήτησης:
“Καλημέρα Διονύση.
Πάρα πολύ καλή.
Να προσθέσω το ερώτημα:
-Ποια θα φτάσει πρώτη;”
Μπορούμε να υπολογίσουμε ποια θα φτάσει πρώτη μέσω της ΑΔΕ, υπολογίζοντας την ταχύτητα συναρτήσει της γωνίας, αυτό εννοούσα.
καλημέρα σε όλους
ωραία εξέλιξη είχε η συζήτηση σε ένα πολύ δύσκολο ερώτημα
αρχικά είχα δει, κάνοντας χρήση της επισήμανσης του Διονύση για τις επιταχύνσεις, ότι πράγματι η ταχύτητα στο κυκλικό είναι διαρκώς μεγαλύτερη από την ταχύτητα στο κεκλιμένο, η οποία ακριβώς στην κατώτατη θέση μόλις και “καταφέρνει” να γίνει ίση, αυτό, όμως δεν εξασφαλίζει ότι και ο χρόνος στο κυκλικό είναι μικρότερος, διότι η διαδρομή εκεί είναι μεγαλύτερη
η προσέγγιση με το απλό εκκρεμές είναι εξαιρετική
προσωπικά είχα και πειραματικά διαπιστώσει ότι και για αρκετά μεγαλύτερες γωνίες από 6ο, που γράφεται στα βιβλία, η απόκλιση είναι πολύ μικρή
η απόκλιση αυξάνεται με την αύξηση της γωνίας εκτροπής, εκτιμώ λόγω της αύξησης της αντίστασης του αέρα
Αυτό Στάθη είναι μια καλή ιδέα.
Αν το ημικύκλιο υπερτερεί σε κάθε γωνία, τότε θα φτάσει πρώτη η σφαίρα του. Αυτό είναι κάτι που και μαθητές θα μπορούσαν να καταλάβουν.
Καλημέρα σε όλους. Διονύση το θέμα είναι πολύ καλό και προκάλεσε και όμορφη συζήτηση για τους χρόνους κίνησης. Κέρδος για μαθητές και συναδέλφους λοιπόν.
Καλό μεσημέρι σε όλους.
Αποστόλη σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Με την ευκαιρία, να τονίσω την τοποθέτηση του Στάθη.
“Μπορούμε να υπολογίσουμε ποια θα φτάσει πρώτη μέσω της ΑΔΕ, υπολογίζοντας την ταχύτητα συναρτήσει της γωνίας, αυτό εννοούσα.”
Είναι πολύ βασική και ουσιαστική σκέψη.
Είχα διατυπώσει από την αρχή την άποψη, ότι κατά την κίνηση στην κυκλική κίνηση το σώμα αρχικά αποκτά μεγαλύτερη επιτάχυνση, θα αποκτήσει και μεγαλύτερη ταχύτητα και θα φτάσει γρηγορότερα. Η συλλογιστική έπασχε στο ότι ήταν διαφορετικά τα διαστήματα…
Η σκέψη του Στάθη να πάει στην γωνία και όχι στις τροχιές, επιλύει με σαφήνεια το πρόβλημα.
Αν σε κάθε γωνία το σώμα στην κυκλική κίνηση έχει μεγαλύτερη ταχύτητα (όπως προκύπτει από ΑΔΜΕ), τότε το σώμα στην κυκλική θα φτάσει γρηγορότερα!
Μπράβο Στάθη.