by 
Μια μικρή σφαίρα μάζας 100g αφήνεται να κινηθεί από σημείο Α οριζοντίου επιπέδου, που βρίσκεται σε ύψος h=1,25m από το έδαφος και να φτάσει στο σημείο Β του εδάφους.
Η διαδρομή μπορεί να είναι ευθύγραμμη, κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, όπως στο πρώτο σχήμα ή να είναι κυκλική, κέντρου Ο και ακτίνας R=h, όπως στο δεύτερο σχήμα, ενώ τριβές δεν υπάρχουν.
- Σε ποια περίπτωση η σφαίρα θα φτάσει στο έδαφος με μεγαλύτερη ταχύτητα;
- Κάποια στιγμή η σφαίρα περνάει από το μέσον Μ της διαδρομής ΑΒ. Για την θέση αυτή να υπολογιστούν, για κάθε μια διαδρομή χωριστά:
α) Η ταχύτητα της σφαίρας.
β) Η κάθετη αντίδραση που ασκείται στη σφαίρα από το κεκλιμένο επίπεδο και από την επιφάνεια στήριξης στην κυκλική διαδρομή.
γ) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας της σφαίρας.
Δίνεται ότι η σφαίρα δεν στρέφεται κατά την κίνησή της, ενώ g=10m/s2.
ή
Μετακίνηση σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές
Μετακίνηση σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές
ε, μα, αυτό εννοώ ότι δεν μας διαβάζεις όλους, Διονύση…
Γιατί το λες Βαγγέλη.
Πώς δεν σας διαβάζω;
Την διάβασα την ένστασή σου, ότι:
“δεν εξασφαλίζει ότι και ο χρόνος στο κυκλικό είναι μικρότερος, διότι η διαδρομή εκεί είναι μεγαλύτερη”
Προφανώς δεν σε αντέκρουσα, αφού είδα ότι έχεις δίκιο και δεν είχα απάντηση…
Ο Στάθης πήγε από την διαδρομή στη γωνία και κατά την γνώμη μου, έδωσε μια όμορφη και μη δεχόμενη αντίρρηση απάντηση, στο αρχικό ερώτημα, για το ποιος φτάνει πρώτος στην κατακόρυφη θέση…
Καλησπέρα σε όλους.
κ. Στάθη έχω μια μικρή αμφιβολία για την λύση που δίνετε με τις γωνίες. Εξηγώ:
Συσχετίζετε την ταχύτητα υ στο κεκλιμένο με την ταχύτητα V στον κύκλο μέσω κάποιας παραμέτρου θ. Είναι όμως σωστή αυτή η συσχέτιση?
Η γνώμη μου είναι πως αυτός ο συσχετισμός είναι λάθος. Η ταχύτητα υ είναι συνάρτηση μιας γωνίας θ και η V συνάρτηση μιας γωνίας θ’. Σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, τα σώματα δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ώστε θ=θ’.
Με λίγα λόγια συγκρίνετε ταχύτητες σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, το οποίο δεν μπορεί να μας δώσει συμπέρασμα για τον χρόνο. Θα έπρεπε η μεταβλητή στην υ πχ να είναι θ και η μεταβλητή στην V να είναι θ΄. Δεν είναι θ=θ’, αλλά είναι ότι το διάστημα της θ και της θ’ είναι ίσα (από 0 έως π/2) – νομίζω εκεί έγκειται το λάθος της σκέψης.
Επίσης, αν πάμε να υπολογίσουμε κανονικά τα ολοκληρώματα χρόνου, συμπέρασμα μπορεί να βγει μόνο αριθμητικά. Η δική σας μέθοδος δίνει αναλυτική λύση, πράγμα άτοπο αφού αν σε ένα σύστημα έχουμε αναλυτική λύση, τότε και σε άλλο θα πρέπει να έχουμε (και εδώ δεν έχουμε).
Η θ αντιστοιχεί στο Α και η φ στο Β
Καλησπέρα Σπύρο. Παρόμοια ένσταση είχε και ο Ψυλάκος το πρωί τηλεφωνικά.
Τα δύο σώματα ξεκινούν από το ίδιο σημείο με ταχύτητα μηδέν, και καταλήγουν στο ίδιο σημείο με γωνιακές και γραμμικές ταχύτητες αύξουσες συναρτήσεις του χρόνου, σε όλη την διαδρομή τους.
Μου φάνηκε αυτονόητο, ότι αν σε κάθε γωνία η ταχύτητα του ενός είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη ταχύτητα του άλλου, το ένα φτάνει πιο γρήγορα.
Θα το ξανασκεφτώ, μόλις γυρίσω σπίτι.
Γεια σου Σπύρο.
Αν σε κάθε γωνία το ένα σώμα έχει μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα απο το άλλο, τότε θα φτάσει πρώτο.
Δεν χρειάζεται να βρίσκονται την ίδια στιγμή στην ίδια γωνία.
Διότι αν σπάσουμε την “διαδρομή” σε ίσα dφ:
dφ=ω1dt1 και dφ=ω2.dt2 =>dt1>dt2=>Σdt1>Σdt2=>Δt1>Δt2.
Μη επικοινωνώντας μαζί σου απέφυγα να στείλω τη λύση σου χωρίς να σε ρωτήσω. Αξίζει να τη στείλεις.
Στάθη ας το κάνουμε “γωνιακές ταχύτητες” αντί “ταχύτητες”.
Τότε τελείωσε η ιστορία.
Καλησπέρα Γιάννη, για αυτό έγραψα
“ με γωνιακές και γραμμικές ταχύτητες αύξουσες συναρτήσεις του χρόνου, σε όλη την διαδρομή τους “
Αν παρουμε δυο ομοκεντρους κυκλους διαφορετικων ακτινων και δυο κινητα που κινουνται πανω στους κυκλους διαγραφουν την ιδια πεπερασμενη γωνια με ισες γωνιακες ταχυτητες,τοτε προφανως οι γραμμικες ταχυτητες συναρτησει της γωνιας ειναι ανισες ενω οι χρονοι διαγραφης των ανισων τοξων ειναι ισοι.Δεν παιζει ρολο που στην περιπτωση μας η μια διαδρομη ειναι ευθυγραμμη.Η ουσια της σκεψης ειναι η ιδια.Αρα η ανισοτητα των ταχυτητων για την ιδια γωνια δεν αποδεικνυει αυτο που θελουμε.Αν η ανισοτητα αυτη αφορουσε τις γωνιακες ταχυτητες αυτο θα ηταν αποδειξη.Εχει δικιο ο Σπυρος.
Καλησπέρα στην παρέα.
Αφού απέτυχα μέσω παραστάσεων …
Μια προσπάθεια “απλοϊκής σκέψης
που υπολείπεται παρασάγγας από τις ήδη αναρτημένες.
Στέκει άραγε για την σύγκριση των χρόνων (όχι υπολογισμό …)
Καλημέρα Παντελή.
Δεν την βλέπω καθόλου απλοϊκή την σκέψη σου…
Πώς φτάνουμε στον κύκλο, παρά μέσω προσέγγισής του με ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο του οποίου αυξάνεται το πλήθος των πλευρών του;
Μια χαρά μου φαίνεται η απόδειξή σου, έστω και αν χρησιμοποίησες αριθμούς, αντί για σύμβολα.
Αν αντικατασταθεί η κίνηση κατά μήκος μιας χορδής, με την κίνηση κατά μήκος δύο άλλων χορδών που πλησιάζουν την κυκλική τροχιά, ο χρόνος κίνησης μειώνεται. Και αυτό ισχύει για κάθε αντίστοιχο σπάσιμο σε δύο…
Άλλαξε μόνο στο κείμενο την φορά της ανισότητας:
Καλημέρα παιδιά.
Παντελή είναι πολύ καλή ιδέα. Πρέπει όμως να δειχθεί για κάθε γωνιά, μια και στην επόμενη διαμέριση η γωνία δεν θα είναι 45 μοίρες.
Καλημερα Γιάννη.Το πιο σημαντικο διδαγμα ολης της συζητησης κατα την γνωμη μου ειναι πως απο μια λεπτομερεια καταρρεει μια αποδειξη. Σωστο αυτο που γραφεις.Μεχρι στιγμης δεν εχουμε αποδειξει θεωρητικα (χωρις αριθμητικες μεθοδους) οτι ο χρονος του κυκλου ειναι μικροτερος.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Παντελή θα αντικρούσει κάποιος το επιχείρημά σου, με το ότι η γωνία των κεκλιμένων αλλάζει συνεχώς, άρα και η επιτάχυνση της μάζας σε κάθε υποδιαίρεση. Στοιχηματίζω όμως ότι έχεις δίκιο.
Εκείνο το οποίο θέλω να καταλάβω είναι το εξής: αμφισβητείται η μονοτονία της γωνιακής ταχύτητας στην περίπτωση της ευθείας;
Θέλω να πω, πως ξέρουμε ότι το σώμα ξεκινά και καταλήγει με την ίδια γραμμική και γωνιακή ταχύτητα , μεταξύ των ίδιων σημείων.
Στην ευθύγραμμη τροχιά η γραμμική ταχύτητα είναι σε κάθε γωνία μεγαλύτερη από την αντίστοιχη στην κυκλική τροχιά.
Στην κυκλική τροχιά η μονοτονία της γωνιακής ταχύτητας ακολουθεί την μονοτονία της γραμμικής ταχύτητας (αύξουσα συνάρτηση του χρόνου).
Στην ευθύγραμμη τροχιά αμφισβητείται ότι η γωνιακή ταχύτητα ακολουθεί την μονοτονία της γραμμικής, και για αυτό δεν ξέρουμε ποιο φτάνει πρώτο;