by 
Μια μικρή σφαίρα μάζας 100g αφήνεται να κινηθεί από σημείο Α οριζοντίου επιπέδου, που βρίσκεται σε ύψος h=1,25m από το έδαφος και να φτάσει στο σημείο Β του εδάφους.
Η διαδρομή μπορεί να είναι ευθύγραμμη, κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, όπως στο πρώτο σχήμα ή να είναι κυκλική, κέντρου Ο και ακτίνας R=h, όπως στο δεύτερο σχήμα, ενώ τριβές δεν υπάρχουν.
- Σε ποια περίπτωση η σφαίρα θα φτάσει στο έδαφος με μεγαλύτερη ταχύτητα;
- Κάποια στιγμή η σφαίρα περνάει από το μέσον Μ της διαδρομής ΑΒ. Για την θέση αυτή να υπολογιστούν, για κάθε μια διαδρομή χωριστά:
α) Η ταχύτητα της σφαίρας.
β) Η κάθετη αντίδραση που ασκείται στη σφαίρα από το κεκλιμένο επίπεδο και από την επιφάνεια στήριξης στην κυκλική διαδρομή.
γ) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας της σφαίρας.
Δίνεται ότι η σφαίρα δεν στρέφεται κατά την κίνησή της, ενώ g=10m/s2.
ή
Μετακίνηση σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές
Μετακίνηση σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Πρέπει να ισχύει για κάθε γωνία. Απόδειξη δεν βρίσκω.
Καλημέρα Κωνσταντίνε, αλλά εδώ δεν πρόκειται για τυχαίες συναρτήσεις. Περιορίζονται από την ΑΔΕ και από τις δύο τροχιές με τα ίδια ακραία σημεία.
Έχεις δίκιο ως προς την αυστηρή μαθηματική πληρότητα μίας απόδειξης. Ας το πούμε εικασία το συγκεκριμένο, όχι απόδειξη.
καλημέρα σε όλους
εξαιρετική προσέγγιση Παντελή!
φαίνεται, πάντως, αν σε ερμηνεύω σωστά, ότι πράγματι ζαλίστηκες προς το μέσον, και παρέσυρες και τον Διονύση,
γράφοντας τη σχέση tΑΓΒ>tΑΓ
αντί tΑΓΒ<tΑΒ
την οποία και “κλέβω”
και αν Μ και Ν τα μέσα των τόξων ΑΓ και ΓΒ θα έχω αντίστοιχα
tΑΜΓ<tΑΓ και tΓΝΒ<tΓΒ άρα tΑΜΓΝΒ<tΑΓΒ<tΑΒ
κ.ο.κ, οπότε η τεθλασμένη Α…Β ταυτίζεται με το τόξο ΑΒ
Καλημέρα στην παρέα.
Κατ’αρχάς ευχαριστώ όλους που ανταποκρίθηκαν στην “πρόταση”
σύγκρισης των χρόνων (ξαναλέω ότι έβαλα τιμές για ευκολία μου ).
Αν σωστά κατάλαβα θεωρείται “θετική” με το κενό της ολοκλήρωσης ώστε η τεθλασμένη διαδρομή να καταλήξει στο τεταρτοκύκλιο που κάπως θίγω στο τέλος.
Είδα βέβαια ότι ο Διονύσης φραστικά προσεγγίζει το ζητούμενο και μόλις τώρα είδα και τον Βαγγέλη που συνηγορεί συμβολικά- ερμηνευτικά ομοίως. .
Διορθώθηκε η τελική ανισότητα …μόλις.
Να είστε όλοι καλά ,καλό Σαββατοκύριακο
Παιδιά μία σκέψη:
Συμφωνούμε ότι η αρχική γωνιακή ταχύτητα και των δύο διαδρομών ισούται με το μηδέν και στο ότι οι γωνιακές ταχύτητες και των δύο διαδρομών είναι αύξουσες συναρτήσεις του χρόνου;
Αν συμφωνούμε σε αυτά, τότε θα συμφωνήσουμε επίσης στο ότι αν η τελική γωνιακή ταχύτητα της ευθύγραμμης διαδρομής, είναι μικρότερη της τελικής γωνιακής ταχύτητας του τεταρτοκυκλίου, το σώμα φτάνει πιο γρήγορα όταν κινείται στο τεταρτοκύκλιο.
Υπάρχει κάποιο λάθος στον συλλογισμό μου, το οποίο δεν βλέπω;
Οχι δεν συμφωνουμε διοτι μπορει να εχεις δυο αυξουσες συναρτησεις των οποιων η διαταξη μεταξυ τους να εναλλασεται.Η μονοτονια και οι αρχικες και τελικες τιμες δεν αποδεικνυουν τιποτα.
Δυστυχώς είναι δύσκολο θέμα.
Μη μπορώντας να αποδείξω κάτι, κατέφυγα στο interactive physics.
Ας δούμε δύο διοαδρομές, την πράσινη και την κόκκινη:
Κάποιες φορές (κλίση μεγαλύτερη από 45 μοίρες) η πράσινη είναι συντομότερη από την κόκκινη.
Καλημέρα σε όλους.
κ. Στάθη συμφωνώ με τον κ. Κωνσταντίνο. Μπορεί να έχουμε μια αύξουσα συνάρτηση του χρόνου που να λαμβάνει μια τελική τιμή ω1 όταν t=t1 και μια άλλη αύξουσα που να λαμβάνει τιμή ω2 όταν t=t2. Εμείς το μόνο που γνωρίζουμε είναι ότι ω1>ω2. Αυτό δεν μας δίνει καμία πληροφορία για την σχέση των t1 και t2.
Διαισθητικά γνώριζα εξαρχής ότι δεν μπορούμε να βγάλουμε αναλυτική λύση, γιατί αν μπορούσαμε χρησιμοποιώντας την μέθοδο των γωνιών που πρότεινε ο κ.Στάθης, τότε θα μπορούσαμε να την χρησιμοποιήσουμε και σε ένα κυκλοειδές πχ που είναι συνεχώς πάνω από μια άλλη καμπύλη και θα βγάζαμε ότι το σώμα θα κατέβει γρηγορότερα στην άλλη καμπύλη. Αυτό φυσικά είναι άτοπο γιατί το κυκλοειδές είναι ο βραχυστόχρονος.
Γεια σε όλους.
Επεκτείνοντας την μέθοδο του Παντελή.
Κάθε κανονικό ν-εδρο, ν άρτιος, εγγεγραμμένο σε κύκλο χωρίζεται σε ν τρίγωνα με επίκεντρη γωνία ω=2π/ν (1) και γωνίες βάσης φ=(π-ω)/2 (2) και μήκος βάσης(τόξου) α=2ρημ(π/ν) (3).
Με βάση τις )1), (2) και ότι το τελευταίο –κοντά στην κατακόρυφη τόξο- σχηματίζει γωνία (π/2)-φ=π/ν με τον ορίζοντα, το επόμενο γωνία 3π/ν κλπ μπορώ να βρω τις επιταχύνσεις για κάθε τόξο άρα και τους χρόνους με την βοήθεια της (3)
Αν προσθέσω όλους αυτούς τους χρόνους θα καταλήξω σε μια σειρά όρων που θα περιέχουν το ν ως μεταβλητή. ΑN μπορέσω βρω που συγκλίνει το άθροισμα όταν το ν τείνει στο άπειρο, μπορώ να βρω αν είναι μικρότερο (που είναι) από το χρόνο για να διανύσει το κεκλιμένο. Να το προσπαθήσω αναλυτικά,εγώ δεν έχω την υπομονή,
Διδακτικά μάλλον θα βοηθήσει τα παιδιά… να πηδήξουν από τα παράθυρα.
Ο διανυσματικός λογισμός εφευρέθηκε για να λύσει προβλήματα που δεν μπορούσαν να λυθούν στοιχειωδώς.
Το ερώτημα για το χρόνο μάλλον ξεπερνά την δυνατότητα να λυθεί απλά.
Ας κρατήσουμε τα πρώτα ερωτήματα της άσκησης που είναι πολύ βοηθητική για τα παιδιά.
Eδω εχουμε δυο αυξουσες συναρτησεις ω1(θ) και ω2(θ) οι οποιες δουλευουν απο 0 εως π/2 με αρχικες τιμες
ω1(0)= ω2(0)=0 και τελικες τιμες που ικανοποιουν την ανισοτητα ας πουμε ω1(π/2)>ω2(π/2).Η διαταξη των γωνιακων ταχυτητων ω1(θ) και ω2(θ) στο ενδιαμεσο ειναι τελειως αγνωστη και δεν εχει καμμια σχεση με την μονοτονια τους ετσι ωστε να μην μπορουμε να βγαλουμε συμπερασμα για τους χρονους διαγραφης των γωνιων.Μπορουμε πολυ ευκολα να κατασκευασουμε τετοιες συναρτησεις ωστε σε ενα επαρκες κομματι του γωνιακου διαστηματος να ισχυει ω1(θ)<ω2(θ) ωστε τελικα να ειναι t1>t2. Eσυ μπορεις σιγουρα να το κανεις αυτο.
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Ένας υπολογισμός που έρχεται να επιβεβαιώσει τις αντιρρήσεις του Κωνσταντίνου και του Σπύρου, όσον αφορά τη χρήση της γωνίας και της γωνιακής ταχύτητας.
Ας υπολογίσουμε για το σώμα που κατέρχεται κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου, την γωνιακή του ταχύτητα στο μέσον της διαδρομής του και στην τελική θέση.
Στο μέσον της διαδρομής θα έχουμε:
Στην βάση του κεκλιμένου επιπέδου έχουμε:
Βλέπουμε δηλαδή την γωνιακή ταχύτητά του, να ξεκινά από την τιμή μηδέν, να αυξάνεται καθώς πέφτει να έχει μια μεγάλη τιμή στο μέσον Μ της τροχιάς του (πιθανόν την μέγιστη…), αλλά στη συνέχεια να μειώνεται μέχρι να φτάσει στην βάση. Δεν είναι πάντα αύξουσα η συνάρτηση ω=f(t)…
Καλησπέρα,
Σπύρο και Κωνσταντίνε είχατε δίκιο (όπως είχε και ο Κώστας Ψυλάκος που μου το πρωτοέθεσε ως προβληματισμό). Τελικά η διαίσθησή μου έπεσε έξω.
Πράγματι η συνάρτηση της γωνιακής ταχύτητας του τεταρτοκυκλίου δεν είναι πάντα μεγαλύτερη από αυτήν της ευθείας, στην ίδια γωνία. Το επιβεβαίωσα και αναλυτικά εδώ, άρα δεν μπορούμε να αποφανθούμε.
Καλησπέρα Άρη, καλησπέρα Διονύση.
Είναι πλέον χαρακτηριστικό της νησίδας τα δύσκολα να παλεύονται
μέχρι τελικής …λύσης τους με “μαχητικούς” διαλόγους.
Πάντως Άρη στα ερωτήματα της άσκησης δεν υπήρχε το εν λόγω,
διότι έτσι ήθελε ο Διονύσης ,όμως ο Κυρ σ’αυτά γουστάρει την αιχμή
όσο σκληρή κι αν είναι…