by 
Σε μια ευαίσθητη ζυγαριά έχουμε ένα δοχείο με νερό και έναν άδειο σωλήνα. Ανοίγουμε τη βρύση που τα συνδέει.
Η ένδειξη της ζυγαριάς είναι:
- Μικρότερη από το βάρος δοχείων και νερού.
- Ίση με το βάρος δοχείων και νερού.
- Μεγαλύτερη από το βάρος δοχείων και νερού.
Παραθέτω διορθωμένη τη λύση στο προβλημα του Διονύση:
Σωστό μου φαίνεται Διονύση, μεγαλύτερη από το βάρος και μειούμενη όσο μειώνεται η παροχή.
Βγάζω ανάλογο συμπέρασμα, έχοντας ίσως κάνει λάθος στον συντελεστή του Π^2.
Διονύση ας δούμε τη διαφορά των δύο δυνάμεων:
Αν ο λόγος Α1/Α2 είναι μεγάλος η Ν βγαίνει μεγάλη.
Αν δηλαδή Α1=1τ.μ και υ1=10^-4m/s και Α1/Α2 =200 (σωλήνας γαρ) τότε βγαίνει ότι:
Ν=Β+1000.201.10^-4. Δηλαδή η Ν είναι μεγαλύτερη από τα βάρος κατά 20,1Ν.
Έτσι νομίζω κι εγώ.
Τελικά φαίνεται να συμβάλλει πιο πολύ η άνοδος του υγρού στο στενό σωλήνα.
Μην γελάσετε, αλλά η ιδέα μου μπήκε σκεφτόμενος ότι όταν δημιουργείς … συντριβάνι με το λάστιχο, σε σπρώχνει προς τα κλατω 🙂
Διονύση κάτι είναι περίεργο.
Καταλαβαίνω να πεις ότι το κέντρο μάζας σε κάθε δοχείο κινείται με τη μισή ταχύτητα της επιφάνειας. Είναι αυτονόητο διότι είναι Γεωμετρία.
Όμως γιατί η μάζα που μπαίνει σε ένα δοχείο μπαίνει με την ταχύτητα που κινείται η επιφάνεια του δοχείου;
Γιατί να μη συνεχίσει να κινείται με την ταχύτητα που είχε όταν περνούσε από τον σωλήνα σύνδεσης;
Το ότι το υγρό είναι ασυμπιεστο δεν σημαίνει ότι οι μάζες του δοχείου θα κινούνται με την ίδια ταχύτητα που έχει η επιφάνεια.
Αν αυτό συνέβαινε τότε όλο το υγρό θα είχε την ίδια ταχύτητα. Τότε το κέντρο μάζας θα είχε την ίδια ταχύτητα με την επιφάνεια ενώ έχει αναγκαστικά τη μισή ταχύτητα από αυτήν.
Να σου κάνω το ίδιο ερώτημα αριστερά!
Γιατί η αριστερή επιφάνεια να μην κατεβαίνει με την ταχύτητα του υγρού στο σωλήνα σύνδεσης; 🙂
Μια γνωμη και απο μενα.Αυτο τελικα ειναι ενα πολυ ωραιο προβλημα το οποιο πρεπει να εχει και μια αναλογως συντομη και κομψη λυση για να μην χανει την ομορφια του.Η συζητηση που προεκυψε ειχε φυσικα ενδιαφερον και αναγκασε τον Γιαννη να κανει αναλυτικους υπολογισμους τους οποιους δεν θα εκανε νομιζω αφου εθεσε την αρχικη ερωτηση ως ερωτηση πολλαπλης επιλογης και οχι ως ασκηση χωρις νουμερα. Ειναι ετσι Γιάννη? Μια απαντηση που ταιριαζει στην ερωτηση ειναι η εξης:
Eιναι προφανες οτι η επιλογη μεταξυ των απαντησεων 1,2,3 για την ενδειξη της ζυγαριας αφου αποκατασταθει η ροη,δεν μπορει να εξαρταται απο τον λογο των οριζοντιων διατομων των δυο δοχειων.Αρα μεγαλωνω πολυ την διατομη του αρχικα αδειου δοχειου,ωστε πρακτικα ειναι σαν το νερο να χυνεται στο πατωμα της ζυγαριας,χωρις ομως να φευγει απο την ζυγαρια.Τοτε η ταχυτητα καθοδου του κεντρου μαζας του νερου που βρισκεται στο αριστερο δοχειο,ειναι αναλογη του (2gh)^1/2 οπου h ειναι το υψος της σταθμης του νερου.(Αν το δοχειο εχει σχημα πρισματος η κυλινδρου τοτε ο συντελεστης αναλογιας ειναι το μισο του λογου των εμβαδων τρυπας και επιφανειας του νερου) .Επιση ο ρυθμος με τον οποιον προστιθεται νερο στο επιπεδο μηδεν επισης ειναι αναλογος του (2gh)^1/2 Αρα συνολικα η ταχυτητα του κεντρου μαζας ειναι φθινουσα συναρτηση του χρονου αρα η επιταχυνση εχει φορα προς τα πανω.
Η αριστερή επιφάνεια κατεβαίνει με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα στον σωλήνα σύνδεσης επί Αοπ/Α1.
Η δεξιά ανεβαινει με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα στον σωλήνα σύνδεσης επί Αοπ/Α2.
Όμως οι μάζες που βρίσκονται σε ένα δοχείο δεν έχουν όλες την ταχύτητα της επιφάνειας. ν την είχαν η ταχύτητα του κέντρου μάζας του νερού σε κάθε δοχείο θα ήταν όση η ταχύτητα της επιφάνειας (η κοινή ταχύτητα όλων των μαζών). Ομως η ταχύτητα του κεντρου μάζας του υγρού είναι η μισή από αυτήν της επιφάνειας.
Διότι y=h1/2=>dy/dt=υ1/2.
Έτσι είναι Κωνσταντίνε.
Οι υπολογισμοί ενισχύουν κάτι που λέμε με λόγια μόνο.
Η διαφορά μας Διονύση:
Εγώ δεν επικαλούμαι κάποια ταχύτηα πριν και κάποια ταχύτητα μετά στη μάζα που εισβάλλει.
Επικαλούμαι μόνο τη θέση του κέντρου μάζας που είναι y=(m1.y1+m2,y2)/(m1+m2).
Αυτό είναι ορισμός.
Μετά επικαλούμαι το ότι dP/dt=M.dVcm/dt+Vcm.dM/dt=>dP/dt=M.dVcm/dt
διότι για το ολικό σύστημα dM/dt=0 (σταθερή μάζα).
Τα παραπάνω ισχύουν και μενει μόνο η περίπτωση να έχω λάθος σε πράξεις.
Όμως λάθος σε παραδοχή ή υπόθεση δεν υπάρχει.
Εάν δεν έχω λαθος, τότε η μάζα που εισβάλλει δεν έχει την ταχύτητα της επιφάνειας του σωλήνα.
Γιάννη y1, y2 εννοείς τα h1, h2 των 2 στηλών ή τα μισά τους;
Επίσης, στην παραγώγιση του 2ου μέλους, θεωρείς σταθερά τα y1, y2 (ή τα h1, h2;)
Εννοώ δηλαδή το εξής:
M.y = m1.y1 + m2.y2
M.y’ = -ρΠ.y1 + m1.y1′ + ρΠ.y2 + m2.y2′
M.y’ = ρΠ.(y2-y1) + m1.y1′ + m2.y2′
Καλημέρα Γιάννη,
Προσπάθησα κι έκανα πράξεις με τον τρόπο σου και μου βγήκε αυτό.
Μπορεί να τα μπέρδεψα στα πρόσημα γιατί μου βγήκαν τα μάτια, τσέκαρέ το κι εσύ αν θέλεις.
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα Διονύση, καλημέρα σε όλους και καλή Κυριακή.
Γιάννη σε ευχαριστώ για την παραπάνω απόδειξη, που ξεκαθαρίζει την διαφωνία μας.
Εσύ έβαλες όλο το σύστημα πάνω σε μια ζυγαριά, άρα προφανώς αναφερόσουν στη συνολική βάση, εγώ είχα κολλήσει να σκέφτομαι τις συνθήκες ροής και την δύναμη στη βάση του δοχείου.
Και “λογικά” είχαμε διαφωνία αφού σκεφτόμουν άλλο πρόβλημα…
Καλημέρα Διονύση.
Αρχικά ας δούμε ένα σημείο της διαφωνίας μας.
Γράφεις ότι χρόνο dt μια μάζα dm περναει από το 1ο στο δεύτερο δοχείο.
(Υπονοείς ότι στο πρώτο έχει ταχύτητα υ1 και στο δεύτερο ταχύτητα υ2).
Να πω τότε ότι η κινητική ενέργεια μεταβάλλεται κατά dK=1/2dm.(υ2^2-υ1^2) ;;
Αν το πω, τότε Αν Α2>Α1 (=>υ2<υ1) καταλήγω ότι μειώθηκε η κινητική ενέργεια.
Αυτό θα το πω και για το επόμενο dt. Έτσι μειώνεται συνεχώς η κινητική ενέργεια και μειώνεται συνεχώς και η δυναμική ενέργεια.
Παράδοξο ιδίως αν δεν παράγεται θερμότητα.
Την είσοδο νερού σε φαρδύ δοχείο πρέπει να την προσέχουμε.
Αυτό είναι το σημείο της διαφωνίας μας.
Θα έρθω στο δεύτερο με την παραγώγιση.