by 
Ανοικτό στην ατμόσφαιρα κυλινδρικό δοχείο ύψους Η=1m , και εμβαδού βάσης Α=0,2m2 βρίσκεται πάνω σε βάθρο ύψους h1=0.6m από το έδαφος, και είναι γεμάτο με νερό πυκνότητας ρ=1000 kg/m^3, που το θεωρούμε ιδανικό υγρό. Ανοίγουμε μια μικρή οπή εμβαδού Αο=1cm2 σε σημείο Ο, έτσι ώστε το αρχικό βεληνεκές xο να είναι το μέγιστο δυνατό . Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 .
1.Υπολογίστε τη θέση Ο (yo) της οπής και το μέγιστο αρχικό βεληνεκές xo . Καταγράφουμε σε δεδομένες χρονικές στιγμές το βεληνεκές x , και με βάση το βεληνεκές x , υπολογίζουμε την παροχή Π για κάθε χρονική στιγμή. Με τα ζεύγη τιμών χρόνου-παροχής, κάνουμε το διάγραμμα Π=f(t).
2.Υπολογίστε το βεληνεκές x1 τη χρονική στιγμή t1=200s
3.Πόση μάζα νερού βρίσκεται στον αέρα τη χρονική στιγμή t1=200s
4.Αν βάλουμε ένα ποτήρι χωρητικότητας V2=0.3L στο στόμιο της οπής τη χρονική στιγμή t2=400s ,ποια χρονική στιγμή t3 θα γεμίσει;
5.Να γράψετε μια σχέση του βεληνεκούς x σε σχέση με τον χρόνο t και να κάνετε τη γραφική παράσταση x=f(t) .
Απαντήσεις <a εδώ
Καλημέρα Υλικονετ!
Αφιερωμένη εξαιρετικά στον Γιάννη Κυριακόπουλο.
Καλημέρα Πρόδρομε.
Πολύ καλή άσκηση, στην γραμμής της “επιβραδυνόμενης κίνησης” του Γιάννη.
Μια ερώτηση.
Ο όγκος του νερού στον αέρα, δεν θα μπορούσε να υπολογιστεί από το γινόμενο ΠΔt=3∙10-4∙0,4m3=1,2∙10-4m3, αφήνοντας στην άκρη το τραπέζιο, αφού τόση ακρίβεια είναι περιττή;
Δες λίγο το αποτέλεσμα στο ερώτημα.
Καλημέρα Διονύση κι ευχαριστώ για το σχόλιο.
Η αφιέρωση στον Γιάννη Κυρ. είναι ως ελάχιστη απόδοση τιμής, μια και αυτός έχει εισάγει εδώ στο Υλικονέτ την εξάρτηση της παροχής Π από μια μικρή οπή δοχείου σε συνάρτηση του χρόνου t!
Σε λίγες μέρες θα αναρτηθεί και διαγώνισμα στο s4exams όπου έχω κάνει κάτι αντίστοιχο.
Ως προς αυτό που λες, για τη μάζα του νερού στον αέρα, έχεις δίκιο! Είναι τόσο μικρή ώστε βρίσκουμε με μεγάλη ακρίβεια την τιμή της, αν πολλαπλασιάσουμε την παροχή εκείνη τη στιγμή με το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να κινηθεί μια στοιχειώδης μάζα του νερού από την οπή έως το έδαφος, και με την πυκνότητα. Δηλαδή Δm=Π•Δt•ρ
Το έκανα με την εύρεση του όγκου του νερού μέσω του εμβαδού του τραπεζίου στο διάγραμμα Π=f(t) , για να δείξω και τον ακριβή τρόπο.
Εδώ το ύψος πτώσης είναι μικρό και το σφάλμα αμελητέο. Αν το ύψος πτώσης ή η διατομή της οπής ήταν μεγαλύτερα, τότε θα υπήρχε διαφοροποίηση..
Να είσαι καλά.
Καλημέρα Πρόδρομε.
Ζόρικο το θέμα και επιτυχώς στοχευμένη η αφιέρωσή του.
Να είσαι καλά
Καλημέρα Πρόδρομε.
Ευχαριστώ.
Την διαβάζω.
Ευχαριστώ Παντελή.
Το δικαιούται ο Γιάννης!
Είναι μια άσκηση που δεν κυκλοφορεί το πνεύμα της!
Όλα όσα κυκλοφορούν, θίγουν τη ροή από την οπή για πολύ μικρό χρονικό διάστημα, χωρίς να μελετούν την εξέλιξη του φαινομένου.
Αυτό το κενό πήγα να καλύψω!
Να είσαι πάντα καλά φίλε μου.
Εξαιρετική!
Κοίτα τώρα ένα “πρόβλημα” βαθμολόγησης που βάζεις στο ερώτημα 3:
Γράφει ένας ότι ο όγκος στον αέρα είναι ίσος με την παροχή εκείνη τη στιγμή επί τον χρόνο πτώσης. Δηλαδή ότι είναι ίσος με το γινόμενο “διατομή οπής επί βεληνεκές”.
Βγάζει νούμερο που διαφέρει στο 3ο δεκαδικό ψηφίο. Αποδεκτή απάντηση;
Γειά σου Προδρομε με τις εκροές σου. Δεν έχω διδάξει ποτέ υδροστατικη, όταν όμως βλέπω ότι μπορούμε με πειραματικά δεδομένα να κατασκευασουμε καμπύλη σε μιλιμετρε…υποκλινομαι.
Γιάννη έγραψα παραπάνω στον Διονύση ο οποίος έθεσε το ίδιο ερώτημα το εξής:Ως προς αυτό που λες, για τη μάζα του νερού στον αέρα, έχεις δίκιο! Είναι τόσο μικρή ώστε βρίσκουμε με μεγάλη ακρίβεια την τιμή της, αν πολλαπλασιάσουμε την παροχή εκείνη τη στιγμή με το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να κινηθεί μια στοιχειώδης μάζα του νερού από την οπή έως το έδαφος, και με την πυκνότητα. Δηλαδή Δm=Π•Δt•ρ
Το έκανα με την εύρεση του όγκου του νερού μέσω του εμβαδού του τραπεζίου στο διάγραμμα Π=f(t) , για να δείξω και τον ακριβή τρόπο.
Εδώ το ύψος πτώσης είναι μικρό και το σφάλμα αμελητέο. Αν το ύψος πτώσης ή η διατομή της οπής ήταν μεγαλύτερα, τότε θα υπήρχε διαφοροποίηση..
Νομίζω ότι σε καλύπτω! Στις εξετάσεις που ρωτάς, εγώ θα το έπαιρνα σωστό, εφόσον και η λύση της κεντρικής επιτροπής εξετάσεων έστελνε τέτοια λύση.
Να είσαι καλά.
Γεια σου Άρη κι ευχαριστώ.
Φυσικά και μπορούμε να πάρουμε μετρήσεις ανά τακτά χρονικά διαστήματα, αφού το άδειασμα του δοχείου των 160 λίτρων θα είναι σε 800 δευτερόλεπτα. Βλέπεις τις χρονικές στιγμές 0,100, 200,300,…,800 s τις θέσεις που πέφτει η φλέβα και σημειώνεις τις τιμές. Παρατηρείς ότι η γραφική παράσταση Π=f(t) είναι ευθεία , κι έτσι βρίσκεις και στοιχεία της ροής!
Να είσαι καλά.
Συνάδελφοι μετά τις απαντήσεις στα ερωτήματα της άσκησης,
έκανα και τη μελέτη της κίνησης που κάνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού, όπου φαίνεται η ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση που κάνει, όπως και της παροχής με το χρόνο.
Συσχέτισαν την ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση ενός σώματος με την κίνηση της ελεύθερης επιφάνειας και έγραψα τις χρονικές εξισώσεις ταχύτητας εκροής, παροχής, ύψους κλπ.
Με Λυκειακά μαθηματικά, όχι παραγώγους.
Δείτε την.
Φυσικά ο πρώτος διδάξας είναι ο Γιάννης Κυριακόπουλος, στον οποίο αφιέρωσα και την ανάρτηση.
Καλησπέρα Πρόδρομε. Μια πλήρης και υψηλού επιπέδου μελέτη για το θέμα της εκροής από δεξαμενές. Αν θυμάμαι καλά ο Γιάννης είχε γράψει τότε για θέμα που πρέπει να αποφευχθεί. Τα ερωτήματα που θέτεις όμως και με δεδομένη τη γραφική παράσταση Π-t, μπορούν να αντιμετωπιστούν από έναν υποψήφιο, αν είναι γρήγορος στις πράξεις.
Αν δεν τροφοδοτούμε με νερό μια δεξαμενή που αδειάζει – και το σχολικό βιβλίο έχει τα προβλήματα 3.30, 3.31 – αυτή είναι η εξέλιξη του φαινομένου. Η επιφάνεια κατεβαίνει με ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Άρα η μελέτη σου είναι εντός της νόμιμης ύλης. Αν δεν την έχει δει κάποιος υποψήφιος (καλός μαθητής), καλό θα ήταν να την μελετήσει γιατί “φύλαγε τα ρούχα σου…”.
Για το max βεληνεκές, παρατηρούμε ότι y0 + (H – y0 + h1) = H + h1 = σταθερό
Άρα το υπόριζο μεγιστοποιείται για y0 = H – y0 + h1 ή y0 = (H + h1)/2.
Επίσης στην εύρεση της μάζας του νερού στον αέρα, έχεις θέσει Δt = 0,002s. Ο χρόνος καθόδου είναι Δt = 0,4s και μου βγαίνει τελικά m = 0,12004kg.
Να είσαι καλά!
Καλημέρα Πρόδρομε.
Ενδελεχής η μελέτη σου. Δύσκολο να απαντήσει κανείς αν θα κοπούν ή όχι μόρια με αυτό που επισημαίνει ο Διονύσης και ο Γιάννης. Όμως μόνο και μόνο η μελέτη και οι πληροφορίες από τα διαγράμματα μόνο κακο δεν κάνουν.
Καλημέρα Ανδρέα κι ευχαριστώ για το σχόλιο και το λάθος που έκανα στην αντικατάσταση του χρόνου. Ήδη το διόρθωσα.
Επίσης για τον εναλλακτικό τρόπο εύρεσης του μέγιστου βεληνεκούς!
Να είσαι καλά.
Καλημέρα Χρήστο κι ευχαριστώ.
Φυσικά δεν θα κοπούν μόρια στην προκείμενη περίπτωση. Όλοι μας κάνουμε τις προσεγγίσεις, θεωρώντας ότι η παροχή είναι σταθερή για μικρά χρονικά διαστήματα. Στην παρούσα ,όπου θίγω τη μεταβολή της παροχής στη διάρκεια αδειάσματος του δοχείου μέχρι να φτάσει η στάθμη στην οπή, η οποία διαρκεί 800 δευτερόλεπτα για να αδειάσουν 160 λίτρα, για χρονικά διαστήματα της τάξης 0,4s , οι διαφορές προκύπτουν στο τρίτο ή τέταρτο δεκαδικό ψηφίο!!
Όμως στο ερώτημα 4 όπου θέλουμε να βρούμε το χρονικό διάστημα για να γεμίσει ένα ποτήρι 0,3 λίτρων, που είναι 45s, δεν μπορούμε να θεωρήσουμε σταθερή την παροχή!
Αυτό αναδεικνύω κυρίως , και εφιστώ την προσοχή των υποψηφίων σε παροχές που μεταβάλλονται με το χρόνο, να υπολογίζουν τον όγκο του ρευστού που εξήλθε από το δοχείο, μέσω εμβαδομέτρησης.
Πιστεύω ότι είναι χρήσιμη η ανάρτηση .
Να είσαι καλά.