by 
Στο σημείο Α ενός δακτυλίου, ακτίνας R=0,5m και μάζας m=1kg, την οποία θεωρούμε συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του, έχει στερεωθεί ένα σημειακό σφαιρίδιο της ίδιας μάζας m, δημιουργώντας ένα στερεό S. Το στερεό τοποθετείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και αφήνεται να κινηθεί από την θέση του σχήματος, όπου η ακτίνα ΟΑ σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, τη στιγμή t0=0. Τη στιγμή t1 που η ακτίνα ΟΑ γίνεται οριζόντια, το σφαιρίδιο έχει ταχύτητα μέτρου υ=2m/s.
i) Να υπολογισθούν την παραπάνω στιγμή t1:
α) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του στερεού S.
β) Η κινητική ενέργεια του σφαιριδίου
γ) Η κινητική ενέργεια του δακτυλίου.
ii) Η γωνία θ που σχηματίζει η αρχική διεύθυνση της ακτίνας, με την οριζόντια διεύθυνση.
Δίνεται ότι το κέντρο μάζας του στερεού είναι στο μέσον της ακτίνας ΟΑ και g=10m/s2.
ή
Καλημέρα Διονύση. Παρ΄όλο που φαίνεται (σε εμάς) πολύ απλή , είναι μια άσκηση που πιστεύω θα προβληματίσει τους μαθητές και θα τους διδάξει την περιστροφή στερεού χωρίς μετατόπιση ( βασικά έχουν συνηθίσει να λύνουν προβλήματα με κύλιση) και θα χειριστούν ένα σύνθετο στερεό χρησιμοποιώντας και ενέργειες. Πολύ Καλή!
Είναι πολύ καλή.
Όχι εύκολη.
Καλημέρα Διονύση, καλημέρα Γιώργο
Νομίζω ότι είναι μια ιδιαίτερα δύσκολη άσκηση που δύσκολα διδάσκεται
και ακόμα πιο δύσκολα “περνάει” στα παιδιά
Διονύση, δώσε ως δεδομένο τη θέση του ΚΜ του στερεού s
Διδακτικά, θα βοηθήσει πολύ αν σχεδιάσεις δύο ακόμα θέσεις
Μία όταν το σφαιρίδιο είναι πάνω από την οριζόντια θέση και μία
όταν είναι κάτω από την οριζόντια θέση, στις οποίες θα φαίνεται
η ταχύτητα του κέντρου του δακτυλίου
Ίσως τότε, κάτι μπορεί να περάσει
Με μοναδική θέση της ακτίνας οριζόντια δύσκολα….
Καλημέρα Θοδωρή.
Ας δούμε μαθητικότερα την άσκηση:
Η x ορμή του συστήματος διατηρείται. Επομένως την επίμαχη στιγμή οι x ταχύτητες είναι αντίθετες. Επομένως είναι μηδενικές διότι … στερεό.
Έτσι το στεφάνι μόνο περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω και η μάζα έχει ταχύτητα προς τα κάτω ίση με ω.R.
Μετά έμεινε μια διατήρηση ενέργειας:
Αν θέλουμε η ταχύτητα να είναι 2 m/s πρέπει ημθ=0,8.
Καλημέρα Γιάννη, ευχαριστώ για το σχόλιο, πριν γράφαμε μαζί
Συμφωνώ με τη λύση σου, αν και επιμένω πως είναι ιδιαίτερα υψηλής νοητικής σκέψης
Η χρήση της ΑΔΟ στο στερεό δεν είναι κάτι που έχουμε συνηθίσει, που
βάζουμε στο ξεκίνημα
Θα ήθελα τα δύο σχήματα που ζήτησα, αφού προφανώς η ορμή
στον άξονα χ είναι μηδενική κάθε στιγμή και όχι μόνο όταν η ακτίνα
είναι οριζόντια
Πιθανά κάτι παρανοώ και εγώ
Αντί σχήματος:
Γεια σας παιδιά.
Γιώργο, Γιάννη και Θοδωρή σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Θα συμφωνήσω ότι η άσκηση δεν είναι εύκολη.
Είναι μια δύσκολη άσκηση, αλλά κάποτε θα πρέπει να γίνει κατανοητό, ότι ένα θέμα μπορεί να είναι καλό, αλλά και δύσκολο, χωρίς να είναι και υπερπαραγωγή που πρέπει να εξετάζεται όλη η ύλη, σε ένα θέμα.
Θοδωρή, δεν θεωρούσα ότι το ζήτημα που θέτεις θα δημιουργούσε πρόβλημα κατανόησης, με προβλημάτισες, οπότε αν η διατήρηση της ορμής στην διεύθυνση x (η οποία στην πραγματικότητα είναι ο γενικευμένος νόμος του Νεύτωνα στην οριζόντια διεύθυνση…), ας επιστρέψουμε στα βασικά. Πρόσθεσα στην απόδειξη και το εξής:
ελπίζοντας να βοηθήσει στην κατανόηση…
Ή αλλιώς: Το στερεο μόνο περιστρέφετσι γύρο από το Ο. Έτσι η υcm θα περιστρέφεται γύρω από το Ο σε ακτίνα R/2 και όταν η ακτίνα είναι οριζόντια η υcm θα είναι κατακόρυφη με τιμή ωR/2 , όπου ω=υ/R.
Kαλησπερα Διονυση.Πολυ ωραια ασκηση και δυσκολη αλλα αυτο δεν ειναι καθολου κακο.Παντα πριν σχολιασω μια αναρτηση διαβαζω λεξη λεξη τι γραφει.
Μια παρατηρηση εχω να κανω.Η προταση:
“Το κέντρο Ο (και κέντρο μάζας) του δακτυλίου έχει μηδενική ταχύτητα, την στιγμή t1, οπότε η κίνησή του είναι στροφική”
με βαση την συνταξη της σημαινει οτι η κινηση του κεντρου ειναι στροφικη.Η κινηση του κεντρου δεν ειναι στροφικη ειναι παλινδρομικη περιοδικη.Προφανως εννοεις οτι η κνηση του δακτυλιου ειναι στροφικη.Ενταξει καταλαβαινω αλλα δεν συμφωνω με τον ορο.Τουλαχιστον να πουμε οτι η κινηση του δακτυλιου ειναι στιγμιαια στροφικη.Το ειδος της κινησης καποια χρονικη στιγμη δεν χαρακτηριζεται απο τις ταχυτητες δηλαδη απο ενα στιγμιοτυπο αλλα απο τις θεσεις ως συναρτηση του χρονου σε μια πεπερασμενη χρονικη περιοχη γυρω απο την στιγμη για την οποια συζηταμε.Ετσι η κινηση του δακτυλιου δεν ειναι στροφικη καμια χρονικη στιγμη.Ειναι συνεχως συνθετη.Και ας μηδενιζεται η ταχυτητα του κεντρου του καποιες χρονικες στιγμες. Ο μηδενισμος της ταχυτητας του κεντρου του δακτυλιου συμβαινει εξι φορες κατα την διαρκεια μιας περιοδου της κινησης του (γιατι?)
Προσομοίωση:
Γιάννη ευχαριστώ, αυτή ακριβώς η παλινδρομική κίνηση του κέντρου του δακτυλίου είναι που βοηθάει στην κατανόηση της κίνησης.
Αυτό “έβλεπα” και εγώ αλλά το γεγονός ότι και οι τρεις,
Διονύσης-Γιώργος και εσύ το παρακάμψατε ως δεδομένο
με προβλημάτισε….
Διονύση, το ΚΜ του στερεού ελάχιστα θα βοηθήσει το μέσο μαθητή, ειδικά
όταν βρίσκεται στον “αέρα”….
Ο μαθητής αντιλαμβάνεται δακτύλιο με κέντρο Ο και σφαιρίδιο στη θέση Α.
Το σφαιρίδιο έχει χ συνιστώσα ταχύτητας κάθε στιγμή, εκτός από την οριζόντια
θέση της ακτίνας. Για να μηδενική η ολική ορμή πρέπει ο δακτύλιος να έχει
αντίθετη ταχύτητα, δλδ να πηγαινοέρχεται …
Δεν είναι αυτονόητα αυτά και είναι αρκετά πιο “πάνω” νοητικά
από το στερεό που στρέφεται γύρω από άξονα ή το δίσκο που κυλίεται..
Θα επιμείνω, πως για να είναι κατανοητό το “πνεύμα” της κίνησης
πρέπει να βάλεις ως σχόλιο έστω, τις δύο θέσεις που πρότεινα
Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Ευχαριστώ Κωνσταντίνε για τον σχολιασμό.
Πρόσθεσα το “στιγμιαία” αφού συμφωνώ ότι η κίνηση του δακτυλίου δεν είναι στροφική …
Θοδωρή, νομίζω ότι το μπλέξιμο γίνεται επειδή αρνείσαι να δεις το στερεό s και την κίνησή του. Το στερεό εκτελεί την σύνθετη κίνηση που μελετάμε, το κέντρο μάζας του στερεού s έχει συνεχώς κατακόρυφη ταχύτητα, χωρίς να ασχολούμαστε με το τι κάνει το ένα τμήμα του, όπου “τμήμα του” είναι ο δακτύλιος. Κανείς δεν είπε ότι ο δακτύλιος σε κάποια θέση δεν θα έχει οριζόντια ταχύτητα, αλλά η άσκηση ασχολείται με το τι συμβαίνει σε μια συγκεκριμένη θέση και αυτή είναι η θέση που η ακτίνα ΟΑ είναι οριζόντια. Και σε αυτή την θέση (όπως και σε κάθε άλλη) η ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ δεν έχει οριζόντια συνιστώσα, ενώ προκύπτει το σφαιρίδιο να έχει κατακόρυφη ταχύτητα και το κέντρο του δακτυλίου, μηδενική. Προφανώς η κατάσταση αυτή δεν ισχύει σε κάθε άλλη θέση.
Αλλά αν θέλουμε να βγάλουμε στην επιφάνεια την κίνηση του δακτυλίου, αφού με βάση αυτόν σκεφτόμαστε, τότε ναι, θα πρέπει να ειπωθούν και όλα αυτά και να σχεδιαστούν και οι δύο άλλες θέσεις…
Οπότε …πρόσθεσα και σχόλιο ασχολούμενος με τις ταχύτητες του δακτυλίου στις θέσεις που αναφέρεις, για να μην μείνει καμιά αμφιβολία.
Κωνσταντίνε Καλησπέρα. Θα ήθελα να μου εξηγήσεις αυτό:”Ο μηδενισμος της ταχυτητας του κεντρου του δακτυλιου συμβαινει εξι φορες κατα την διαρκεια μιας περιοδου της κινησης του” . Αυτό που καταλαβαίνω από την εκφώνηση της άσκησης ότι το κέντρο Ο του δακτυλίου θα είναι συνεχώς ακίνητο το δε στερεό θα κάνει παλινδρομική κίνηση (στροφική ταλάντωση) γύρω από το Ο.
Διονύση από που βγαίνει αυτό που λες: “Κανείς δεν είπε ότι ο δακτύλιος σε κάποια θέση δεν θα έχει οριζόντια ταχύτητα” , αφου ΣFx= 0 , συνεχώς ;