by 
Σε πρόσφατη Προσομοίωση Πανελλαδικής Εξέτασης στη Φυσική που έδωσα στους μαθητές μου, η οποία η υπάρχει εδώ, περιλαμβανόταν και το εξής ερώτημα:
Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να αποδείξετε ότι η δυναμική ενέργεια, U, του
συστήματος είναι:
U =1/2 D x^2
όπου D είναι η σταθερά επαναφοράς και x η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του.
Στο συγκεκριμένο Θέμα δόθηκε και η εξής απάντηση:
Είναι σωστή αυτή η απάντηση;
Καλημερα Βαγγελη.Αφου εχει διαστασεις ενεργειας τι λες να ειναι?Εγω οταν ανοιγω ενα μπουκαλι που δεν ξερω τι εχει μεσα και μυριζει τσιπουρο,πινω αφοβα. 🙂
Ανδρέα με την παραδοχή ότι στην θέση ισοροπίας η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν (ως έργο από την θέση ισορροπίας στην θέση ισορροπίας), η ολική ενέργεια είναι ίση με την Kmax. Δηλαδή ίση με την 1/2m.Vmax.Vmax=1/2D.A^2.
ε, ναι, νομίζω ο Γιάννης σωστά γράφει
τσίπουρο;
κι εγώ και με χαρά μεγάλη…
Καλημέρα Βαγγέλη.
Διαστάσεις ενέργειας έχει το έργο (που δεν είναι πάντοτε δυναμική ενέργεια), το ψευδοέργο (που δεν είναι καν έργο), η ποσότητα 1/2 m.Vcm.Vcm (που δεν είναι πάντοτε κινητική ενέργεια.
Από πού προέρχονται Γιάννη αυτές οι παραδοχές;
Για θεωρία μιλάμε και όχι για επίλυση ενός προβλήματος.
Πρώτα ορίζουμε και υπολογίζουμε την δυναμική ενέργεια και στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι το άθροισμα Κ+U παραμένει σταθερό…
Γειά σου Διονύση.
Οι παραδοχές έχουν γίνει όταν θεμελιώνεται η δυναμική ενέργεια.
Έτσι ορίσαμε ως θέση αναφοράς την θέση ισορροπίας, δηλαδή αυθαίρετα (και ορθώς) δεχόμαστε ότι στην θέση αυτήν η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν. Θα μπορούσαμε να δεχτούμε ότι είναι C.
Δεχόμενοι αυτήν την παραδοχή υπολογίζουμε το έργο από την θέση x στην θέση αυτήν και το βγάζουμε με εμβαδόν ίσο προς 1/2D.x^2.
Εναλλακτικά, λέμε ότι στην θέση αναφοράς (θέση ισορροπίας) η ενέργειά του είναι μόνο κινητική (δεχτήκαμε αυθαίρετα μηδενική την δυναμική). Έτσι η ολική ενέργεια είναι ίση με την κινητική ενέργεια στη θέση αυτήν, ήτοι τη μέγιστη κινητική (μέγιστη ταχύτητα από τις εξισώσεις κινησης). Έτσι:
Ε=Κmax=1/2m.Vmax.Vmax=1/2D.A^2.
Βαγγέλη, τώρα είδα το ερώτημα που μου απευθύνεις.
Την απάντηση στην έδωσε ο Γιάννης.
Αλλά επειδή βλέπω να επιστρέφουμε ξανά στο ίδιο θέμα, ας ξαναβάλω και γω την ίδια απάντηση:
Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ισχύει η εξίσωση:
Είναι ο δεύτερος προσθετέος δυναμική ενέργεια ή το δεύτερο μέλος ενέργεια κάποιας ταλάντωσης;
Η θέση μου δόθηκε χθες….
Γιάννη γράφεις:
“Οι παραδοχές έχουν γίνει όταν θεμελιώνεται η δυναμική ενέργεια.
Έτσι ορίσαμε ως θέση αναφοράς την θέση ισορροπίας, δηλαδή αυθαίρετα (και ορθώς) δεχόμαστε ότι στην θέση αυτήν η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν. Θα μπορούσαμε να δεχτούμε ότι είναι C.
Δεχόμενοι αυτήν την παραδοχή υπολογίζουμε το έργο από την θέση x στην θέση αυτήν και το βγάζουμε με εμβαδόν ίσο προς 1/2D.x^2.”
Αυτές οι παραδοχές Γιάννη, είναι μέρος της αποδεικτικής διαδικασίας, για να εισαχθεί η δυναμική ενέργεια στην ταλάντωση και να οδηγηθούμε στην συνέχεια στην μαθηματική απόδειξη του υπολογισμού της.
Από όλα αυτά τι ακριβώς έχει γράψει ο μαθητής;
Κανω άλλη παραδοχή, ότι στη Θ.Ι. είναι C η δυναμική ενέργεια:
Δεν γράφει όλα αυτά και βλέπεις ότι χαρακτήρισα ελλιπή τη λύση του.
Το βασικό είναι να κάνει ένα από τα δύο πράγματα που δεν έκανε:
Γενικά μιλώντας, οι αποδείξεις θέλουν προσοχή ώστε να μην είναι κυκλικές.
Κυκλικές αποδείξεις:
Οι αποδείξεις που έγραψα δεν έχουν κανενός είδους κυκλικότητα και αποφεύγουν (σκόπιμα) το εμβαδόν. Φυσικά το εμβαδόν δίδασκα διότι προσφέρει γνώση και καλλιέργεια στους μαθητές που θα το αναπαράξουν. Όμως η προσωπική μου στάση και επιλογή δεν είναι το θέμα μας.
Δεν είπα Γιάννη να αλλάξεις τις παραδοχές!
Αυτές κάνουμε…
Απλά πρέπει να τις κάνει και ο μαθητής που καλείται να απαντήσει στο ερώτημα του Ανδρέα.
Γραφαμε μαζί. Σε προηγούμενο σχόλιο αναφέρω παλιότερο σχόλιο στο οποίο χακτηρίζω τη λύση ελλιπή. Ελλιπή όμως, όχι κυκλική.
Μια κυκλική απόδειξη πρέπει να μηδενισθεί.
Επειδή Διονύση σε ενδιαφέρει το “διά ταύτα” , ας δώσουμε και μια συβουλή σε μαθητές:
-Πρέπει να καταλαβαίνετε όσο γίνεται φυσικά, τι θέλει ένας από σας όταν ζητάει μια απόδειξη από τη θεωρία. Εδώ θέλει να δει αν ξέρετε τι είναι η δυναμικη ενέργεια και πως υπολογίζεται το έργο μεταβλητής δύναμης. Αδιαφορεί παγερά για το αν μάθατε συνταγες επίλυσης ασκήσεων. Επίσης αδιαφορεί και για το ποιος είναι ο τύπος της δυναμικής ενέργειας.
Ο μαθητές μετά την Αρσένειο μεταρύθμιση έχουν γίνει “χρήστες”. Χρήστες Μαθηματικών και όχι γνώστες των αποδείξεων. Χρήστες τεχνικών στην επίλυση ασκήσεων Φυσικής αλλά όχι γνώστες.
Κάποιοι ξέρουν ότι το εμβαδόν του υ-t είναι η μετατόπιιση αλλά δεν μπορούν να το αποδείξουν. Ξέρουν ότι το εμβαδόν F-x είναι έργο αλλα απόδειξη δεν μπορούν να κάνουν.
Γιάννη αφου ειμαστε στο καφενειο μας και συζηταμε,δεν συμφωνω ουτε διαφωνω απολυτα.Η αποδειξη δεν ζητειται ουτε για να δουμε αν ο μαθητης ξερει τι ειναι η δυναμικη ενεργεια ουτε για να δουμε αν ξερει τι ειναι κινητικη ενεργεια,ουτε για να δουμε αν γνωριζει το θρωρημα μεταβολης κινητικης ενεργειας.Ολα αυτα ειναι γνωστα απο την Α Λυκειου.Ουτε πρεπει κατ αναγκην να δικαιολογει ολες τις λεπτομερειες της αποδειξης.Η αποδειξη ζητειται για να δουμε αν μπορει να κατασκευασει με το μυαλο του μια αλληλουχια συνεπαγωγων,μια λογικη σειρα σκεψεων που θα τον οδηγησει σε ενα συμπερασμα.Αν σπουδαζες Μαθηματικα και σου ελεγαν να αποδειξεις την απειρια των πρωτων αριθμων δεν θα στο ελεγαν για να δουν αν ξερεις τον ορισμο του πρωτου αριθμου αλλα για να δουν αν το μυαλο παιρνει στροφες να στο πω πιο απλα.Αν μια αποδειξη περιεχεται στο βιβλιο του μαθητη τοτε ο εξεταστης βλεπει αν ο μαθητης την εχει διαβασει.Αν δεν περιεχεται,τοτε βλεπει αν ο μαθητης μπορει να την κατασκευασει μονος του.
Εδω τι εχουμε? Μια ΑΑΤ εξ υποθεσεως.Αρα η δυναμη ειναι συντηρητικη και υπαρχει δυναμικη ενεργεια με βαση την λογικη των περισσοτερων εδω.
Ή υπαρχει δυναμικη ενεργεια επειδη το λεει το σχολικο. Δεν μας ενδιαφερει αυτο.Εξηγησα στην αρχικη μου απαντηση προς τον Ανδρεα περι αρχικων υποθεσεων,
Ο Μαθητης εχει αποδειξει οτι (1/2)mυυ+(1/2)Dxx=σταθερο.
Αρα η συναρτηση U(x)=(1/2)Dxx ειναι μια καταληλη συναρτηση δυναμικης ενεργειας αρα ειναι η δυναμικη ενεργεια. Σωστο?
Βεβαιως ειναι σωστο.
Γιατι?
Διοτι απο την προηγουμενη εξισωση προκυπτει
Δ( (1/2)mυυ)=-Δ((1/2)Dxx) .Αρα με βαση το ΘΜΚΕ εχουμε
Wtot.=-Δ((1/2)Dxx) αρα η συναρτηση
U(x)=(1/2)Dxx ειναι η συναρτηση δυναμικης ενεργειας διοτι ειναι συναρτηση θεσεως και εχει την ιδιοτητα η απολυτη τιμη της μεταβολης της να ισουται με το ολικο εργο.
Τιποτα αλλο δεν χρειαζεται να γραψει.
Αυτο το τελευταιο βημα το οποιο βεβαια ειναι αρκετα σημαντικο για να ειναι δεμενη η αποδειξη,εχει ξεχασει να το γραψει και απο εκει θα μπορουσες να κοψεις κατι.Για αυτον τον λογο ουτε εγω θα εβαζα αριστα.Κατι θα εκοβα.
Απ οτι βλεπεις τελικα αν ενας καθηγητης δεν εχει παρει ως μασημενη τροφη το πως ακριβως θα βαθμολογησει,τοτε οι εξετασεις ειναι ρωσικη ρουλετα διοτι το στοιχειο της υποκειμενικοτητας κυριαρχει.10 καθηγητες θα βαλουν και οι 10 διαφορετικο βαθμο.Για αυτο ισως υπαρχει ενα θετικο στην επιλογη αυτων των ξενερωτων ασκησεων με τα πολλα διαδοχικα ερωτηματα που μπαινουν.Ποιο ειναι το θετικο? Οτι ετσι τυποποιειται σε μεγιστο βαθμο η βαθμολογηση του γραπτου.Εχω παει σε βαθμολογικα και ξερω.Αν εμπαινε ενα θεμα καταπληκτικο απο αυτα τα δικα σου που μας εχεις δειξει και σε εχω παραδεχτει,θα επρεπε εσυ ο ιδιος να βαθμολογησεις τα γραπτα ολης της Ελλαδας.Διαφορετικα θα γινοταν τετοιο αλαλουμ στην βαθμολογηση,που δεν θα ειχε προηγουμενο.