Νόμος του Faraday στο στρεφόμενο δίσκο (Απορία)

Καλημέρα σε όλους,
 
Ανέβασα το πιο πάνω σαν εισαγωγικό παράδειγμα για να σχολιάσω το ερώτημα του Μίλτου «πού είναι η μεταβολή της ροής».
 
Βαγγέλη υπολόγισες Εεπ=0
Υποθέτω ότι δεν πρόσεξες πως το πλαίσιο – κούνια στρέφεται γύρω από άξονα που περνάει από την πάνω πλευρά (κι όχι από τα μέσα των κατακόρυφων πλευρών), γι’ αυτό και μιλάς για «2 κινούμενες πλευρές μήκους α» που σε καθεμιά αναπτύσσεται ΗΕΔ Εεπ=Β(ωc/2)α.
(Γιατί όμως τις αφαιρείς; Ένα τέτοιο στρεφόμενο πλαίσιο δεν είναι μια γεννήτρια εναλλασσομένης τάσης;)
Χρησιμοποίησες λοιπόν τις δυνάμεις Lorentz. Δεδομένου ότι το πλαίσιο στρέφεται γύρω από την επάνω πλευρά, αναπτύσσεται ΗΕΔ μόνο στην κάτω και είναι Εεπ=Β(ωc)α.
Γράφεις όμως ότι η Φ παραμένει συνεχώς μηδέν. Πώς προκύπτει αυτό; Εφόσον τα πλαίσιο στρέφεται, δεν μεταβάλλεται η Φ;
 
Αυτό ακριβώς παρατήρησε κι ο Διονύσης πιο κάτω, ότι μπορεί εκείνη τη στιγμή η Φ να είναι μηδέν, αλλά ο ρυθμός μεταβολής της είναι μη μηδενικός.
 
Γιάννη γράφεις ότι λύνεται με διάφορους τρόπους:
«Ο ένας με τη ροή που περνάει από το πλαίσιο.
Ο άλλος με τις γραμμές που κόβει (σα δρεπάνι) η κάτω πλευρά.»
 
Αυτό ακριβώς είναι και το ερώτημα που θέτει ο Μίλτος με το δίσκο του Faraday: «Πού συμβαίνει η μεταβολή της ροής;»
 
Περιγράφεις Γιάννη δύο τρόπους που φαίνονται διαφορετικοί. Μήπως όμως πρόκειται τελικά για … έναν τρόπο; Και συγκεκριμένα … για μεταβολή επιφάνειας;
 
Εξηγούμαι:
Καθώς στρέφεται το πλαίσιο, στρέφεται μαζί και το διάνυσμα Α της επιφάνειας. Κοιτώντας το από το πλάι, σε dt το πλαίσιο έχει στραφεί κατά γωνία dθ και το ίδιο και το διάνυσμα της επιφάνειας Α:

Αυτό σημαίνει όμως ότι το διάνυσμα της επιφάνειας μεταβλήθηκε κατακόρυφα κατά dΑ, με |dΑ| = |A|∙dθ = α∙c∙dθ.
Μα το c∙dθ = dx είναι η μετατόπιση της κάτω πλευράς στο χρόνο dt.
Επομένως το dΑ (με |dΑ| = α∙dx) είναι ακριβώς η επιφάνεια που σάρωσε η κάτω πλευρά «κόβοντας τις γραμμές σαν δρεπάνι»!
Δείτε και το πιο κάτω σχήμα:

Με άλλα λόγια, στην περίπτωση της «κινητικής» ΗΕΔ, η μεταβολή της ροής εμφανίζεται στις επιφάνειες που διατρέχουν (σαρώνουν) τα κινούμενα τμήματα του βρόχου (όποιος κι αν είναι αυτός) και η ΗΕΔ αναπτύσσεται μόνο πάνω σ’ αυτά τα τμήματα.
Έτσι και στην περίπτωση του δίσκου του Faraday. Ο βρόχος πρέπει να περιλαμβάνει μια διαδρομή δ επί του δίσκου (όχι απαραίτητα ακτίνα) που να συνδέει το κέντρο με το σημείο επαφής της ψύκτρας.
Αυτή η διαδρομή στρέφεται με ω, είναι δηλαδή κινούμενο τμήμα του βρόχου και η επιφάνεια που σαρώνει σε dt προκαλεί τη μεταβολή της ροής dΦ.

Καλημέρα σε όλους,
 
Σας ευχαριστώ για τα σχόλιά σας.
 
Κωνσταντίνε, έχεις δίκιο, αν αναζητήσουμε την αιτία που δημιουργεί την ΗΕΔ από επαγωγή, προφανώς είναι οι δυνάμεις που ασκούνται στα ηλεκτρόνια, F=q(E+υxΒ).
Το ερώτημα όμως είναι αν μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον νόμο του Faraday (ή, αν θέλεις, τον «κανόνα της ροής») σε κάθε περίπτωση για τον υπολογισμό της Εεπ.
Πιστεύω η απάντηση είναι «ναι», παρόλο που έχουν επισημανθεί στην κλασσική θεωρία «εξαιρέσεις στον κανόνα της ροής» και μια από αυτές είναι και ο δίσκος του Faraday.
 
Θα προτιμούσα τη διατύπωση «δεν είναι εμφανής η εφαρμογή του κανόνα» κι όχι ότι πρόκειται για εξαίρεση.
 
Ας ξεκινήσουμε όμως από το πρώτο ζήτημα που θέτεις.
 
Γράφεις:
«Η ΗΕΔ κατά μήκος μιας κλειστής καμπύλης ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής μέσα από κάθε επιφάνεια που έχει ως όριο την καμπύλη»
Συμφωνούμε, και η Φ μέσα από αυτή την επιφάνεια είναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα Φ = ∫Β∙dA.
 
Αν το B είναι σταθερό, με ποιο τρόπο μπορεί να εμφανίσει ρυθμό μεταβολής η Φ; Η dΦ σε χρόνο dt δεν θα προέλθει από τη μεταβολή dA της επιφάνειας της καμπύλης;
Η μεταβολή dA δεν προκαλείται από την κίνηση των ορίων της καμπύλης, δηλαδή από την κίνηση των όποιων τμημάτων του αγώγιμου βρόχου;
Αυτή η dA δεν είναι η επιφάνεια που διαγράφουν τα κινούμενα τμήματα;
 
Την κούνια ΖΚΛΜ πιο πάνω τη χρησιμοποίησα απλά ως ένα παράδειγμα.
 

Η μεταβολή της επιφάνειας προέρχεται και από τις τρεις κινούμενες πλευρές και είναι:

dA₁ + dA₂ + dA = dA

 
Ο ρυθμός μεταβολής ροής στο αριστερό σχήμα είναι:
 

dΦ/dt = B∙dA/dt = B∙dA/dt

 
Αν στρέψουμε το πεδίο ώστε να γίνει παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής (δεξιό σχήμα), τότε:
 

dΦ/dt = B∙dA₁/dt + B∙dA₂/dt = – B∙dA₁/dt + B∙dA₂/dt = 0

 
(αφού dA₁ = dA₂. Θα είχαμε όμως εμφάνιση ίσων ΗΕΔ στις πλευρές ΚΛ και ΖΜ, με τους θετικούς πόλους επάνω).
 
Για τον δίσκο του Faraday τώρα, ας κάνουμε το εξής:
Ας τον αντικαταστήσουμε προσωρινά με κάποια από τις πιο κάτω αγώγιμες κατασκευές:

Ας χρησιμοποιήσουμε π.χ. μια αγώγιμη στεφάνη με δύο αγώγιμα τμήματα ΚΖ και ΚΘ. Αν συνδέσουμε αντιστάτη R μεταξύ του κέντρου Κ και τις ψύκτρας Ψ, τότε δημιουργούνται δύο αγώγιμοι βρόχοι:
Ο ΚΖΨΓΔΚ με κινητή πλευρά την ΚΖ,
και ο ΚΘΨΓΔΚ με κινητή πλευρά την ΚΘ.

Και στους δύο αυτούς βρόχους, η μεταβολή ροής προέρχεται από την επιφάνεια που διατρέχει η κινητή πλευρά, το εμβαδό της οποίας (ανεξάρτητα από το σχήμα της πλευράς αυτής), για στροφή dθ είναι ίσο με το εμβαδό ενός κυκλικού τομέα επίκεντρης γωνίας dθ.
Στα τμήματα ΚΖ και ΚΘ αναπτύσσονται επομένως ίσες ΗΕΔ, με τον αρνητικό πόλο στο Κ.
Ο αντιστάτης R τροφοδοτείται επομένως από δύο ίσες ΗΕΔ συνδεδεμένες παράλληλα.

Ας επανέλθουμε τώρα στο δίσκο του Faraday.
 
Σε τι διαφέρει από την προηγούμενη κατασκευή;
Από το κέντρο Κ μέχρι την ψήκτρα Ψ υπάρχουν τώρα άπειρες αγώγιμες διαδρομές κι όχι μόνο δύο.
 
Είναι δυνατό να λέμε ότι τώρα «δεν υπάρχει βρόχος»;
Από πού περνάει τότε το ρεύμα;
Απλά δεν υπάρχει μόνο ένας βρόχος αλλά άπειροι.
 
Οποιοσδήποτε όμως από αυτούς συμπεριλαμβάνει ένα αγώγιμο κινούμενο τμήμα από το Κ μέχρι την περιφέρεια.
 
Το τμήμα αυτό (ανεξάρτητα από το σχήμα του) σε dt θα έχει διαγράψει επιφάνεια dA = ½∙α²∙dθ (όπου α η ακτίνα του δίσκου) και η ΗΕΔ προκύπτει:
Εεπ = dΦ/dt = B∙dA/dt = ½∙B∙α²∙ω.