by 
Στο Θέμα Γ΄ των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2023, ζητάμε 3 ρυθμούς μεταβολής:
Ένας με «Δέλτα», δύο με «Ντε».
Διορθώνοντας γραπτά μαθητών Υγείας, παρατήρησα μεγάλη αποτυχία σε αυτό το θέμα.
Είναι ίδια η γνώση όμως των μαθητών Υγείας με τους μαθητές Θετικών, στα Μαθηματικά;
Μήπως οι ρυθμοί έχουν γίνει κατανοητοί σε προηγούμενες τάξεις και δεν υπάρχει δικαιολογία;
Ευχαριστώ Δημήτρη.
Κωσταντίνε σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή. Το πνεύμα της ανάρτησης δεν αφορά ορισμό του d ή του Δ, αλλά μιας και το έθεσες, παρατηρώ ότι ανέβασες ένα σχήμα λάθος. Η τέμνουσα έχει δυο σημεία πάνω στη γραφική παράσταση και καθώς το x τείνει στο x0, παίρνει την οριακή θέση της εφαπτόμενης ε. Το dx είναι απειροστά μικρό.
Από το σχολικό βιβλίο
Επίσης έχεις γράψει επανειλημμένα για την αξία των ορισμών. Ποιος είναι ο ορισμός του ρυθμού μεταβολής;
Που ειναι το λαθος σε οτι εχω γραψει ή σχεδιασει? Δεν υπαρχει λαθος. Το διαφορικο dx στον διαφορικο λογισμο εξ ορισμου ισουται με το Δx και δεν υπαρχει κανενας λογος να ειναι μικρο.Την σειρα θεμελιωσης την εγραψα πιο πανω.
Η αντιληψη οτι το dx ή το dt στον συμβολισμο της παραγωγου ειναι απειροστες ποσοτητες ειναι διαδεδομενη μεν οχι σωστη δε.(πολυ κακως,κάκιστα).Οπως ενας Φυσικος ξερει οτι θετικη ενεργεια που εκπεμπει ενας ανθρωπος δεν υπαρχει,και ας λεγεται απο πολλους,ετσι και ενας μαθηματικος ξερει οτι το να λεμε “εφτασα σε χρονο dt” θεωρωντας το διαφορικο dt μικρο,ειναι λαθος και ας λεγεται απο πολλους. Το οτι οταν θελω να ολοκληρωσω θεωρω μια απειροστη ποσοτητα dx ειναι κατι τελειως
διαφορετικο.
Το παράδειγμα είναι καλό. Δεν σε παρεξηγώ Γιώργο. Προσωπικά δεν έχω πρόβλημα να μάθω (και έχω μάθει) από νέο συνάδελφο. Η διαφορετική οπτική είναι σημαντική.
Σε ένα δεδομένο θέμα (η έννοια της παραγώγου στη περίπτωση μας) δεν είναι πολλά τα παραδείγματα που μπορούν να βοηθήσουν.
Η ανταλλαγή απόψεων είναι απαραίτητη στη δουλειά μας.
Κωνστατίνε θα περίμενα να σχολίαζες την ουσία του άρθρου, που είναι προφανές ότι δεν αναφέρεται στον ορισμό της παραγώγου. Παρόλα αυτά απάντησα – και μετά από συζήτηση με τους Μαθηματικούς του σχολείου μου – με το αντίστοιχο σχήμα του σχολικού βιβλίου, που δείχνει πώς από το πηλίκο Δy/Δx φτάνουμε στο όριό του dy/dx.
Στο σχήμα που σχεδίασες έχεις φτιάξει ένα τεράστιο dy που προφανώς δεν είναι απειροστό, είναι λίγο μικρότερο από το Δy.
Στο σχήμα α που σου παρέθεσα βλέπουμε το κλάσμα Δy/Δx, που περιλαμβάνει πεπερασμένες ποσότητες αφού απαιτεί 2 σημεία Α και Μ – και τα δύο πάνω στην καμπύλη – για να υπολογιστεί. Στη συνέχεια το δεύτερο σημείο Μ κινείται πάνω στην καμπύλη και όσο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ μικραίνει, το πηλίκο Δy/Δx τείνει στην τιμή της παραγώγου f΄(xo). Το ευθύγραμμο τμήμα τείνει να γίνει εφαπτόμενο, το όριο του πηλίκου συμβολίζεται πλέον με dy/dx και είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο xo, ενώ όπως μου επιβεβαίωσαν και οι Μαθηματικοί του σχολείου μου τα dx, dy θεωρούνται απειροστά μικρά. Ο Γιάννης έγραψε “Το dt είναι μικρότερο απ’ ότι και να μου πεις, εκτός από το μηδέν.”
Εσύ έφερες ήδη την εφαπτόμενη και προφανέστατα τότε έχει κλίση ίση με την παράγωγο, όπου και αν φτιάξεις τρίγωνο, ακόμα κι αν ονομάσεις Νικολάκη την απέναντι και Γιωργάκη την προσκείμενη κάθετο.
Στη συνέχεια έγραψες “Στο σχολικο επιπεδο ειτε γραψουμε Ντε ειτε γραψουμε Δελτα ειναι το ιδιο διοτι οι συναρτησεις συνηθως εχουν σταθερους ρυθμους μεταβολης.”
Όμως στο βιβλίο υπάρχει η Φ = ΝωΒΑ ημ(ωt). Η εναλ/νη τάση προκύπτει από κάποιο ΔΦ/Δt;
Και αν διάβασες το άρθρο, θα είδες και άλλα παραδείγματα – ένα από αυτά στην Α΄Λυκείου.
Το “συνήθως” δεν είναι επιχείρημα και ακριβώς το αντίθετο θέλησα να δείξω με την ανάρτηση.
Ανδρεα η παραγωγος ειναι η κλιση της εφαπτομενης η οποια εξ ορισμου ισουται με την κλιση της καμπυλης στο σημειο επαφης.Αυτη την εφαπτομενη εχω σχεδιασει.Η εξισωση dy=f'(x)dx ειναι απολυτα ακριβης χωρις να χρειαζεται το dx να ειναι απειροστο. Το οριο του πηλικου Δy/Δx οταν το Δx τεινει στο μηδεν,ειναι το dy/dx.Aυτο σου ειπαν οι μαθηματικοι στο σχολειο.Αυτο ομως δεν σημαινει οτι τα διαφορικα dy , dx ειναι απειροστες ποσοτητες.Ειτε μικρα ειναι ειτε μεγαλα το πηλικο τους ειναι το ιδιο.Αυτο φαινεται πολυ καλα στο σχημα που εχω σχεδιασει. Η σχεση f'(x)=Δy/Δx ειναι προσεγγιστικη και πρεπει να γραφει ως οριο για να ειναι ακριβης.Η σχεση f'(x)=dy/dx δεν ειναι προσεγγιστικη.Ειναι απολυτα ακριβης που σημαινει οτι για να ισχυει δεν ειναι απαραιτητο τα dy , dx να ειναι μικρα.Αυτα λενε τα Μαθηματικα.
Καλημέρα παιδιά.
Εκλαμβάνω ως θέμα της συζήτησης το πως θα παρουσιαστεί το ντε για πρώτη φορά.
Μου αρέσει αυτό να γίνεται “λειτουργικά”:
-Μπορείς να μετρήσεις με καλή ακρίβεια την ταχύτητα τη στιγμή 1s χωρίς μετρητή ταχύτητας;
Μια ιδέα:
Εδώ, με ακρίβεια 200, κάνουν ένα κλικ (η μικρότερη αύξηση χρόνου) και η μεταβολή είναι 0,005 s.
Θα μπορούσαν να βάλουν ακρίβεια 1.000, οπότε:
Τ’ωρα η αύξηση είναι 0,001s (πέντε φορές μικρότερη).
Γίνεται κατανοητό ότι “η μικρότητα” της αύξησης είναι όση θέλουμε.
Ας προσεχθεί ότι οι δύο ακρίβειες δίνουν ίδια ταχύτητα με προσέγγιση 3ου δεκαδικού ψηφίου.Ταχύτητα 10 m/s. Αν όμως η μεταβολή χρόνου ήταν μεγαλύτερη:
Τώρα η ταχύτητα βγαίνει 1,1 m/s.
Η μέτρηση είναι χειρότερη.
Γιαννη συμφωνω οτι το θεμα της αναρτησης ειχε να κανει με τροπους παρουσιασης σε μαθητες. Ομως αναγκαια συνθηκη για να γινει αυτο σωστα ειναι να γνωριζουμε εμεις την σωστη εικονα.Για αυτο εγραψα περι διαφορικων dx,dy.H φραση οτι μονο οταν η μεταβολη Δx ειναι πολυ μικρη,μπορουμε να την γραψουμε dx ειναι λαθος τι να κανουμε? Τωρα αν ενας καθηγητης κρινει σκοπιμο στην ταξη του σε εισαγωγικο επιπεδο να το παρουσιασει ετσι,δεν θα διαφωνησω αλλα πρεπει να ξερει τι λεει και γιατι το λεει. Οποιος παει θετικη σε λιγο καιρο θα τα μαθει σωστα.
Κωνσταντίνε καλό είναι φυσικά να έχουμε κατα νου τον ορισμό του διαφορικού. και όχι μόνο αυτό αλλά όλα τα Μαθηματικά.
Η παρουσίαση σε πρώτο επίπεδο πρέπει να γίνει όσο πιο απλά μπορούμε.
Συμφωνω Γιάννη.
Γιάννη,επειδή με τους προσομειωτές δεν τα πάω καλά,επίτρεψέ μου να σού πω τί λέω στα παιδιά της Α’ Λυκείου,στην εισαγωγή,την 1η-2η εβδομάδα τού Σεπτεμβρίου,ακολουθώντας το σχολικό βιβλίο,που αναφέρει τον ρυθμό μεταβολής,χωρίς να κάνει διάκριση σε μέσο και στιγμιαίο και πίστεψέ με ,εκ τού αποτελέσματος,το καταλαβαίνουν απολύτως…Η σχέση u=Δx/Δt δίνει την αλγεβρική τιμή της μέσης ταχύτητας τού κινητού,στην διάρκεια τού <μεγάλου>-μετρήσιμου χρονικού διαστήματος Δt,δηλ.την σταθερή ταχύτητα που θα έπρεπε να είχε το κινητό ,ώστε να επιτύχει την ίδια μετατόπιση Δx στον ίδιο χρόνο Δt.Οσο μικραίνουμε το χρονικό διάστημα,βρίσκουμε την uμ σ’αυτό το μικρότερο διάστημα και όταν το Δt γίνει απειροστά μικρό dt δηλ.όταν το Δt τείνει στο μηδέν,τότε η uμ δίνει την στιγμιαία ταχύτητα,τότε δηλ.εκείνη τη στιγμή…..πχ άν to=4,99999s και t=5,00001s τότε στην <διάρκεια> τού Δt=0,00002s, που είναι απειροστά μικρό,μη μετρήσιμο,η σχέση u=dx/dt δίνει την στιγμιαία ταχύτητα τη στιγμή t=5s.
Γεια σου Γιώργο. Μια χαρά κάνεις.
Λέω επίσης ανάλογα. Χρησιμοποιώ επί πλέον την παρουσίαση:
Στιγμιαία ταχύτητα. (Σήμερα θα την έγραφα καλύτερα απ’ ότι το 1999).
Πρέπει να την κατεβάσουμε για να παίξει σε κατάσταση προβολής. Διαφορετικά δεν βγάζει νόημα.
Η προβολή της (με τη συζήτηση) διαρκεί περισσότερο από μία ώρα.
Χρησιμοποιώ την προσομοίωση στιγμιότυπα της οποία έστειλα. Με τη χρήση της υπολογίζουμε τη μέση ταχύτητα από 1s ως 2 s, από 1s ως 1,2s … από 1s ως 1,005s.
Οι τιμές όλο και πλησιάζουν (τη γνωστή από τον κρυμμένο μετρητή) τιμή των 10 m/s.
Γεια σου Γιωργο.Αυτη η μεθοδος που εφαρμοζεις δεν ειναι κακή.Κατα την γνωμη μου το πιο σημαντικο ειναι η αντιληψη του μαθητη οτι οταν διαλεγεις αλλο Δt βρισκεις αλλη ταχυτητα
και οσο πιο μικρο γινεται το Δt τοσιο πιο κοντα εισαι στην σωστη ταχυτητα. Κατα την γνωμη μου δεν χρειαζεται dt. Το dx/dt μπορει να περιγραφει και ως ενα συμπαγες συμβολο που σημαινει ρυθμο μεταβολης και οχι πηλικο δυο ποσοτητων.Ολα τα κενα στα Μαθηματικα μπαλωνονται οταν ερθει η ωρα,οπως εγινε και με εμας και οπως γινεται και με ολους.Παντως το οτι το dt παριστανει ενα πολυ μικρο Δt.δεν ειναι σωστο.ασχετως με το αν διδακτικα μπορει αρχικα να ειπωθει. Το dt ισουται παντα με το Δt ειτε ειναι μικρο ειτε ειναι μεγαλο,και αυτο πρεπει να το ξερουμε εμεις που διδασκουμε,ασχετα με την μεθοδο που εφαρμοζουμε για να μιλησουμε για πρωτη φορα στα παιδια για μεγεθη που ειναι ρυθμοι μεταβολης αλλων μεγεθων.
Καλησπέρα Γιώργο.
Επειδή την ίδια λογική ακολουθούσα και γω στην Α΄τάξη, να συμπληρώσω κάτι.
Όταν μιλάμε για “μεγάλο” χρονικό διάστημα, στη διάρκειά του μπορεί η ταχύτητα να αλλάξει. Αν αρχίσουμε να μειώνουμε το χρονικό διάστημα μέτρησης, η αλλαγή της ταχύτητας θα είναι όλο και μικρότερη, οπότε αν πάμε σε Δt=0,00000002s μπορούμε να είμαστε σχεδόν βέβαιοι, ότι η ταχύτητα δεν προλαβαίνει να μεταβληθεί. Αυτή την μέση ταχύτητα ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα την στιγμή to…