by 
Αλτήρας που αποτελείται από λεπτή ράβδο αμελητέας μάζας, μήκους l=0,25m και έχει στερεωμένα στα άκρα του δύο όμοια σφαιρίδια Σ1 και Σ2 αμελητέας ακτίνας και μάζας m=0,2Kg παραμένει ακίνητος σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Σφαιρίδιο Σ3 όμοιο με τα Σ1 και Σ2 που κινείται πάνω στο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ0= 10m/s που η διεύθυνσή της είναι κάθετη στη ράβδο του αλτήρα (σχ.1) , συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σφαιρίδιο Σ1 τη στιγμή t0=0 .
Α. Αμέσως μετά την κρούση υπολογίστε:
Α1. Τις ταχύτητες των τριών σφαιριδίων.
Α2. Τη στροφορμή του αλτήρα ως προς το μέσο του.
Α3. Την ταχύτητα του μέσου Μ της ράβδου.
Α4. Τη δύναμη που ασκεί η ράβδος στο σφαιρίδιο.
Β. Υπολογίστε την ταχύτητα του Σ2 τη στιγμή t1 = s.
Γ. Ποια χρονική στιγμή t2 η ταχύτητα του Σ1 έχει το ίδιο μέτρο με την ταχύτητα του μέσου Μ για 1η φορά;
Kαλησπερα Γιωργο.Δεν συμφωνω με την απαντηση στο ερωτημα 2.Ναι μεν το αποτελεσμα ειναι σωστο αλλα στην απαντηση σου γραφεις οτι η στροφορμες των σωματων 1 και 2 εχουν μετρα 0,25 και μηδεν αντιστοιχα. Αυτο δεν ειναι σωστο αν την στροφορμη την υπολογιζεις ως προς το μεσον της ραβδου,δηλ. το κεντρο μαζας του συστηματος,(εγω αυτο καταλαβαινω) το οποιο δεν ειναι ακινητο αλλα εχει ταχυτητα 5. Οι στροφορμες L1 και L2 ειναι 0,125 και 0,125
Εκτος αν λεγοντας μεσον της ραβδου εννοεις το ακινητο σημειο του λειου επιπεδου το οποιο την στιγμη της κρουσης ταυτιζεται με το μεσον της ραβδου αλλα δεν θα κινηθει ποτε αφου δεν ανηκει στην ραβδο.Aυτο το σημειο ομως μαλλον δεν πρεπει να το ονομασουμε μεσον της ραβδου.
Σχετικα με την ταχυτητα του μεσου Μ ειναι τελειως προφανες οτι θα ειναι 5m/s αφου οι ταχυτητες απο μηδεν εως 10 απο το ενα ακρο στο αλλο αυξανονται αναλογικα αρα το μεσον θα εχει τον μεσο ορο που ειναι 5. Τα εχεις αναλυσει και εσυ ο ιδιος αυτα σε αρκετα πραγματα που εχεις γραψει περι στιγμιαιου αξονα περιστροφης. 🙂 (οπου δεν εχω βαλει μοναδες ειναι S.I.)
Καλησπέρα και από δω Γιώργο. Πολύ ωραία η παρουσίασή σου και φυσικά συμφωνώ απόλυτα με τη μεθοδολογία. Αν δεις και τη δική μου ΕΔΩ, στο τέλος έχω μια προσομοίωση, που επαληθεύει πλήρως την ΑΔΣ ως προς το μέσον της ράβδου.
Καλησπέρα Κωνσταντίνε! Ευχαριστώ για το σχόλιο! Όσο για τη διαφωνία σου σε παραπέμπω στην αμέσως προηγούμενη ανάρτησή μου με θέμα “Στροφορμή συστήματος υλικών σημείων και στερεού”. Η στροφορμή συστήματος υλικών σημείων ως προς το κέντρο μάζας είτε υπολογίζεται με τις απόλυτες ταχύτητες υ1 και υ2 είτε με τις σχετικές , εν προκειμένω τις γραμμικές, δίνει ΠΑΝΤΑ το ίδιο αποτέλεσμα! Η απόδειξη προκύπτει ως συνέχεια της ανάρτησης που σε παραπέμπω. Γιατί από ότι αντιλαμβάνομαι εσύ την υπολογίζεις με τις σχετικές ταχύτητες και εγώ με τις απόλυτες. Και τη σχέση L= Ιcm ω να πάρουμε στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήξουμε.
Ευχαριστώ πολύ Ανδρέα! Είχαμε επί της ουσίας την ίδια ιδέα!
Ναι συμφωνω οτι στο ιδιο θα καταληξουμε αλλα εγω αλλο ρωταω.Αυτο που ρωταω δεν εχει σχεση με την αναρτηση σου περι συστηματος υλικων σημειων.
Αφου χρησιμοποιεις τις απολυτες ταχυτητες οπως λες,τοτε το μεσον της ραβδου ως προς το οποιο υπολογιζεις τις στροφορμες το θεωρεις ακινητο .Σωστα?
Η πρόταση είναι συνέχεια της δημοσίευσης που σου ανέφερα και είναι η εξής : “Η στροφορμή συστήματος υλικών σημείων ως προς το κέντρο μάζας, υπολογιζόμενη με τις απόλυτες ταχύτητες (ως προς σύστημα αναφοράς Οχψz) είναι ίση με τη σχετική στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας “. Τα διανύσματα θέσης και στη μία περίπτωση και στην άλλη προφανώς είναι τα ίδια και έχουν όλα ως αρχή το κέντρο μάζας. Η διαφορά έγκειται στις ταχύτητες. Στην πρώτη περίπτωση είναι οι απόλυτες (ως προς το Οχψz) και στη δεύτερη οι σχετικές (ως προς το κέντρο μάζας). Προφανώς το κέντρο μάζας γενικώς κινείται ως προς το Οχψz.Και είναι προφανές ότι στην περίπτωση μας οι σχετικές ταχύτητες είναι οι γραμμικές ταχύτητες των δύο υλικών σημείων ως απόρροια της συνιστώσας στροφικής κίνησης του στερεού.
Γιωργο συγνωμη αλλα δεν καταλαβαινω τι μου λες Το ξερουμε οτι η στροφορμή συστήματος υλικών σημείων ως προς ακινητο συστημα αναφορας είναι ίση με τη στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας συν την στροφορμη μιας σημειακης μαζας ισης με την συνολικη μαζα του συστηματος,ως προς το ακινητο συστημα αναφορας. Ειναι γνωστο θεωρημα αυτο. Εσυ ειπες κανεις τον υπολογισμο χρησιμοποιωντας τις απολυτες ταχυτητες.Οκ. Ομως η εκφωνηση λεει να υπολογιστει η στροφορμη ως προς το μεσον της ραβδου.Ομως το μεσον της ραβδου ειναι το κεντρο μαζας και ειναι κινουμενο. Αρα στην λυση σου ή χρησιμοποιεις το πιο πανω θεωρημα και υπολογιζεις (σωστα) την ζητουμενη στροφορμη ως προς ενα αλλο ακινητο σημειο το οποιο δεν γραφεις στην λυση ποιο ειναι,ουτε εξηγεις γιατι ο ορος της στροφορμης του κεντρου μαζας μηδενιζεται, ή ο υπολογισμος γινεται ως προς το κεντρο μαζας οποτε ειναι λανθασμενος. Επειδη μαλλον κανεις το πρωτο διοτι το δευτερο ειναι σοβαρο λαθος,πρεπει να εξηγησεις στην λυση τι ακριβως κανεις,να διατυπωσεις το θεωρημα και να εξηγησεις οτι ως προς αλλο σημειο ζηταει η ασκηση και ως προς αλλο υπολογιζεις διοτι εχεις αυτο το δικαιωμα με βαση το πιο πανω θεωρημα αφου τα δυο αποτελεσματα ειναι τα ιδια. Αν δεν τα γραψεις αυτα δεν προκειται να καταλαβει κανενας τιποτα.Και φυσικα αυτα τα πραγματα ειναι καραεκτος υλης. Αυτο δεν πειραζει βεβαια αλλα τοτε ο τιτλος Κρούση σφαιριδίου – στερεού εντός ύλης ειναι κατ’ ευφημισμόν,ειναι χιουμοριστικος?
Καλημέρα Γιώργο.
Ψάχνοντας για μια ανάρτηση, που αναφέρει ο Βασίλη, με μη λεπτή ράβδο, έπεσα πάνω σε μια ανάρτηση του αείμνηστου Βαγγέλη Κορφιάτη:
Ελαστική κρούση υλικού σημείου με στερεό
Ξεκινά από άλλη αφετηρία, καταλήγοντας στο ίδιο με σένα αποτέλεσμα.
Καλημέρα Κωνσταντίνε. Τα περί απόλυτης και σχετικής ταχύτητας τα ανέφερα γιατί δικαιολογούν το γιατί δεν είναι σύμπτωση ή λάθος το ότι καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Επέλεξα αυτόν τον τρόπο ως τον πιο σύντομο και βασιζόμενο στον θεμελιώδη ορισμό στροφορμής υλικού σημείου. Ανέφερα και την Αρχή διατήρησης της στροφορμής κατά την κρούση η οποία επίσης οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα. Το θεώρημα που ανέφερες και απέδειξα στην προηγούμενη ανάρτηση μου, ισχύει για κάθε χρονική στιγμή! Κάθε στιγμή λοιπόν το μέσο του αλτήρα ταυτίζεται με -διέρχεται από – ένα σημείο του ακινήτου δαπέδου. Αν δεν έχεις ένταση για τα αναφερόμενα στην προηγούμενη ανάρτηση μου ως προς αυτό , δεν αντιλαμβάνομαι το γιατί να έχεις και για την παρούσα. Αλλά υπάρχουν και άλλα 5(!) χρήσιμα θεωρώ, ερωτήματα. Ας μην μονοπωλήσει και επισκιάσει τα άλλα αυτό το ερώτημα… Έχουμε ενδεχομένως κάποια διαφωνία (;) κάποια δυσκολία επικοινωνίας εν προκειμένω; Αυτά λογικά είναι. Ας μην βλέπουμε μόνο αυτό το “δέντρο” αλλά το “δάσος” των θεμάτων της Φυσικής στα οποία συμφωνούμε! Ας αφήσουμε αυτά στην κρίση των συναδέλφων μας στους οποίους κυρίως απευθυνόμαστε .
Καλημέρα Διονύση! Ευχαριστώ για το σχόλιο! Ο σύνδεσμος με παραπέμπει σε ανάρτηση του αείμνηστου Βαγγέλη με την ταλάντωση μη λεπτής ράβδου. Στη δική σου παρέμβαση εκεί παραπέμπεις σε ένα σύνδεσμο που πέφτει αμέσως στο κινητό μου. Έτσι δεν μπορώ να τη δω. Δεν ξέρω αν μπορώ να τη δω στον υπολογιστή ή συμβαίνει κάτι άλλο.
Καλημέρα και πάλι Γιώργο.
Τα αρχεία Word και pdf είναι στο drive του Βαγγέλη, που έχουμε πρόβλημα δικαιωμάτων.
Πάτησε από κάτω τον εναλλακτικό σύνδεσμο.
Γιώργο καλημέρα, σε ευχαριστούμε για το θέμα που αναδεικνύεις.
Συμφωνώ ως προς τα αποτελέσματα, έχω πρόβλημα με την αρχή της λύσης σου
Οι δύο σφαίρες μαζί με την αβαρή ράβδο σύνδεσμο αποτελούν ένα στερεό σώμα.
Πώς θα δικαιολογήσουμε στους μαθητές ότι κατά την κρούση της κινούμενης σφαίρας
με τη Σ1, η οποία είναι μέρος του στερεού, ισχύουν όσα γνωρίζουν για την κεντρική-ελαστική κρούση δύο σημειακών μαζών;
Προσωπικά αδυνατώ να το εξηγήσω… και πιστεύω πως η μοναδική λύση είναι η επόμενη
η οποία όμως περιέχει στροφορμή υλικού σημείου το οποίο κινείται ευθύγραμμα,
άρα είναι εκτός εξεταστέας ύλης πανελλαδικών
Γειά σου Θοδωρή! Ευχαριστώ για το σχόλιο! Την ωραία λύση σου την έχω υπόψη μου. Υπάρχει και λύση βλέποντας το ως σύστημα τριών υλικών σημείων και λαμβάνοντας υπόψη τον “δεσμό” Σ1-Σ2. Προς αποφυγή κάποιου σφάλματος προσφεύγω κατά κανόνα και σε άλλους τρόπους απάντησης! Άνθρωποι είμαστε, με απαιτητικά θέματα ασχολούμαστε πολλάκις ,δεν έχουμε το αλάθητο! Όσο για την ισχύ των περί ελαστικής κρούσης μεταξύ των δύο σφαιριδίων: Σε πολλές περιπτώσεις την εφαρμόζουμε όταν τα σφαιρίδια ή και σφαίρες – το ένα ή και τα δύο, είναι δεμένα από νήμα! Άλλωστε η λύση σου επιβεβαιώνει την ισχύ της. Τώρα για το περί εντός ή εκτός ύλης: Πράγματι, αν πάμε με το “γράμμα του νόμου” το σχολικό αναφέρεται σε στροφορμή υλικού σημείου ΜΟΝΟ ΣΕ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ! Αυτό είναι μια στρέβλωση ,ένας ” ασφυκτικός περιορισμός” κατά τη γνώμη μου αυτής της έννοιας,που έχει να κάνει με την”αυθεντία” και το περιεχόμενο ενός και μόνο βιβλίου! Σκέφτηκα να βάλω το σφαιρίδιο Σ3 να κινείται κυκλικά δεμένο από νήμα . Έτσι θα είμαστε 100% εντός ύλης! Δεν το έκανα για απλούστευση της εκφώνησης. Γιατί για τα υπόλοιπα 5(!!) ερωτήματα καμμία ένσταση δεν υπάρχει! Εφαρμόστηκε η διατήρηση της στροφορμής βέβαια σε σπειροειδή κίνηση σφαιρίδιου – θέμα με Β Πανελληνίων! Γιατί όχι και για ευθύγραμμη όταν ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ισχύουν οι προϋποθέσεις της κυκλικής;
Καλημέρα παιδιά.
Παλιότερα ο Διονύσης είχε γράψει:
Και τελικά η αβαρής ράβδος είναι ένα ειδικό νήμα;
Αν η αβαρής ράβδος ασκήσει δύναμη στο κάτω σώμα, δύναμη με συνιστώσα κάθετη σ’ αυτήν, τότε θα δεχθεί δύναμη αντίθετη και θα αποκτήσει άπειρη γωνιακή επιτάχυνση. Άτοπο.
Έτσι δεν την ασκεί, οπότε το σύστημα των δύο κάτω σφαιρών είναι απομονωμένο στον άξονα x και η ορμή διατηρείται. Ανταλλάσσουν ταχύτητες.
Γεια σου Γιάννη ! Γεια σου Θοδωρή . Σε πολλές περιπτώσεις κατά την κρούση μεταξύ δύο σωμάτων ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις – το βάρος, δυνάμεις από ελατήρια, νήματα και άλλα σώματα- και παρ’ όλα αυτά εφαρμόζουμε την ΑΔΟ! Ο λόγος είναι ότι λόγω της πολύ μικρής διάρκειας της κρούσης οι ωθήσεις τους είναι αμελητέες! Οι δυνάμεις από από τη ράβδο του αλτήρα για ποιο λόγο να αποτελούν εξαίρεση;; Εξαίρεση αποτελούν οι πολύ μεγάλες δυνάμεις που οι ωθήσεις τους στη διάρκεια της κρούσης δεν μπορούν να αγνοηθούν! Όπως οι κάθετες δυνάμεις που ασκούν άκαμπτα δάπεδα σε σώματα που προσκρούουν πάνω τους. Η παρέμβασή σου Γιάννη το ενισχύει αυτό καθοριστικά! Και επιβεβαιώνεται πανηγυρικά με τη λύση σου Θοδωρή!