by 
Συζητούν τρεις για το αν το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ένας ευθύγραμμος αγωγός που διαρρέεται από σταθερό ρεύμα είναι ή όχι συντηρητικό. Διαφωνούν.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Συζητούν τρεις για το αν το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ένας ευθύγραμμος αγωγός που διαρρέεται από σταθερό ρεύμα είναι ή όχι συντηρητικό. Διαφωνούν.
Θα έρθω στο σχόλιο του Διονύση:
Όταν λες αν το μαγνητικό πεδίο είναι ή όχι συντηρητικό, σε τι αναφέρεσαι;
Στο διανυσματικό πεδίο της έντασης ή στο διανυσματικό πεδίο της δύναμης;
Είναι το ίδιο;
Ωραίο σχόλιο:
Πάμε:
Βλέπουμε αριστερά έναν απειρομήκη ρευματοφόρο αγωγό και δεξιά έναν αγωγό μήκους L. Διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα.
Ο αγωγάκος δέχεται δύναμη που κατευθύνεται στην αρχή των αξόνων. Δύναμη κεντρική, άρα συντηρητική. Σε κάθε κλειστή διαδρομή και όχι μόνο στην εστιγμένη που σχεδίασα το έργο είναι μηδέν.
Το δυναμικό αυτό πεδίο είναι συντηρητικό.
Πλήρης και αναλυτική απάντηση Γιάννη στην δουλειά του Γιάννη Φιορεντίνου
https://www.slideshare.net/JohnFiorentinos/ss-28032076 που ανέφερα και σε άλλη ανάρτηση.
Στην προκειμένη περίπτωση στο (0,0) δεν ορίζεται η συνάρτηση δηλαδή έχουμε μια «τρύπα» στο πεδίο ορισμού που το καθιστά μη απλά συνεκτική την περιοχή και παράλληλα η διαδρομή που επιλέγουμε περικλείει το παραπάνω σημείο.
Συμφωνώ Άρη.
Το λέει καθαρά και ο καθηγητής για το (0,0).
Τελικά πρέπει να προσέχουμε τους ορισμούς.
Να ισχύει ότι curlB=0 για κάθε σημείο.
Αυτό το “δια κάθε” το ξεχνάμε.
Επανέρχομαι στο σχόλιο του Διονύση:
Ο αγωγός διαρρέεται από ρεύμα με φορά προς τα πάνω.
Τα πράσινα μπαλάκια είναι φορτία. Τα μπλε διανύσματα είναι οι ταχύτητές τους και το κόκκινο η δύναμη που δέχεται μόνο το ένα.
Η δύναμη δηλαδή εξαρτάται από την ταχύτητα. Δηλαδή δεν είναι συνάρτηση της θέσης. Δηλαδή δεν έχουμε δυναμικό πεδίο.
Δυναμικό πεδίο σημαίνει μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο του χώρου αντιστοιχεί μια δύναμη. Εδώ σε κάθε σημείο άπειρες δυνάμεις εμφανίζονται.
Αφού δεν έχουμε δυναμικό πεδίο, έχει νόημα να μιλάμε για συντηρητικότητα;
Όμως……
(Σε άλλο σχόλιο…..)
Τελικά το μαγνητικό πεδίο θα πάθει κάποιο είδος σχιζοφρένειας;
Θα αποκτήσει κρίση ταυτότητας;
Θα μας πει αν αποκτήσει φωνή:
-Εγώ δεν είμαι τίποτα. Τα παιδιά μου είναι άλλοτε συντηρητικά δυναμικά πεδία, άλλοτε μη συντηρητικά δυναμικά πεδία και άλλοτε δεν είναι καν δυναμικά πεδία.
Καλησπέρα και από εδώ Γιάννη.
“Εγώ δεν είμαι τίποτα. Τα παιδιά μου είναι άλλοτε συντηρητικά δυναμικά πεδία, άλλοτε μη συντηρητικά δυναμικά πεδία και άλλοτε δεν είναι καν δυναμικά πεδία.”
Νομίζω ότι μάλλον αυτή είναι τελικά η απάντηση…
Θυμήθηκα και μια ανάρτηση του Πάνου Μουρούζη και την συζήτηση που έγινε πριν 3,5+ χρόνια:
Η έννοια “μαγνητικό πεδίο”
Διονύση πιστεύω πως είναι μαθηματική ορολογία και μόνο.
Έσω ένα πεδίο Α. Δυναμικό, ταχυτήτων ή άλλο.
Αν υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση V: Α=-gradV τότε το πεδίο είναι συντηρητικό.
Ισοδύναμε είναι συντηρητικό αν το ολοκλήρωμα ΣΑ.dl είναι μηδέν για κάθε κλειστή διαδρομή. Στα δυναμικά πεδία αυτό είναι έργο. Στο μαγνητικό είναι έργο αν το υπόθεμα είναι μαγνητική βελόνα.
Έτσι ένα πεδίο μπορεί να είναι αστρόβιλο αλλά όχι συντηρητικό.
Ο μικρός πιστεύω πως έχει δίκιο.
Βιβλία Λυκειακά χρησιμοποιούν όχι όλο τον ορισμό αλλά τμήμα του. Έτσι βλέπουμε παρανοήσεις που καταλήγουν στο ότι η ενέργεια διατηρείται αν και μόνο αν οι δυνάμεις είναι συντηρητικές, κάτι εμφανώς λανθασμένο στην περίπτωση της σφήνας που ολισθαίνει σε λείο δάπεδο με σώμα πάνω της.
Έτσι η συντηρητικότητα συνδέθηκε με το αν εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ και τις χρονοεξαρτημένες δυνάμεις.
Γι αυτό προτιμώ τη διδασκαλία της ενέργειας χωρίς “συντηρητικότητες”.
Οφείλω μια καλύτερη και σαφέστερη απάντηση από αυτήν στο σύντομο σχόλιο προς Διονύσιον.
Το πεδίο είναι μαθηματική έννοια. Ας δούμε τη Βικιπέδεια:
Μια συνάρτηση από το R3 στον R3. Δηλαδή σε κάθε σημείο του χώρου αντιστοιχίζουμε ένα διάνυσμα. Αν το διάνυσμα είναι δύναμη (ή ένταση) έχουμε ένα δυναμικό πεδίο. Αν είναι ταχύτητα έχουμε ένα πεδίο ταχυτήτων κ.λ.π.
Ας δούμε απόσπασμα από τη Βικιπέδεια:
Τι λέει;
-Ένα διανυσματικό πεδίο V που ορίζεται….. ονομάζεται συντηρητικό πεδίο αν υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση f με πραγματικές τιμές τέτοια ώστε V=-gradf
Δεν μιλάει για δυναμικό πεδίο. Έτσι ένα πεδίο ροής ρευστού μπορεί να είναι συντηρητικό, χωρίς αυτή η “συντηρητικότητα” να σημαίνει κάτι για την ενέργεια ενός σώματος που αφήνεται να παρασυρθεί από το νερό.
Το μαγνητικό πεδίο που γεννά ένας ευθύγραμμος αγωγός δεν είναι συντηρητικό μια και η κυκλοφορία του δεν είναι μηδέν σε κάθε κλειστή διαδρομή.
Τώρα αν το μη συντηρητικό μαγνητικό πεδίο αυτό μπορεί να γεννήσει ένα συντηρητικό δυναμικό πεδίο είναι εντελώς άλλο θέμα.
Μην συγχέουμε τα Μαθηματικά με αυτά που μας ενδιαφέρουν για να λύνουμε προβλήματα με ενέργειες και υπολογισμούς ταχυτήτων.
Καλησπέρα Γιάννη, καλησπέρα συνάδελφοι.
Αξίζει νομίζω να εξετάσουμε την έννοια της «συντηρητικότητας» ως καθαρά μαθηματικής ιδιότητας, μέσω της γεωμετρίας των πεδίων. Αυτό που θέλω να πω θα φανεί στο επόμενο παράδειγμα:
Μετακινώ φορτίο q μέσα στο ηλεκτροστατικό πεδίο που δημιουργεί θετικό φορτίο Q, από το σημείο Α στο πολύ κοντινό του σημείο P. Το έργο ισούται με W(C->P)=F CP συν(F,CP)=F CD.
Αλλά σύμφωνα με την ακτινική συμμετρία των δυναμικών γραμμών (δ.γ.), CD=C’D’, όπου τα σημεία C’ και D’ ανήκουν στην δ.γ. που καταλήγει στο καταληκτικό σημείο Β. Άρα
W(C->P)=W(C’->D’)=F C’D’
Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία για άπειρα το πλήθος στοιχειώδη τμήματα της αρχικής διαδρομής του φορτίου q εκκινώντας από το αρχικό σημείο A και καταλήγοντας στο τελικό σημείο B της τροχιάς του, τότε ισοδύναμα μπορούμε να υποθέσουμε ότι το φορτίο κινείται πάνω την δυναμική γραμμή που διέρχεται από το σημείο B, διαγράφοντας την ευθύγραμμη τροχιά A’->B. Τότε καταλήγουμε στην γνωστή έκφραση του έργου των συντηρητικών δυνάμεων,
W(A->B)=W(A’->B)=ολοκλήρωμα(Fdx,A’,B)=V(A’)-V(B)=V(A)-V(B)
Συμπέρασμα: η «συντηρητικότητα» του ηλεκτροστατικού πεδίου απορρέει άμεσα από την ακτινική συμμετρία που εμφανίζει το πεδίο δυνάμεων της σημειακής πηγής (συμμετρία που εμφανίζει και το πεδίο της έντασης σε αυτό το παράδειγαμα, μέσω της γνωστής σχέσης F=qE).
Η γενίκευση για το πεδίο που δημιουργούν κατανομές σημειακών φορτίων είναι προφανής μέσω της αρχής της επαλληλίας.
Πρόσεξε ότι η δύναμη Lorentz που δημιουργεί ένας ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός απείρου μήκους σε ένα κινούμενο φορτίο, εμφανίζει επίσης ακτινική συμμετρία σε επίπεδα κάθετα στον αγωγό, αλλά η ένταση του μαγνητικού πεδίου δεν εμφανίζει ακτινική συμμετρία, αλλά κυλινδρική.
Στάθη χαίρομαι και μόνο που η ανάρτηση σε έκανε να επανεμφανισθείς.
Πολύ ωραία όλα όσα γράφεις!
Να προσυπογράψω με δύο χέρια αυτά με τη γεωμετρία.
Πιστεύω πως σε πολλές περιπτώσεις ο σχεδιασμός των γραμμών αρκεί για να καταλάβουμε αν είναι συντηρητικό ή όχι.
Επίσης η αναζήτηση ισοδυναμικών επιφανειών (κάθετες στις γραμμές) κάποιες φορές είναι ολοφάνερο πως είναι μάταια λόγω συμμετρίας.
Να συμφωνήσω και για την ακτινική συμμετρία. Δες και την 3D εικόνα προηγούμενου σχολίου.
Καλησπέρα Στάθη. Μας λείπεις…
Καλησπέρα Γιάννη. Γράφεις:
“Μην συγχέουμε τα Μαθηματικά με αυτά που μας ενδιαφέρουν για να λύνουμε προβλήματα με ενέργειες και υπολογισμούς ταχυτήτων.”
Εσύ τώρα μιλάς σαν μαθηματικός ή σαν φυσικός;
Όταν μας ενδιαφέρει και συζητάμε για διατήρηση ενέργειας, ασχολούμαστε με ενέργειες και όχι με τα πεδία ροής…
Αν πάμε να μελετήσουμε πεδία ροής, τότε μπορούμε να συζητήσουμε και την κυκλοφορία σε ένα τέτοιο πεδίο!
Για έναν μαθηματικό δεν υπάρχουν ούτε ενέργειες ούτε ροές.
Υπάρχουν στο “χώρο των ιδεών” τα διανυσματικά πεδία και αυτά μελετά…
Διονύση μιλώ σαν Φυσικός που κάποιες φορές χρησιμοποιεί Μαθηματικά.
Όταν χρησιμοποιούμε Μαθηματικά πρέπει να προσέχουμε τους ορισμούς σε κάθε κομμάτι τους. Τα “υπάρχει”, τα “δια κάθε” κ.λ.π.
Τα Μαθηματικά ορίζουν την συντηρητικότητα σε πεδία και μόνο σε πεδία.
Αν εμένα με ενδιαφέρει να λύσω αυτό το πρόβλημα:
μπορώ να το λύσω αποδίδοντας δυναμική ενέργεια στην συνισταμένη του βάρους του m1 και της Ν που σχεδίασα.
Ξέρεις ότι οι υπολογισμοί θα βγουν σωστοί.
Αν δέχομαι τέτοια λογική δρω ως Φυσικός και αν την αρνούμαι δρω ως Μαθηματικός;
Διότι αν συνηθίσουμε τέτοιες ενέργειες θα την πατήσουμε όπως στην περίπτωση που περιγράφω εδώ:
“Τα Μαθηματικά ορίζουν την συντηρητικότητα σε πεδία και μόνο σε πεδία.”
Να πω σε τι συμφωνώ;
Τα Μαθηματικά ορίζουν την συντηρητικότητα σε πεδία και μόνο σε πεδία.!!!!
Δηλαδή ένας άνθρωπος που σπρώχνει την ντουλάπα, ΔΕΝ ασκεί συντηρητική δύναμη…
Ναι όπως δεν υπάρχουν συντηρητικά πορτοκάλια, δεν υπάρχουν και μη πεδιακές συντηρητικές δυνάμεις.
Η δύναμη του αλόγου που σέρνει κάρο ακόμα και σταθερή δεν είναι συντηρητική.