by 
Σώμα μάζας m = 2 kg βρίσκεται ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο συνολικού μήκους
S = 4 m. Το πρώτο τμήμα του επιπέδου μήκους S₁ = 2 m είναι λείο και το δεύτερο τμήμα του επιπέδου επίσης μήκους S₂ = 2 m εμφανίζει με το σώμα συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,25. Την χρονική στιγμή t₀ = 0 ασκούμε στο σώμα οριζόντια δύναμη με θετική φορά που μεταβάλλεται με την απομάκρυνση από την αρχική θέση του σώματος την οποία θεωρούμε ως x₀ = 0 σύμφωνα με την γραφική παράσταση 1. Επίσης ασκείται και κατακόρυφη δύναμη στο σώμα που η αλγεβρική της τιμή μεταβάλλεται σε σχέση με την απομάκρυνση του σώματος από την αρχική του θέση x₀ = 0 όπως φαίνεται στην γραφική παράσταση 2. Θεωρήστε θετικά τα προς τα δεξιά και προς τα πάνω.
Δίνεται g = 10 m/s².
Α. Να υπολογίσετε :
1) την επιτάχυνση του σώματος στη θέση x = 1 m.
2) το μέγιστο μέτρο ταχύτητας που αποκτά το σώμα στην διάρκεια της κίνησης του.
3) την θερμότητα (Q) που εκλύεται κατα την κίνηση του σώματος.
Β. Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί «απλή αρμονική ταλάντωση» για όσο χρόνο κινείται, να υπολογίσετε την περίοδο της και να βρείτε την χρονική στιγμή που διέρχεται από την θέση x = 3m. Για την ταλάντωση θεωρήστε την θετική φορά προς τα αριστερά.
Καλημέρα Διονύση! Διάβασε ξανά τη δημοσίευση μου “Λίγη Θεωρητική Μηχανική” από την αρχή μέχρι το τέλος και θα καταλάβεις. Είναι ηλίου φαεινοτερο τι εννοώ !
Καλημέρα Γιωργο.
Την ανάρτησή σου την έχω διαβάσει.
Εσύ έχεις διαβάσει όλα τα σχόλια και τις αναρτήσεις που έχω κάνει αυτό το διάστημα, προσπαθώντας να εξηγήσω τι σημαίνει η φράση, την οποία εσύ έδωσες;
Δεν ξέρω αν είναι “Ηλιου φαεινότερο” το τι εννοείς, αλλά δεν θα έβλαπτε να απαντήσεις επί της ουσίας στην ερώτησή μου.
Αλλά επειδή για καιρό τώρα αρνείσαι να απαντήσεις επί της ουσίας, με υποχρεώνεις και εδώ να προσθέσω τα σχόλια, κάτω από την ανάρτηση του Στάθη, που αναλύω τι σημαίνει η φράση:
“…δυνάμεις που εξαρτώνται μόνο από τη θέση…”
ώστε αν κάποιος επισκέπτης διαβάσει το παραπάνω σχόλιό σου, να καταλάβει την δική μου θέση… αλλά και σε τι αρνείσαι να τοποθετηθείς εσύ.
Τι σημαίνει δύναμη που εξαρτάται μόνο απο την θέση;
Το πρώτο παράδειγμα, σε σχόλιο εδώ:
Έγραψε παραπάνω ο Στάθης:
«μπορείς να ορίσεις την δυναμική ενέργεια μέσω της ΣF, χωρίς να αναφερθείς στις εξισώσεις της κίνησης;»
Μια πρόταση στην οποία αναφέρθηκε και ο Γιάννης στα παραπάνω δυο σχόλιά του.
Ας μου επιτρέψετε να αναφερθώ λίγο παραπάνω στο θέμα και πρώτα – πρώτα δίνοντας το παράδειγμα του ηλεκτροστατικού πεδίου, ενός ακλόνητου φορτίου -Q, μέσα στο οποίο ένα άλλο σημειακό φορτίο +q κινείται.
Στο πρώτο σχήμα το φορτίο q αφήνεται από κάποιο σημείο και έλκεται πλησιάζοντας το φορτίο Q. Μόλις περνά από το σημείο Α δέχεται από το πεδίο μια ορισμένη ελκτική δύναμη F, μέτρου F=1Ν.
Στο 2ο σχήμα το ίδιο φορτίο εκτοξεύεται από ένα σημείο, ακολουθεί ελλειπτική τροχιά και μετά από λίγο περνά από το σημείο Α, με ταχύτητα υ. Στην θέση Α δέχεται την ίδια όπως και πριν δύναμη F=1Ν.
Στο 3ο σχήμα ένα μικρό μπαλάκι, που φέρει φορτίο q, είναι δεμένο στο άκρο νήματος και διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου Κ, πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάθε φορά που περνά από το σημείο Α, δέχεται την ίδια δύναμη F=1Ν!
Αυτό συνάδελφοι σημαίνει δύναμη, η τιμή της οποίας εξαρτάται μόνο από την θέση. Η δύναμη στο σημείο Α, δεν εξαρτάται από την κίνηση που κάνει το σωματίδιο με φορτίο q. Δεν θα γράψουμε εξισώσεις κίνησης, για να αποδώσουμε ή να μην αποδώσουμε δυναμική ενέργεια ή δύναμη στο σωματίδιο. Όποια κίνηση και να κάνει το σωματίδιο, στο σημείο Α θα δέχεται πάντα την ίδια δύναμη!!!
Και κάτι ακόμη. Αυτό συμβαίνει σε κάθε σημείο του χώρου γύρω από το φορτίο Q. Έτσι φτάνουμε στο πεδίο, και μιλάμε και για «πεδιακή» δύναμη!
Το ηλεκτροστατικό πεδίο…
Το 2ο παράδειγμα, από σχόλιο εδώ:
Και ας έρθουμε τώρα, στο ελατήριο.
Το σώμα βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Στο 1ο σχήμα ισορροπεί στη θέση Α, με την επίδραση δύναμης F, ενώ δέχεται δύναμη από το ελατήριο Fελ=1Ν, με κατεύθυνση προς τα αριστερά, αφού το ελατήριο έχει κάποια επιμήκυνση.
Στο 2ο σχήμα το σώμα έχει κάποια ταχύτητα προς τα δεξιά, κινούμενο ευθύγραμμα. Αλλά όταν περνά από το Α, δέχεται την ίδια δύναμη Fελ=1Ν από το ελατήριο.
Στο 3ο σχήμα το σώμα διαγράφει επίπεδη κίνηση αφού έχει εκτοξευθεί από κάποιο σημείο και μετά από λίγο περνά από τη θέση Α. Και πάλι, ανεξάρτητα της κίνησης, θα δεχτεί την ίδια με πριν, δύναμη Fελ=1Ν.
Κάθε φορά που το σφαιρίδιο περνά από το σημείο Α, θα δέχεται την ίδια πάντα δύναμη. Μπορούμε δηλαδή και εδώ να ορίσουμε ένα πεδίο δύναμης, μιας συντηρητικής δύναμης, όπως ακριβώς κάνουμε και στην περίπτωση του ηλεκτροστατικού πεδίου.
Και σε αυτό το πεδίο δύναμης (το οποίο υλοποιείται από το ελατήριο) ορίζεται δυναμική ενέργεια U= ½ k(Δl)2, η οποία είναι μια υπαρκτή πραγματικότητα και όχι κάτι αφηρημένο που κάποιος μπορεί να θεωρήσει ή να μην θεωρήσει ότι υπάρχει. Αλλά προσοχή η ενέργεια αυτή δεν συνδέεται με την ταχύτητα που έχει ή που δεν έχει το σώμα, με την άσκηση ή όχι άλλης δύναμης, με κάποιες εξισώσεις κίνησης.
Καθορίζεται μόνο από την θέση Α!!!
Όσον αφορά το “ηλίου φαεινότερο”, μήπως πράγματι είναι προφανής, η πρόταση στο παραπάνω σχόλιο:
“Δεν θα γράψουμε εξισώσεις κίνησης, για να αποδώσουμε ή να μην αποδώσουμε δυναμική ενέργεια ή δύναμη στο σωματίδιο. ”
Αυτό κάνεις συνέχεια Γιώργο. Και αυτό είναι λάθος. Δεν το καταλαβαίνεις πού είναι η διαφωνία;
Δεν πάμε από τις εξισώσεις κίνησεις στις ενέργειες!!!
Η δυναμική ενέργεια ενός σώματος σε ένα σημείο, δεν εξαρτάται από το αν το σώμα κινείται ή όχι στη θέση αυτή, από το αν δέχεται ή όχι άλλες δυνάμεις, από την φύση αυτών των άλλων δυνάμεων, από την ταχύτητα που έχει, από το αν εκτελεί αατ ή διαγράφει έλλειψη, απο το αν το κρατώ με το χέρι μου ή αν το αφήσω να κινηθεί, από… τίποτα άλλο, μόνο από την θέση!!!
Καλημέρα! Αρχικά να πω συγχαρητήρια στον Παύλο! Δεν μου αρέσει να χάνεται το νόημα από αντιπαραθέσεις που υποβαθμίζουν την αξία και το σκοπό της δημοσίευσης. Επειδή παρακολουθώ μια διαφωνία και ακόμη δεν έχω καταλάβει την ουσία της θέλω να παρακαλέσω το Διονύση να βάλει ως θέμα συζήτησης την ουσία της διαφωνίας και εκεί να τοποθετηθεί ο καθένας μόνο μία φορά διότι σε έναν επιστημονικό διάλογο δεν έχουν νόημα δευτερολογίες-τριτολογίες-νιολογίες!!
Καλημέρα Γιάννη.
Η διαφωνία αναλύεται στο προηγούμενο σχόλιό μου:
““Δεν θα γράψουμε εξισώσεις κίνησης, για να αποδώσουμε ή να μην αποδώσουμε δυναμική ενέργεια ή δύναμη στο σωματίδιο. ”…
Δεν πάμε από τις εξισώσεις κίνησεις στις ενέργειες!!!
Η δυναμική ενέργεια ενός σώματος σε ένα σημείο, δεν εξαρτάται από το αν το σώμα κινείται ή όχι στη θέση αυτή, από το αν δέχεται ή όχι άλλες δυνάμεις, από την φύση αυτών των άλλων δυνάμεων, από την ταχύτητα που έχει, από το αν εκτελεί αατ ή διαγράφει έλλειψη, απο το αν το κρατώ με το χέρι μου ή αν το αφήσω να κινηθεί, από… τίποτα άλλο, μόνο από την θέση!!!”
Ο Γιώργος ξεκινάει από τις εξισώσεις κίνησεις, κάνει απαλειφή του χρόνου από τις εξισώσεις αυτές και βρίσκει μια εξίσωση της συνισταμένης δύναμης συναρτήσει της θέσης x, οπότε βαφτίζει την συνισταμένη δύναμη συντηρητική και της αποδίδει δυναμική ενέργεια, μιλώντας πια για ΑΔΜΕ! Επειδή έκανε μαθηματική απαλοιφή του χρόνου, σαν μεταβλητής, επειδή την “απάλειψε” από την εξίσωση, νομίζει ότι δεν υπάρχει κιόλας!
Η άλλη άποψη, την οποία δέχονται οι φίλοι που έχουν πάρει θέση, όλο αυτό το διάστημα, είναι αυτή που γράφω παραπάνω.
Καλημέρα σε όλους. Ευχαριστώ πολύ Γιάννη!
Καλημέρα Διονύση , Λακωνικός και σαφής. Το μόνο που θέλω να προσθέσω είναι πως μία κίνηση μπορεί ή θέση της να περιγράφεται μαθηματικά από εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης αλλά αυτό δεν συνεπάγεται ότι η δύναμη είναι συντηρητική. Είχα κάνει παλιότερα μια δημοσίευση ΕΔΩ.
Διονύση δεν σε εξουσιοδοτώ να μιλάς εκ μέρους μου γιατί θεωρώ ότι με παρερμηνεύεις . Γιάννη Μπατσαούρα, διάβασε αν θέλεις την τελευταία ανάρτησή μου με τίτλο “Λίγη Θεωρητική Μηχανική”. Θα ακολουθήσει σύντομα νέα δημοσίευσή μου. Για όλους τους συναδέλφους : Στη χρονική διάρκεια των 1,57s που διαρκεί η κίνηση από το σημείο x=2m στο σημείο x=4m έχει μεταφερθεί η ενέργεια με τη μορφή θερμότητας από το σώμα προς το περιβάλλον ; Ή επί ουσίας αυτή η μεταφορά γίνεται μετά το πέρας της κίνησης αφού προηγουμένως έχει προκύψει διαφορά θερμοκρασίας σώματος περιβάλλοντος; Και αν δεν έχει μεταφερθεί η ενέργεια στο περιβάλλον δεν παραμένει στο σώμα;; Και επειδή η τριβή λόγω της μαθηματικής της έκφρασης είναι συντηρητική κάνουμε “έγκλημα” να θεωρήσουμε ότι παραμένει στο σώμα μέχρι το τέλος της κίνησης με τη μορφή δυναμικής ενέργειας;; Από πλευράς υπολογισμών , καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.
Σε παρερμήνευσα λες Γιώργο;
“Και επειδή η τριβή λόγω της μαθηματικής της έκφρασης είναι συντηρητική …”
Τα είπες όλα μόνος σου…
Δεν τα λέω εγώ Διονύση αλλά ΟΛΑ τα Πανεπιστημιακά συγγράμματα Μηχανικής (θεωρητικής, κλασικής). Και κακώς μπαίνω σε συζητήσεις για φυσικές σημασίες. ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΚΕΙ Η ΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ.
Καλημέρα Γιώργο.( Βουμβάκη )
Σου το έγραψα στην ανάρτηση Ασκηση – Μαθηματικουριά ( του Θοδωρή ) και στο μεταφέρω και εδώ:
Επειδή η συζήτηση παρατράβηξε και κούρασε τους συναδέλφους, λίγοι αντέχουν ακόμη, διάβασε σε παρακαλώ το παρακάτω μικρό κείμενο και δώσε απάντηση στις δύο ερωτησούλες ( χωρίς επίκληση σε Feynman και Θεωρητική Μηχανική ).
Α. Το έργο που παράγεται από μια διατηρητική δύναμη έχει πάντα τις εξής ιδιότητες:
1. Μπορεί πάντα να εκφραστεί ως η διαφορά μεταξύ της αρχικής και της τελικής τιμής μιάς συνάρτησης δυναμικής ενέργειας
2. Είναι αντιστρεπτό
3. Είναι ανεξάρτητο της τροχιάς που ακολουθεί το σώμα και εξαρτάται μόνο από το σημείο εκκίνησης και κατάληξης της τροχιάς
4. Αν το αρχικό σημείο συμπίπτει με το τελικό σημείο, το συνολικό έργο είναι μηδέν.
{ Hugh D. Young – Πανεπιστημιακή Φυσική , 8η έκδοση , 1992 ( ελληνική Μετάφραση- Εκδόσεις Παπαζήση , 1994 ) σελίδα 183 }
Β. Από το θεώρημα έργου-ενέργειας έχουμε Wσυνολικό= ΔΚ με Wσυνολικό=WF1+ WF2+ …. WFn όπου F1, F2, .. , Fn οι ασκούμενες δυνάμεις σε ένα σώμα και
WF1 , WF2 , …. , WFn τα έργα τους αν ασκούνταν η κάθε μια μόνη της.
Οι ερωτήσεις:
Καλημέρα Γιώργο Βουμβάκη! Αν κατάλαβα καλά (διόρθωσε με) αυτό που κάνεις είναι μια γενίκευση η οποία σε επίπεδο θεωρητικής μηχανικής μάλλον δουλεύει σωστά! Ωστόσο διδακτικά δεν νομίζω πως μπορεί να απευθυνθεί σε μαθητές Λυκείου.
και μιας και θεωρείς ότι σε παρερμηνεύει ο Διονύσης να σου απαντήσω εγώ στην τελευταία ερώτηση που θέτεις σε όλους τους συναδέλφους:
Γράφεις :
Και επειδή η τριβή λόγω της μαθηματικής της έκφρασης είναι συντηρητική κάνουμε “έγκλημα” να θεωρήσουμε ότι παραμένει στο σώμα μέχρι το τέλος της κίνησης με τη μορφή δυναμικής ενέργειας;;
Η απάντηση μου είναι ΜΕΓΑ ΕΓΚΛΗΜΑ αλλά εσύ φυσικά και περιμένεις σαν απάντηση από τους συναδέλφους το ΟΧΙ γιατί αυτό θεωρείς ως σωστό.
Ομως σε προηγούμενο σχόλιο σου απαντώντας στον Παύλο γραφεις
“Ωραία Παύλο! Εφόσον η ΣF =4-2x
εξαρτάται μόνο από τη θέση αν κάνουμε το “έγκλημα κοθοσιωσεως” και τηρήσουμε κατά γράμμα τη Νευτώνεια Μηχανικήότι μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση U(x) που μας δίνει τη δυναμική ενέργεια από την οποία προέρχεται η ΣF! Είναι η U(x)=x^2-4x + c.”
Δεν βλέπεις ότι αυτοαναιρείσαι;
Από τη μια λές ότι η ενέργεια παραμένει μέχρι το τέλος της κίνησης ως δυναμική ενέργεια και από την άλλη δίνεις τη δυναμική ενέργεια στο τέλος της κίνησης ( όπου χ=4 ) μηδενική