by 
Σώμα μάζας m = 2 kg βρίσκεται ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο συνολικού μήκους
S = 4 m. Το πρώτο τμήμα του επιπέδου μήκους S₁ = 2 m είναι λείο και το δεύτερο τμήμα του επιπέδου επίσης μήκους S₂ = 2 m εμφανίζει με το σώμα συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,25. Την χρονική στιγμή t₀ = 0 ασκούμε στο σώμα οριζόντια δύναμη με θετική φορά που μεταβάλλεται με την απομάκρυνση από την αρχική θέση του σώματος την οποία θεωρούμε ως x₀ = 0 σύμφωνα με την γραφική παράσταση 1. Επίσης ασκείται και κατακόρυφη δύναμη στο σώμα που η αλγεβρική της τιμή μεταβάλλεται σε σχέση με την απομάκρυνση του σώματος από την αρχική του θέση x₀ = 0 όπως φαίνεται στην γραφική παράσταση 2. Θεωρήστε θετικά τα προς τα δεξιά και προς τα πάνω.
Δίνεται g = 10 m/s².
Α. Να υπολογίσετε :
1) την επιτάχυνση του σώματος στη θέση x = 1 m.
2) το μέγιστο μέτρο ταχύτητας που αποκτά το σώμα στην διάρκεια της κίνησης του.
3) την θερμότητα (Q) που εκλύεται κατα την κίνηση του σώματος.
Β. Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί «απλή αρμονική ταλάντωση» για όσο χρόνο κινείται, να υπολογίσετε την περίοδο της και να βρείτε την χρονική στιγμή που διέρχεται από την θέση x = 3m. Για την ταλάντωση θεωρήστε την θετική φορά προς τα αριστερά.
Καλημέρα παιδιά.
Κουράστηκα μεν, δεν βαρέθηκα δε.
Θα πω ότι πίστευα μέχρι το 2010 την “οιονεί δυναμική ενέργεια ταλάντωσης”.
Αναγνώρισα το λάθος μου με την
“Η ενέργεια ταλάντωσης και ο δρόμος προς την ∆αμασκό.”
Ως άλλος Παύλος (ο Απόστολος όχι ο Αλεξόπουλος)
Περισσότερα σε ιδιαίτερη ανάρτηση στο φόρουμ, ώστε να μην χαλάω την ανάρτηση του Παύλου (του Αλεξόπουλου και όχι του Απόστολου).
Γειά σου Γιάννη Μπατσαουρα! Έθεσες το θέμα στη σωστή του βάση! Δεν χρειάζεται το “μάλλον” για μένα, αλλά κατανοώ γιατί το λες! Και βέβαια σε επίπεδο λυκείου και από το 1977 που σαν φοιτητής παρέδιδα σε μαθητές τα πρώτα μου μαθήματα, δεν χρειάστηκε να αναφερθώ σε αυτά. Η αιτία που προκάλεσε όλη αυτή την αντιπαράθεση που διαρκεί δύο και πλέον μήνες είναι η προτελευταία ανάρτηση μου εδώ , που είχε ως θέμα την εξαναγκασμένη ταλάντωση! Δεν περίμενα τέτοια εξέλιξη! Πάντα συμβουλευομουν τα πανεπιστημιακά βιβλία φυσικής για να είναι άρτια επιστημονικά η διδασκαλία μου και από μεράκι!! Και μέσα από τη θεωρητική μηχανική του αείμνηστου πανεπιστημιακού καθηγητή,επιστήμονα μεγάλου κύρους και μεγάλου δασκάλου που είχε την ικανότητα να μας κάνει προσιτά και τα πλέον σύνθετα θέματα Ι. Χατζηδημητρίου που θεωρώ τον εαυτό μου ευτυχή που τον είχα Δάσκαλο ξαναεπιβεβαιωνω αυτό που ήδη γνώριζα γιατί συμβουλευομουν συχνά τα συγγράμματα του! Ότι στους ορισμούς των εννοιών δυναμική ενέργεια, συντηρητική δύναμη, μηχανική ενέργεια και διατήρηση της υπάρχει αναφορά ΜΟΝΟ στη μαθηματική έκφραση των δυνάμεων και σε ΚΑΝΕΝΑ άλλο παράγοντα! Τα βιβλία του για τη Μηχανική και σήμερα όπως είδα προτείνονται επισήμως στους φοιτητές του Φυσικού τμήματος του ΕΚΠΑ!! Επιμένουν δυστυχώς κάποιοι εδώ να αποδίδουν σε μένα αυτές τις απόψεις για τη δυναμική ενέργεια κλπ.και όχι στον Ι.Χατζηδημητριου!!!! Έτσι τους βολεύει! Στη συνέχεια είδα και άλλα βιβλία Μηχανικής!!! Έδιναν ακριβώς τους ίδιους ορισμούς στις έννοιες αυτές με αυτούς του Χατζηδημητρίου!
Όσο για αυτούς που μου λένε να απαντήσω σε αυτά που με κατηγορούν ως “εγκληματία” απαγορεύοντας μου όμως να αναφερθώ στη Θεωρητική Μηχανική και τον Feynman τι να πω; Απλώς γελάω και δεν ασχολούμαι μαζί τους!
Αφού δεν ασχολείσαι μαζί μας Γιώργο, τι θέλεις στο χώρο αυτό;
Γιατί συνεχίζεις να γράφεις;
Όσον αφορά τη θεωρητική μηχανική και τον καθηγητή σου Χατζηδημητρίου, από το δικό του βιβλίο, είναι το απόσπασμα, που δίνω εδώ και καιρό.
Από το βιβλίο λοιπόν της θεωρητικής μηχανικής, διαβάζω:
” αν σε μονοδιάστατη κίνηση υλικού σημείου σε άξονα x’x ενεργούν δυνάμεις που εξαρτώνται μόνο από τη θέση ,δηλαδή η αλγεβρική τιμή τους δίνεται από τη σχέση F=F(x) τότε αυτές οι δυνάμεις προέρχονται από δυναμική ενέργεια, με συνέπεια να διατηρείται σταθερή η μηχανική ενέργεια του υλικού σημείου!!!”
Αυτά είναι θεωρητική μηχανική ή είναι εφευρήματα κάποιων άσχετων, τους οποίους απαξιείς και να απαντήσεις.
Το απόσπασμα το ανέβασες εσύ… Τόση συνέπεια!
Διονύση, δεν είμαι αποκλειστικής απασχόλησης στο υλικό. Τι να πρωτοδω!
Λες για μένα στο Γιάννη Μπατσαουρα τα παρακάτω:
“Ο Γιώργος ξεκινάει από τις εξισώσεις κίνησεις, κάνει απαλειφή του χρόνου από τις εξισώσεις αυτές και βρίσκει μια εξίσωση της συνισταμένης δύναμης συναρτήσει της θέσης x, οπότε βαφτίζει την συνισταμένη δύναμη συντηρητική και της αποδίδει δυναμική ενέργεια, μιλώντας πια για ΑΔΜΕ! Επειδή έκανε μαθηματική απαλοιφή του χρόνου, σαν μεταβλητής, επειδή την “απάλειψε” από την εξίσωση, νομίζει ότι δεν υπάρχει κιόλας!”
Αυτό αποτελεί πλήρη διαστρέβλωση των απόψεων μου! Έχω αναφέρει ρητά ότι δεν αντιστρέφονται όλες οι συναρτήσεις!Στη δημοσίευση του Κυριακοπουλου “μαθηματικουρια χωρίς τσικουδιά δίπλα” το κάνει ο Γιάννης βρίσκοντας τη συνάρτηση υ-x.για να εκφράσει τη δύναμη Λαπλας συναρτήσει της θέσης,x. Εγώ εκεί ανέφερα συγκεκριμένο παράδειγμα για να τεκμηριώσω ότι αυτό δεν γίνεται σε κάθε περίπτωση! Ξέρω πολύ καλά τις φυσικές έννοιες και τις μαθηματικές διεργασίες για να κάνω αυτά τα απαράδεκτα που λες για μένα! Ο ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΣΤΡΕΒΛΩΣΗΣ. Πρόκειται για χτυπήματα κάτω από τη μέση!
Τώρα με αποκαλείς και μεγάλο διαστρεβλωτή Γιώργο;
Έγραψες στην πρώτη σχετική ανάρτησή σου αναφερόμενος στην εξαναγκασμένη ταλάντωση εδώ:
Μιλάς για την εξαναγκασμένη ταλάντωση, που μόνος σου ζητάς να αποδειχθεί ότι η δύναμη του διεγέρτη είναι χρονοεξαρτώμενη (F=Foημ(ωδt+θ), στην συνέχεια την “κρύβεις κάτω από το χαλί” δουλεύεις με βάση την εξίσωση κίνησης και από την εξίσωση κίνησης, βγάζεις την συνισταμένη και δηλώνεις ότι είναι συντηρητική, επειδή ικανοποιεί την εξίσωση F=-Dx!
Ξεχνώντας ότι μέσα σε αυτήν περιλαμβάνονται δύο μη συντηρητικές δυνάμεις…
Αλλά τώρα τι ψάχνουμε.
Χθες έγραψες παραπάνω:
“Και επειδή η τριβή λόγω της μαθηματικής της έκφρασης είναι συντηρητική κάνουμε “έγκλημα” να θεωρήσουμε ότι παραμένει στο σώμα μέχρι το τέλος της κίνησης με τη μορφή δυναμικής ενέργειας;; ”
Η τριβή ολίσθησης είναι, λόγω της μαθηματικής της έκφρασης!!! συντηρητική δύναμη…
Τα είπες όλα! Δεν χρειάζεται να “διαστρεβλώσω” εγώ κάτι…
Καλησπέρα Γιώργο,
σε κάλεσα να απαντήσεις σε δύο ερωτήσεις ( μερικά σχόλια πιό πάνω ) και βλέπεις απαγόρευση.
Δύο σχόλια πιό κάτω απαντώ σε δική σου ερώτηση ( με τα λόγια που την έθεσες ) και σου τονίζω την αυτοαναίρεσαη σου οπότε βλέπεις ότι σε κατηγορώ ως εγκληματία.
Εχεις κάτι να απαντήσεις στις ερωτήσεις των δύο σχολίων μου;
Οσο για τα Πανεπιστημιακά Συγγράμματα Θεωρητικής Μηχανικής και τον Feynman που κατέχεις, ενώ εμείς οι υπόλοιποι είμαστε αδαείς, τι να πώ;
Μέρες τώρα σε προκαλεί ο Διονύσης με κείμενο του κ. Χατζηδημητρίου, που εσύ ανέβασες, που τον τιμάς τόσο πολύ όπως γράφεις και απάντηση δεν δίνεις.
Εγώ πάντως δεν γελάω μαζί σου αλλά θλίβομαι.
καλησπέρα σε όλους,
καταβάλλω προσπάθεια να παρακολουθήσω τη συζήτηση (και δεν ευθύνεται, βέβαια, μόνο το ατέρμον και αλληλοσυγκρουόμενον αυτής…)
έχω γράψει και παλιότερα “εν αρχή ην ο ορισμός”, αυτός ο πρωταρχικός, ο μοναδικός και ο παντοδύναμος
για την περίπτωση της ΑΑΤ (ΓΑΤ, το σωστότερο, κατά τη δική μου άποψη) σε ποιο σημείο κάποιου επίσημου σχολικού βιβλίου είναι αυτός γραμμένος;
νομίζω πουθενά!
οπότε και συζητούμε για μια κίνηση που δεν γνωρίζουμε τί είναι, διότι αυτή δεν έχει ορισθεί!
(η σχέση που πολλές φορές χρησιμοποιείται, ΣF=-Dx, είναι κριτήριο, είναι προϋπόθεση, δεν είναι ορισμός)
Καλημέρα σας. Διονύση, ερμηνεύεις λανθασμένα τον Ι.Χατζηδημητριου ! Το x ή το r δεν είναι μια οποιαδήποτε θέση στον χώρο, αλλά η θέση του υλικού σημείου! Αυτή που εκφράζεται από την εξίσωση θέσης – χρόνου x= x(t)! Είναι το ίδιο x με αυτό που υπάρχει στη διαφορική εξίσωση που προκύπτει από τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα m d^2x/dt^2 =F(x) !!! Είναι τόσο καθαρό στο απόσπασμα που δημοσίευσα!!! Και καλά εσύ.Κανενας άλλος από αυτούς που αλληλοσυγχαιρεστε δεν το κατάλαβε;;; Και εσύ όπως και ο Γιάννης και όσοι άλλοι συνεχαιραν τον Γιάννη στη περιβόητη πλέον “μαθηματικουρια” του, δεν κατανοήσετε το απόσπασμα Χατζηδημητρίου αλλιώς θα γνωρίζατε ότι εφαρμόζοντας τη σχέση Κ+U=E=σταθ θα κατέληγε στην ίδια σχέση υ-x με αυτή που κατέληξε ξεκινώντας από τις εξισώσεις της κινηματικής και θα τον προστατεύσετε!!! Γιατί αυτός ήταν ο μέγας σκοπός της ανάρτησης!! Να προκύψει μια άλλη σχέση υ-x . Και από την πρεμουρα σας αυτή δεν είδατε τα τρία (!!) μαθηματικά λάθη του!! Η κατανόηση σε βάθος λοιπόν του αποσπάσματος Χατζηδημητρίου θα σε-σας προστάτευαν από όλα αυτά! Τελικά Διονύση έχω ακόμη την απορία: Επιμένεις ακόμη και σήμερα ότι στην ανάρτηση του Θοδωρή μπορεί κανείς να επιχειρεί να αποδείξει τη σχέση ΣF=-Dx ενώ λόγω τριβής υπάρχουν άπειρες θέσεις ισορροπίας;;;
Καλημέρα Γιώργο.
Έχω την κακή συνήθεια να απαντώ, όταν μου θέτουν ερωτήματα.
Δεν κατάλαβα τι είναι το x!!! Είναι η θέση του υλικού σημείου; Προφανώς, ποιος είπε το αντίθετο; Αλλά είναι επίσης ένα σημείο του χώρου, ελπίζω να μην διαφωνείς, στο οποίο γεωμετρικό σημείο, βρίσκεται το υλικό σημείο. Όταν λοιπόν μιλάμε για δύναμη που εξαρτάται από την θέση, αυτή είναι η θέση ενός σημείου στο χώρο. Και κάθε φορά, που το υλικό σημείο θα βρίσκεται στην θέση αυτή x (ανεξάρτητα από την κίνηση που εκτελεί και την εξίσωση κίνησής του), θα πρέπει να δέχεται πάντα την ίδια δύναμη και να έχει την ίδια δυναμική ενέργεια. Περισσότερα στα σχόλια, εδώ και εδώ.
Να το διατυπώσω με άλλα λόγια; Δεν είναι η συγκεκριμένη κίνηση και η εξίσωσή της, που θα καθορίσει τι συμβαίνει με μια δύναμη και αν είναι ή όχι συντηρητική. Μια δύναμη είναι ή δεν είναι συντηρητική ανεξάρτητα της κίνησης που το σώμα πραγματοποιεί. Ανεξάρτητα αν παραμένει ακίνητο ή κινείται και με την επίδραση και άλλων δυνάμεων συντηρητικών ή μη! Το βάρος είναι συντηρητική δύναμη, είτε το σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση, είτε πέφτει στον αέρα, είτε ανεβαίνει κατακόρυφα, με την επίδραση κάποιας άλλης κατακόρυφης δύναμης, είτε εκτελεί πλάγια βολή.
Δεν ξεκινάμε από την εξίσωση μιας κίνησης για να διαπιστώσουμε αν είναι η όχι συντηρητική δύναμη!!!
Όσον για τις άπειρες θέσεις ισορροπίας, λυπάμαι, αλλά δεν ακούς Γιώργο τι σου λένε. Δεν υπάρχει μια κίνηση με άπειρες θέσεις ισορροπίας. Η κίνηση αυτή αποτελείται από διαδοχικές κινήσεις (μην μου πεις ότι δεν μπορώ να έχω διαδοχικές κινήσεις, ένα σώμα να εκτελεί ΕΟΚ και μετά να συνεχίζει με αατ ή με ΕΟΜΚ…;).
Κάθε μια τέτοια κίνηση, αποτελεί ένα τμήμα μιας ταλάντωσης (τμήμα Γιώργο, δεν είναι ανάγκη να εκτελέσει πλήρως την ταλάντωση…) και αυτή η ταλάντωση έχει μια και μόνο μια θέση ισορροπίας…
Τέλος, όσον αφορά τις λάθος πράξεις σε μια ανάρτηση του Γιάννη, νομίζω δεν είναι και πολύ συναδελφικό, το να κάνουμε σημαία, ένα υπολογιστικό λάθος κάποιου και να το διατυμπανίζουμε…
Διονύση πέρα από συμβολισμούς άλλο η χωρική συντεταγμένη x ενός μονοδιάστατου συστήματος αναφοράς x’Οx και άλλο θέση x=x(t) του υλικού σημείου !! Δεν ταυτίζονται αυτά τα δύο!!! Γιατί οι χωρικές συντεταγμένες x,y, z ή r, φ, θ στην κλασική φυσική είναι ανεξάρτητες του χρόνου t ενώ η θέση x του υλικού σημείου ως φυσικό μέγεθος προφανώς εξαρτάται από τον χρόνο!!!( x=f(t)). Ποια η τεράστια πρακτική συνέπεια αυτού;;; Στη λύση της διαφορικής εξίσωσης md^2x/dt^2= F(x’) το x στο 1ο μέλος είναι η θέση x= x(t) του υλικού σημείου ενώ στο 2ο μέλος το x’ έστω ότι είναι η χωρική συντεταγμένη και όχι η θέση x!!! Τότε όμως στη διαδικασία της παραγώγισης ή ολοκλήρωσης ως προς τον χρόνο το x’ θα έχει τη θέση σταθεράς λόγω της ανεξαρτησίας του x’ από το t!!! Σε αντίθεση με τη θέση x που η 1η παραγωγός της ως προς τον χρόνο είναι η ταχύτητα και η 2η η επιτάχυνση!! ΠΡΟΣΟΧΗ! ΠΡΟΣΟΧΗ! Η σύγχιση ανάμεσα σε αυτές τις δύο έννοιες δημιουργεί όπως αντιλαμβάνεσαι τεράστια προβλήματα!!! Τα μαθηματικά λάθη στη μαθηματικουρια είναι πράγματι το έλασσον . Απλά μου έκανε εντύπωση πως δεν τα είδατε τόσα μάτια που αλληλουποστηριζεστε. Τα μείζονα θέματα είναι οι παρανοήσεις σε θεμελιώδεις έννοιες της Φυσικής!!!
Παραδίδομαι…
τι άλλο να πω;
Η διαφορά είναι μεταξύ της θέσης του υλικού σημείου x και της συντεταγμένης x του άξονα x από την οποία περνά το σώμα…
Πασο!!!
Άλλωστε ως γνωστό έχουμε παρανοήσεις!!!
Οπως ότι δεν δεχόμαστε ως συντηρητική δύναμη την τριβή ολίσθησης και δε την συνδέουμε με την δυναμική της ενέργεια.
Μπορουμε τώρα Γιώργο να μας αφήσεις στις παρανοήσεις μας;
Δέχομαι προφανώς Διονύση ότι άλλο το σημείο του χώρου και οι χωρικές συντεταγμένες του, και άλλο προφανώς το υλικό σημείο και η θέση του. Και ότι μια δύναμη ασκείται σε υλικά σημεία η σώματα εν γένει και όχι σε σημεία του χώρου.Θα επιμείνω όμως ότι το νόημα του αποσπάσματος Χατζηδημητρίου δεν είναι αυτό που εσύ του αποδίδεις. Η έννοια της δυναμικής ενέργειας αφορά μια συγκεκριμένη κίνηση . Και η κίνηση καθορίζεται από τις δυνάμεις και τις αρχικές συνθήκες.Ξερω που αναφέρεσαι αλλά αυτό δεν είναι η περίπτωση της ευθύγραμμης κίνησης στην οποία αναφέρεται το απόσπασμα Χατζηδημητρίου. Θα κάνω νέα δημοσίευση και ευελπιστώ να συμφωνήσουμε.