by 
Στο σχήμα φαίνεται ένα σώμα που μπορεί να κινείται πάνω σε ευθεία γραμμή. Η συνισταμένη, Foλ, των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι σταθερή και διευθύνεται κατά μήκος της ευθείας της κίνησης του σώματος.
Φυσική
Ανεξάρτητα από τη φύση των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, ισχύει ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, δηλαδή:
Foλ = ma (1)
Μαθηματικά
Επειδή η Foλ είναι σταθερή, από την Εξ. (1) προκύπτουν οι εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης. Επιλέγουμε τη θετική κατεύθυνση του άξονα των θέσεων x κατά την κατεύθυνση της Fολ και, απαλείφοντας τον χρόνο και από τις εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης, παίρνουμε:
Fολ (x2 − x1) = 1/2 mυ22-1/2mυ12 ⇒
Fολ x2 − Fολ x1 = 1/2 mυ22-1/2mυ12 (2)
Θέτοντας: −Foλ x ≡ U (x) η Εξ. (2) παίρνει τη μορφή:
−U (x2) − (−U (x1)) = 1/2 mυ22− 1/2 mυ12⇒
−U (x2) + U (x1) = 1/2 mυ22 − 1/2 mυ12 ⇒
U (x2) + 1/2 mυ22 = U (x1) + 1/2 mυ12 (3)
Πειραματικός Έλεγχος
Η Εξ. (3) είναι μια σχέση μεταξύ μετρούμενων μεγεθών και γι’ αυτό μπορεί να ελεγχθεί πειραματικά.
Γλώσσα
- Όταν η ποσότητα 1/2 mυ2-1/2mυ2 εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος, τη δύναμη την ονομάζουμε διατηρητική. Από την Εξ. (2) προκύπτει ότι στην περίπτωση που εξετάζουμε η ποσότητα 1/2 mυ22-1/2mυ12 εξαρτάται μόνο από τις ποσότητες x1 και x2, δηλαδή από την αρχική και την τελική θέση του σώματος. ́Άρα η Foλ είναι διατηρητική δύναμη.
- Την ποσότητα 1/2 mυ2 την ονομάζουμε κινητική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με K.
- Την ποσότητα U(x) την ονομάζουμε δυναμική ενέργεια.
- Την ποσότητα U + K την ονομάζουμε μηχανική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με Eμηχ.
- Άρα η Εξ.(3) παίρνει τη μορφή:
Eμ,τελ = Eμ,τελ (4)
Αυτή την εξίσωση την ονομάζουμε αρχή διατήρησης της μηχανικής
ενέργειας.
Συμπέρασμα
Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Εξ. (4)) προήλθε, με μαθηματική και γλωσσική επεξεργασία, από το 2ο νόμο του Νεύτωνα. Αυτή η επεξεργασία δεν επηρέασε τη χαρακτηριστική ιδιότητα του 2ου νόμου του Νεύτωνα, ότι δηλαδή ο 2ος νόμος του Νεύτωνα ισχύει για κάθε είδος δύναμης.
Άρα η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει για κάθε είδος σταθερής δύναμης καθώς και για κάθε είδος των συνιστωσών της, ακόμα και όταν μία από αυτές είναι η τριβή.
Σημείωση
Τους όρους διατηρητική δύναμη, δυναμική ενέργεια και μηχανική ενέργεια καθώς και την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχει καθιερωθεί να τους χρησιμοποιούμε μόνο για τη βαρυτική δύναμη, την ηλεκτρική δύναμη και τη δύναμη του ελατηρίου.
Στην παρούσα ανάρτηση διατύπωσα με σαφήνεια τα βήματα με τα οποία καταλήγουμε στο συμπέρασμα που περιλαμβάνεται σε αυτή ώστε καθένας να μπορεί να επισημάνει λάθη αν υπάρχουν.
Διευκρίνιση: Επειδή επανέρχεται το ζήτημα της αντιμετώπισης “του θέματος της διδασκαλίας της ενέργειας και την σύγχυση που προκαλούν οι ιδέες αυτές.”, ουδέποτε υποστήριξα ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε στη διδασκαλία μας τα βήματα που περιγράφονται στην ανάρτηση. Αντιθέτως υποστήριξα επανειλημμένως ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε τον καθιερωμένο τρόπο. Γιατί λοιπόν μου αποδίδονται απόψεις που δεν έχω διατυπώσει;
Ωστόσο πρέπει να γνωρίζουμε πολύ περισσότερα πράγματα γι’ αυτό που πρόκειται να διδάξουμε από αυτό που τελικά θα διδάξουμε. Κι αυτή είναι η αξία της παρούσας ανάρτησης.
Ο Στάθης Λεβέτας σε σχόλιό του εδώ γράφει, αναφερόμενος προς εμένα: “Θα ήθελα στο σημείο αυτό, να σταθείς ιδιαίτερα στο ότι το βάρος συμπεριφέρεται τελείως διαφορετικά.”
Στην εικόνα φαίνονται τα βήματα που ακολούθησα για την απόδειξη που αφορά τη σταθερή δύναμη, αφού αντικατέστησα τη σταθερή δύναμη με το βάρος. Προκύπτει λοιπόν ότι το βάρος συμπεριφέρεται ακριβώς όπως η σταθερή δύναμη.
Ανδρέα το βάρος συμπεριφέρεται σε οποιαδήποτε διαδρομή όπως γράφεις (και στο παράδειγμα της χάντρας και στην διαδρομή c του τελευταίου σχολίου μου), αλλά η δύναμη F συμπεριφέρεται έτσι μόνον στην διαδρομή ΑΓ, όχι στην c (εδώ αναφέρομαι μόνο στο προηγούμενο σχόλιό μου).
Επιμένεις να αγνοείς το για κάθε διαδρομή.
Το για κάθε κάνει το βάρος συντηρητική δύναμη και η μη ικανοποίηση του για κάθε κάνει την F μη συντηρητική.
Συνεπώς το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν δείχνει κάτι.
Επιπλέον δεν απαντάς στο πώς ασκείται η F, με ποιο μηχανισμό. Αυτός καθιστά την δύναμη μη συντηρητική, ενώ ο “μηχανισμός” του βάρους την καθιστά συντηρητική (το ομογενές βαρύτιμο πεδίο είναι μια εξαιρετική προσέγγιση του βαρυτικού πεδίου της γης, κοντά στην επιφάνειά της).
Εδώ υπάρχει απάντηση στο παραπάνω σχόλιο του Στάθη Λεβέτα.
Ανδρέα σου έγραψα ότι μετά τη σχέση (5)….
Μετά όμως ονομάζεις “δυναμική ενέργεια” το ψευδοέργο!!
Η δυναμική ενέργεια έχει αξία όταν είναι ίση με το έργο που απαιτείται για να οδηγήσουμε το σώμα σε μια θέση. Για να πάμε όμως το σώμα στη θέση x απαιτείται έργο -F.x και όχι έργο -Fολ.x=-(2F/3),x. Το ξαναέγραψα και δεν σχολίασες.
Το λάθος σου είναι ότι ονομάζεις “δυναμική ενέργεια” κάτι που δεν δίνει το έργο.
Άλλο F.x και άλλο (2F/3).x
Γεια σου Αντρέα.
Δυο σημεία όπου σε βεβαιώνω μου προκαλούν απορία και δεν θεωρώ ότι μπορώ να τα αποδεχθώ.
Ένα μεθοδολογικό.
Παρακάτω είναι η αρχή και το τέλος της απόδειξής σου.
Νομίζω ξεκινάς από μια σχέση ως δεδομένη, για να την «αποδείξεις» στην συνέχεια.
Ένα ουσίας.
Η ερώτησή μου ήταν αν θεωρείς ως βασική σχέση μεταξύ δύναμης και δυναμικού
την F(x)=- U(x)/x -που την επαναλαμβάνεις και εδώ-
ή την F(x)=- dU(x)/dx
Υποθέτω δεν αμφισβητείς ότι δεξιά μέλη είναι σε κάθε περίπτωση διαφορετικές συναρτήσεις.
Άρη καλησπέρα.
Στην πρώτη εξίσωση είχα ξεχάσει το σύμβολο “d” της παραγώγισης. Στην εικόνα που φαίνεται στο παρόν σχόλιο υπάρχει η σωστή έκφραση.
Εδώ εξετάζεται η εξής περίπτωση:
Ένας κύλινδρος κυλά, χωρίς να ολισθαίνει, με την επίδραση μιας σταθερής συνισταμένης, δύναμης, Fολ, η οποία προκύπτει από όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Ο κύλινδρος κινείται κατά μήκος της διεύθυνσης της συνισταμένης.
Γιάννη εδώ γράφεις σχετικά:
“Ανδρέα σου έγραψα ότι μετά τη σχέση (5)….
Μετά όμως ονομάζεις “δυναμική ενέργεια” το ψευδοέργο!!
Η δυναμική ενέργεια έχει αξία όταν είναι ίση με το έργο που απαιτείται για να οδηγήσουμε το σώμα σε μια θέση. Για να πάμε όμως το σώμα στη θέση x απαιτείται έργο -F.x και όχι έργο -Fολ.x=-(2F/3),x. Το ξαναέγραψα και δεν σχολίασες.
Το λάθος σου είναι ότι ονομάζεις “δυναμική ενέργεια” κάτι που δεν δίνει το έργο.
Άλλο F.x και άλλο (2F/3).x”
Απάντηση
Για το κύλινδρο αποδείχθηκε ότι η ποσότητα U(xcm)+1/2mυcm^2 μένει σταθερή, όπου U(xcm)=-Fολ xcm. Μέχρι αυτό το σημείο δεν υπάρχει κάποια ένσταση. Ένσταση υπάρχει στο γλωσσικό κομμάτι, δηλαδή αν μπορούμε να ονομάσουμε τη συνάρτηση U(xcm) δυναμική ενέργεια. Όπως ήδη έχω αναφέρει, αυτό δεν συνηθίζεται. Ωστόσο όπως και αν ονομάσουμε τη U(xcm), κατά την κίνηση του κυλίνδρου η ποσότητα U(xcm)+1/2mυcm^2 μένει σταθερή και αυτό δεν προκύπτει από τη γλώσσα που χρησιμοποιούμε.
Ανδρέα το ΘΜΚΕ λέει ότι το ψευδοέργο της συνισταμένης (Fολ.dxcm) είνει ίσο με τη στοιχειώδη μεταβολή της ποσότητας 1/2Μολ.Vcm^2.
Δεν ονομάζεται η πρώτη ποσότητα “έργο” ούτε η δεύτερη “κινητική ενέργεια”.
Το καλό με τις συζητήσεις αυτές είναι ότι δίνεις ιδέες.
Ετοιμάζω άλλη μία με λάστιχο, στην οποία θα ορίσω έτσι (όπως εσύ) τις δύο ενέργειες.
Το αποτέλεσμα θα είναι επιεικώς περίεργο.
Και τι έγινε που μένει σταθερή η ποσότητα U(xcm)+1/2mυcm^2;
Απέδωσες δυναμική ενέρgεια -Τ.xcmστην στατική τριβή, ενώ το έργο της είναι μηδέν.
Το -Τ.xcm είναι το ψευδοέργο της.
Ονόμασέ την “ψευδοδυναμική ενέργεια” ή “δυναμική ψευδοενέργεια”.
Τη στιγμή που μιλάμε μένει σταθερή η ποσότητα m.g.H +1/2 M.V^2 όπου m η μάζα της καρέκλας μου, Μ η δική μου,V η ταχύτητα της τηλεόρασης και Η το ύψος του παταριού.
Σε J μετριέται η σταθερή αυτή ποσότητα αλλά δεν έχει κανένα νόημα.
Γιάννη καλημέρα
Στην παρούσα ανάρτηση με τη βοήθεια το 2ου νόμου του Νεύτωνα αποδείχθηκε ότι κατά την κίνηση του σώματος το άθροισμα U(xcm)+1/2mυcm^2 μένει σταθερό. Δηλαδή όταν αυξάνεται ο ένας όρος του αθροίσματος ελαττώνεται ο άλλος όρος και αντιστρόφως.
Σε σχόλιό σου που υπάρχει εδώ αναφέρεις τα εξής:
((Και τι έγινε που μένει σταθερή η ποσότητα U(xcm)+1/2mυcm^2;…Τη στιγμή που μιλάμε μένει σταθερή η ποσότητα m.g.H +1/2 M.V^2 όπου m η μάζα της καρέκλας μου, Μ η δική μου,V η ταχύτητα της τηλεόρασης και Η το ύψος του παταριού.))
Στη δεύτερη περίπτωση ωστόσο, αν ελαττωθεί ο ένας όρος του αθροίσματος, π.χ. αν ελαττωθεί το ύψος του παταριού, δεν είναι βέβαιο ότι θα αυξηθεί ο άλλος όρος, π.χ. η ταχύτητα της τηλεόρασης.