by 
Στο σχήμα φαίνεται ένα σώμα που μπορεί να κινείται πάνω σε ευθεία γραμμή. Η συνισταμένη, Foλ, των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι σταθερή και διευθύνεται κατά μήκος της ευθείας της κίνησης του σώματος.
Φυσική
Ανεξάρτητα από τη φύση των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, ισχύει ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, δηλαδή:
Foλ = ma (1)
Μαθηματικά
Επειδή η Foλ είναι σταθερή, από την Εξ. (1) προκύπτουν οι εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης. Επιλέγουμε τη θετική κατεύθυνση του άξονα των θέσεων x κατά την κατεύθυνση της Fολ και, απαλείφοντας τον χρόνο και από τις εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης, παίρνουμε:
Fολ (x2 − x1) = 1/2 mυ22-1/2mυ12 ⇒
Fολ x2 − Fολ x1 = 1/2 mυ22-1/2mυ12 (2)
Θέτοντας: −Foλ x ≡ U (x) η Εξ. (2) παίρνει τη μορφή:
−U (x2) − (−U (x1)) = 1/2 mυ22− 1/2 mυ12⇒
−U (x2) + U (x1) = 1/2 mυ22 − 1/2 mυ12 ⇒
U (x2) + 1/2 mυ22 = U (x1) + 1/2 mυ12 (3)
Πειραματικός Έλεγχος
Η Εξ. (3) είναι μια σχέση μεταξύ μετρούμενων μεγεθών και γι’ αυτό μπορεί να ελεγχθεί πειραματικά.
Γλώσσα
- Όταν η ποσότητα 1/2 mυ2-1/2mυ2 εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος, τη δύναμη την ονομάζουμε διατηρητική. Από την Εξ. (2) προκύπτει ότι στην περίπτωση που εξετάζουμε η ποσότητα 1/2 mυ22-1/2mυ12 εξαρτάται μόνο από τις ποσότητες x1 και x2, δηλαδή από την αρχική και την τελική θέση του σώματος. ́Άρα η Foλ είναι διατηρητική δύναμη.
- Την ποσότητα 1/2 mυ2 την ονομάζουμε κινητική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με K.
- Την ποσότητα U(x) την ονομάζουμε δυναμική ενέργεια.
- Την ποσότητα U + K την ονομάζουμε μηχανική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με Eμηχ.
- Άρα η Εξ.(3) παίρνει τη μορφή:
Eμ,τελ = Eμ,τελ (4)
Αυτή την εξίσωση την ονομάζουμε αρχή διατήρησης της μηχανικής
ενέργειας.
Συμπέρασμα
Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Εξ. (4)) προήλθε, με μαθηματική και γλωσσική επεξεργασία, από το 2ο νόμο του Νεύτωνα. Αυτή η επεξεργασία δεν επηρέασε τη χαρακτηριστική ιδιότητα του 2ου νόμου του Νεύτωνα, ότι δηλαδή ο 2ος νόμος του Νεύτωνα ισχύει για κάθε είδος δύναμης.
Άρα η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει για κάθε είδος σταθερής δύναμης καθώς και για κάθε είδος των συνιστωσών της, ακόμα και όταν μία από αυτές είναι η τριβή.
Σημείωση
Τους όρους διατηρητική δύναμη, δυναμική ενέργεια και μηχανική ενέργεια καθώς και την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχει καθιερωθεί να τους χρησιμοποιούμε μόνο για τη βαρυτική δύναμη, την ηλεκτρική δύναμη και τη δύναμη του ελατηρίου.
Στην παρούσα ανάρτηση διατύπωσα με σαφήνεια τα βήματα με τα οποία καταλήγουμε στο συμπέρασμα που περιλαμβάνεται σε αυτή ώστε καθένας να μπορεί να επισημάνει λάθη αν υπάρχουν.
Διευκρίνιση: Επειδή επανέρχεται το ζήτημα της αντιμετώπισης “του θέματος της διδασκαλίας της ενέργειας και την σύγχυση που προκαλούν οι ιδέες αυτές.”, ουδέποτε υποστήριξα ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε στη διδασκαλία μας τα βήματα που περιγράφονται στην ανάρτηση. Αντιθέτως υποστήριξα επανειλημμένως ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε τον καθιερωμένο τρόπο. Γιατί λοιπόν μου αποδίδονται απόψεις που δεν έχω διατυπώσει;
Ωστόσο πρέπει να γνωρίζουμε πολύ περισσότερα πράγματα γι’ αυτό που πρόκειται να διδάξουμε από αυτό που τελικά θα διδάξουμε. Κι αυτή είναι η αξία της παρούσας ανάρτησης.
Ο Στάθης Λεβέτας σε σχόλιό του εδώ γράφει, αναφερόμενος προς εμένα: “Θα ήθελα στο σημείο αυτό, να σταθείς ιδιαίτερα στο ότι το βάρος συμπεριφέρεται τελείως διαφορετικά.”
Στην εικόνα φαίνονται τα βήματα που ακολούθησα για την απόδειξη που αφορά τη σταθερή δύναμη, αφού αντικατέστησα τη σταθερή δύναμη με το βάρος. Προκύπτει λοιπόν ότι το βάρος συμπεριφέρεται ακριβώς όπως η σταθερή δύναμη.
Ανδρέα το βάρος συμπεριφέρεται σε οποιαδήποτε διαδρομή όπως γράφεις (και στο παράδειγμα της χάντρας και στην διαδρομή c του τελευταίου σχολίου μου), αλλά η δύναμη F συμπεριφέρεται έτσι μόνον στην διαδρομή ΑΓ, όχι στην c (εδώ αναφέρομαι μόνο στο προηγούμενο σχόλιό μου).
Επιμένεις να αγνοείς το για κάθε διαδρομή.
Το για κάθε κάνει το βάρος συντηρητική δύναμη και η μη ικανοποίηση του για κάθε κάνει την F μη συντηρητική.
Συνεπώς το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν δείχνει κάτι.
Επιπλέον δεν απαντάς στο πώς ασκείται η F, με ποιο μηχανισμό. Αυτός καθιστά την δύναμη μη συντηρητική, ενώ ο “μηχανισμός” του βάρους την καθιστά συντηρητική (το ομογενές βαρύτιμο πεδίο είναι μια εξαιρετική προσέγγιση του βαρυτικού πεδίου της γης, κοντά στην επιφάνειά της).
Εδώ υπάρχει απάντηση στο παραπάνω σχόλιο του Στάθη Λεβέτα.
Στην εικόνα δίνεται απάντηση σε σχόλιο του Άρη Αλεβίζου που υπάρχει εδώ.
Επίσης στο ίδιο σχόλιο αναφέρεται το εξής:
“Όλες οι πανεπιστημιακές σημειώσεις έχουν την εξής διάρθρωση της ύλης, όσον αφορά τη μελέτη των δυνάμεων κατά το είδος τους.
1.1 Σταθερές δυνάμεις
1.2 Δυνάμεις εξαρτώμενες από τον χρόνο
1.3 Δυνάμεις εξαρτώμενες από την ταχύτητα
1.4 Δυνάμεις εξαρτώμενες από τη θέση (όπου και οι διατηρητικές)
Κανένα δεν εντάσσει γενικά τις πρώτες στις τελευταίες. Σημαίνει κάτι αυτό κατά την άποψή σου;”
Απάντηση: Δεν έχω άποψη.
Καλησπέρα Ανδρέα.
Έγραφε ο Γιαλαμάς σε ποιηματάκι του:
-Ήτοι βαδίζοντας ως θα εβάδιζεν αν ήτο λαίδη.
Ο σερ όμως δεν ήταν λαίδη.
Γράφεις κάτι ανάλογο:
-Κινείται ως εάν ήταν υλικό σημείο και δεχόταν τη δύναμη F και μία ίση με το 1/3 της, αντίθετης φοράς.
Έτσι έχουμε ένα άθροισμα 1/2 mυ^2 + Fολ.x όπου ο πρώτος δεν είναι κινητική ενέργεια. Ο δεύτερος δεν είναι ίσος με το παραγόμενο έργο (μέχρι τη θέση αναφοράς), δηλαδή δεν είναι δυναμική ενέργεια. Αθροίζουμε και προκύπτει η ολική ενέργεια!!
Έτσι στη θέση 2m αποδίδεις δυναμική ενέργεια ίση με 2F/3.(2m).
Φυσικά δεν είναι τόση μια και για να πάει από τη θέση αναφοράς στην θέση 2m δεν απαιτείται τόσο έργο. Αν δρα συνεχώς η F απαιτείται έργο F.2m και όχι 2F/3.(2m).
Ανδρέα καλησπέρα.
Δεν μπορούμε να συνεννοηθούμε (προφανώς δεν σου το προσάπτω ως σφάλμα, απλά
το διαπιστώνω).
Οι κινήσεις που παρουσιάζεις στα τελευταία σου σχόλια είναι όλες ευθύγραμμες στην διεύθυνση της δύναμης, για αυτό βρίσκεις το αποτέλεσμα που θες.
Αλλά κατά σειρά:
1. Ένα πεδίο δυνάμεων F είναι μία διανυσματική συνάρτηση των χωρικών συντεταγμένων x, y, z.
2. Για να είναι συντηρητικό το πεδίο και να μπορώ να ορίσω δυναμική ενέργεια, η συνάρτηση αυτή πρέπει να μην εμφανίζει ασυνέχειες στο χώρο.
3. Σε ένα συντηρητικό πεδίο ο στροβιλισμός ισούται με το μηδέν, (εξωτερικό γινόμενο του διανυσματικού τελεστή ανάδελτα με το διάνυσμα του πεδίου).
4. Ισοδύναμα το έργο σε κάθε κλειστή διαδρομή (προσοχή στο για κάθε) θα ισούται με το μηδέν.
Όλα τα παραπάνω ισχύουν για την δύναμη του βάρους.
Στο παράδειγμά σου όμως, η δύναμη είναι σταθερά ίση με F στην διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου και μηδέν σε όλα τα όλα σημεία του χώρου.
Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση της δύναμης εμφανίζει ασυνέχεια κατά την μετάβαση από την διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου σε μία οποιαδήποτε άλλη διεύθυνση στο χώρο.
Άρα το πεδίο είναι μη συντηρητικό και δεν μπορείς να ορίσεις δυναμική ενέργεια. Για τον λόγο αυτό το έργο στην διαδρομή ΑΕΔΓΑ του παρακάτω σχήματος δεν ισούται με το μηδέν.
Μπορείς βέβαια να εξετάζεις κινήσεις αυστηρά και μόνο στην διεύθυνση της δύναμης (ήτοι του κεκλιμένου επιπέδου) και να ορίζεις ψευδό –δυναμικά. Αυτό δεν σημαίνει ότι έχεις ορίσει δυναμική ενέργεια η οποία είναι ανεξάρτητη της κίνησης του σώματος και δεν μπορείς να αναφέρεσαι σε διατήρηση της μηχανικής ενέργειας.
Στάθη καλησπέρα.
Στο σχόλιό σου εδώ αναφέρεις: “Οι κινήσεις που παρουσιάζεις στα τελευταία σου σχόλια είναι όλες ευθύγραμμες στην διεύθυνση της δύναμης, για αυτό βρίσκεις το αποτέλεσμα που θες.”
Δεν ισχυρίστηκα ποτέ κάτι διαφορετικό.
Διευκρινίζω: Αυτό που προκύπτει από την απόδειξη που περιλαμβάνεται στην παρούσα ανάρτηση είναι ότι: Για ευθύγραμμες κινήσεις κατά τη διεύθυνση της συνισταμένης δύναμης, όταν η συνισταμένη είναι σταθερή, η ποσότητα -Fολ x + 1/2 m υ^2 μένει σταθερή.
Επίσης, όπως απόδειξα εδώ, αυτή η ποσότητα είναι ενέργεια.
Δε βλέπω κάποια σχέση ανάμεσα στα παραπάνω και σε όσα αναφέρεις για το πεδίο δυνάμεων.
Καλησπέρα Αντρέα
Ότι κάθε σταθερή δύναμη είναι συντηρητική δεν διαφωνώ. Επειδή το σώμα δεν γνωρίζει φυσική θεωρεί τη σταθερή δύναμη ότι οφείλεται σε κάποιο ομογενές βαρυτικό πεδίο.
Η τριβή δεν μπορεί να είναι σταθερή σε κάποια κλειστή διαδρομή διότι ως διάνυσμα δεν θα έχει σταθερή κατεύθυνση. Ζήτησα ένα μόνο ένα παράδειγμα που ένα σώμα κάνει κλειστή διαδρομή και δέχεται σταθερή δύναμη τριβής.
Σημ. Έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον να δώσουμε παραδείγματα σταθερών δυνάμεων για να μην μιλάμε γενικά.
Ανδρέα ουδείς διαφωνεί ότι η συγκεκριμένη ποσότητα παραμένει σταθερή σε ευθύγραμμη κίνηση και ότι έχει διαστάσεις ενέργειας. Αν μείνει εκεί όμως.
Αλλά δυναμική ενέργεια δεν ορίζεται για την σταθερή δύναμη και η μηχανική ενέργεια του σώματος δεν διατηρείται. Ούτε η σταθερή σε μια διεύθυνση δύναμη μπορεί να χαρακτηριστεί ως συντηρητική, όπως το βάρος.
Στάθη ολοκληρώνοντας την απάντησή μου στο πρόσφατο σχόλιό σου συμπληρώνω τα εξής:
Απ’ ό,τι καταλαβαίνω η διαφωνία σου βρίσκεται στο γλωσσικό ζήτημα, που περιγράφεις στο τέλος του σχολίου σου, όπου αναφέρεις τα εξής:
“Μπορείς βέβαια να εξετάζεις κινήσεις αυστηρά και μόνο στην διεύθυνση της δύναμης (ήτοι του κεκλιμένου επιπέδου) και να ορίζεις ψευδό –δυναμικά. Αυτό δεν σημαίνει ότι έχεις ορίσει δυναμική ενέργεια η οποία είναι ανεξάρτητη της κίνησης του σώματος και δεν μπορείς να αναφέρεσαι σε διατήρηση της μηχανικής ενέργειας.”
Πράγματι σε αυτό έχει δοθεί απάντηση από την χρήση της γλώσσας: Έχει καθιερωθεί δυναμική ενέργεια να αποδίδεται μόνο στη βαρυτική δύναμη, στην ηλεκτρική δύναμη και στη δύναμη του ελατηρίου.
Άρα από γλωσσική άποψη καταχρηστικά θα μπορούσαμε να αποδώσουμε δυναμική ενέργεια σε σταθερή δύναμη.
Όχι Ανδρέα, δεν είναι γλωσσικό ζήτημα. Το βάρος είναι συντηρητική δύναμη γιατί προέρχεται από πεδίο, και έχει έργο μηδέν σε κάθε κλειστή διαδρομή.
Επιμένεις να αγνοείς το για κάθε…
Γιάννη (Μπατσαούρα) καλησπέρα.
Νόμιζα ότι είχε αποσαφηνιστεί ότι η τριβή δεν είναι σταθερή δύναμη διότι η φορά της εξαρτάται από τη φορά της κίνησης. Το γεγονός ότι μπορεί να έχει σταθερό μέτρο δεν αρκεί. Άρα δεν εμπίπτει στη περίπτωση της ανάρτησης.
Γιάννη σ’ ευχαριστώ γιατί έδωσες την ευκαιρία να ξεκαθαριστεί αυτό το σημείο ακόμη μία φορά.
Γιάννη Κυριακόπουλε
θα ετοιμάσω μια ολοκληρωμένη απάντηση για το στερεό για να μπορέσουμε να το συζητήσουμε πιο συγκεκριμένα.
Γειά σου Αντρέα. Αν σε συγκεκριμένη ευθύγραμμη κίνηση η φορά της ταχύτητας δεν αλλάζει η τριβή ολίσθησης δεν είναι σταθερή; Επομένως; Τι μας ενδιαφέρει αν σε μια άλλη κίνηση η φορά της κίνησης μπορεί να αλλάζει; Επηρεάζει αυτό την κίνηση που μελετούμε;
O Γιάννης Κυριακόπουλος εδώ θέτει το ερώτημα αν μπορούμε να εφαρμόσουμε την ιδέα που παρουσιάζεται στην παρούσα ανάρτηση και στην περίπτωση της κύλισης στερεού σώματος. Η απάντησή μου περιέχεται στην εικόνα του παρόντος και του επόμενου σχολίου.
Η συνέχεια του σχολίου μου που υπάρχει εδώ φαίνεται στην εικόνα.
Καλημέρα Ανδρέα.
Δεν απαντάς στις ερωτήσεις μου. Ας δούμε τι κάνεις:
Μέχρι τη σχέση (5) λες κάτι που έχω αναφέρει τόσες φορές που θα έχουν βαρεθεί η συνάδελφοι. Ότι Fολ.Δxcm = ΔΚμετ. Δηλαδή ότι το ψευδοέργο των δυνάμεων είναι ίσο με την μεταβολή της μεταφορικής κινητικής ενέργειας. Το ψευδοέργο διότι το έργο της Fείναι F.x (κάποιες φορές x=xcm) και το έργο της τριβής είναι μηδέν.
Μετά όμως ονομάζεις “δυναμική ενέργεια” το ψευδοέργο!!
Η δυναμική ενέργεια έχει αξία όταν είναι ίση με το έργο που απαιτείται για να οδηγήσουμε το σώμα σε μια θέση. Για να πάμε όμως το σώμα στη θέση x απαιτείται έργο -F.x και όχι έργο -Fολ.x=-(2F/3),x. Το ξαναέγραψα και δεν σχολίασες.
Γιάννη σχετικά με το σχόλιό σου που υπάρχει εδώ έγραψα αναλυτικά την απόδειξη που υπάρχει εδώ και εδώ ώστε να υποδείξεις τα σημεία στα οποία υπάρχουν λάθη και να μπορέσω να σου απαντήσω.