by 
Στο σχήμα φαίνεται ένα σώμα που μπορεί να κινείται πάνω σε ευθεία γραμμή. Η συνισταμένη, Foλ, των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι σταθερή και διευθύνεται κατά μήκος της ευθείας της κίνησης του σώματος.
Φυσική
Ανεξάρτητα από τη φύση των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, ισχύει ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, δηλαδή:
Foλ = ma (1)
Μαθηματικά
Επειδή η Foλ είναι σταθερή, από την Εξ. (1) προκύπτουν οι εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης. Επιλέγουμε τη θετική κατεύθυνση του άξονα των θέσεων x κατά την κατεύθυνση της Fολ και, απαλείφοντας τον χρόνο και από τις εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης, παίρνουμε:
Fολ (x2 − x1) = 1/2 mυ22-1/2mυ12 ⇒
Fολ x2 − Fολ x1 = 1/2 mυ22-1/2mυ12 (2)
Θέτοντας: −Foλ x ≡ U (x) η Εξ. (2) παίρνει τη μορφή:
−U (x2) − (−U (x1)) = 1/2 mυ22− 1/2 mυ12⇒
−U (x2) + U (x1) = 1/2 mυ22 − 1/2 mυ12 ⇒
U (x2) + 1/2 mυ22 = U (x1) + 1/2 mυ12 (3)
Πειραματικός Έλεγχος
Η Εξ. (3) είναι μια σχέση μεταξύ μετρούμενων μεγεθών και γι’ αυτό μπορεί να ελεγχθεί πειραματικά.
Γλώσσα
- Όταν η ποσότητα 1/2 mυ2-1/2mυ2 εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος, τη δύναμη την ονομάζουμε διατηρητική. Από την Εξ. (2) προκύπτει ότι στην περίπτωση που εξετάζουμε η ποσότητα 1/2 mυ22-1/2mυ12 εξαρτάται μόνο από τις ποσότητες x1 και x2, δηλαδή από την αρχική και την τελική θέση του σώματος. ́Άρα η Foλ είναι διατηρητική δύναμη.
- Την ποσότητα 1/2 mυ2 την ονομάζουμε κινητική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με K.
- Την ποσότητα U(x) την ονομάζουμε δυναμική ενέργεια.
- Την ποσότητα U + K την ονομάζουμε μηχανική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με Eμηχ.
- Άρα η Εξ.(3) παίρνει τη μορφή:
Eμ,τελ = Eμ,τελ (4)
Αυτή την εξίσωση την ονομάζουμε αρχή διατήρησης της μηχανικής
ενέργειας.
Συμπέρασμα
Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Εξ. (4)) προήλθε, με μαθηματική και γλωσσική επεξεργασία, από το 2ο νόμο του Νεύτωνα. Αυτή η επεξεργασία δεν επηρέασε τη χαρακτηριστική ιδιότητα του 2ου νόμου του Νεύτωνα, ότι δηλαδή ο 2ος νόμος του Νεύτωνα ισχύει για κάθε είδος δύναμης.
Άρα η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει για κάθε είδος σταθερής δύναμης καθώς και για κάθε είδος των συνιστωσών της, ακόμα και όταν μία από αυτές είναι η τριβή.
Σημείωση
Τους όρους διατηρητική δύναμη, δυναμική ενέργεια και μηχανική ενέργεια καθώς και την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχει καθιερωθεί να τους χρησιμοποιούμε μόνο για τη βαρυτική δύναμη, την ηλεκτρική δύναμη και τη δύναμη του ελατηρίου.
Στην παρούσα ανάρτηση διατύπωσα με σαφήνεια τα βήματα με τα οποία καταλήγουμε στο συμπέρασμα που περιλαμβάνεται σε αυτή ώστε καθένας να μπορεί να επισημάνει λάθη αν υπάρχουν.
Διευκρίνιση: Επειδή επανέρχεται το ζήτημα της αντιμετώπισης “του θέματος της διδασκαλίας της ενέργειας και την σύγχυση που προκαλούν οι ιδέες αυτές.”, ουδέποτε υποστήριξα ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε στη διδασκαλία μας τα βήματα που περιγράφονται στην ανάρτηση. Αντιθέτως υποστήριξα επανειλημμένως ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε τον καθιερωμένο τρόπο. Γιατί λοιπόν μου αποδίδονται απόψεις που δεν έχω διατυπώσει;
Ωστόσο πρέπει να γνωρίζουμε πολύ περισσότερα πράγματα γι’ αυτό που πρόκειται να διδάξουμε από αυτό που τελικά θα διδάξουμε. Κι αυτή είναι η αξία της παρούσας ανάρτησης.
Ο Στάθης Λεβέτας σε σχόλιό του εδώ γράφει, αναφερόμενος προς εμένα: “Θα ήθελα στο σημείο αυτό, να σταθείς ιδιαίτερα στο ότι το βάρος συμπεριφέρεται τελείως διαφορετικά.”
Στην εικόνα φαίνονται τα βήματα που ακολούθησα για την απόδειξη που αφορά τη σταθερή δύναμη, αφού αντικατέστησα τη σταθερή δύναμη με το βάρος. Προκύπτει λοιπόν ότι το βάρος συμπεριφέρεται ακριβώς όπως η σταθερή δύναμη.
Ανδρέα το βάρος συμπεριφέρεται σε οποιαδήποτε διαδρομή όπως γράφεις (και στο παράδειγμα της χάντρας και στην διαδρομή c του τελευταίου σχολίου μου), αλλά η δύναμη F συμπεριφέρεται έτσι μόνον στην διαδρομή ΑΓ, όχι στην c (εδώ αναφέρομαι μόνο στο προηγούμενο σχόλιό μου).
Επιμένεις να αγνοείς το για κάθε διαδρομή.
Το για κάθε κάνει το βάρος συντηρητική δύναμη και η μη ικανοποίηση του για κάθε κάνει την F μη συντηρητική.
Συνεπώς το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν δείχνει κάτι.
Επιπλέον δεν απαντάς στο πώς ασκείται η F, με ποιο μηχανισμό. Αυτός καθιστά την δύναμη μη συντηρητική, ενώ ο “μηχανισμός” του βάρους την καθιστά συντηρητική (το ομογενές βαρύτιμο πεδίο είναι μια εξαιρετική προσέγγιση του βαρυτικού πεδίου της γης, κοντά στην επιφάνειά της).
Εδώ υπάρχει απάντηση στο παραπάνω σχόλιο του Στάθη Λεβέτα.
Ζητώ συγγνώμη, δε μπορώ να διορθώσω το σχόλιο τόση ώρα και να μην πω προς τα πάνω, αλλά όπως λέει ο Γρηγόρης ο Μαλάμης, σε οριζόντιο δάπεδο.
Κάθε σταθερή δύναμη είναι σταθερή σε κάθε διαδρομή ακόμα και σε κλειστή διαδρομή του σώματος. Η τριβή δεν ξέρω πως μπορεί να είναι σταθερή σε κάθε κλειστή διαδρομή. Περιμένω ένα τουλάχιστον παράδειγμα.
Γρηγόρη Μαλάμη και Βασίλειε Μπάφα
Αν έχω καταλάβει καλά στο παράδειγμα που έχετε κατά νού θεωρείτε ότι στο σώμα ασκείται μόνο η τριβή.
Αλλά όπως αναφέρει ο Γιάννης Μπατσαούρας: Κάθε σταθερή δύναμη είναι σταθερή σε κάθε διαδρομή ακόμα και σε κλειστή διαδρομή του σώματος. Η τριβή δεν ξέρω πως μπορεί να είναι σταθερή σε κάθε κλειστή διαδρομή.
Άρα: Αν η συνισταμένη μεταβάλλεται ανάλογα με τη φορά της κίνησης, όπως συμβαίνει όταν ασκείται μόνο η τριβή, τότε η ποσότητα −Foλ x δεν είναι συνάρτηση ως προς x, διότι για την ίδια τιμή του x η Fολ είναι διαφορετική, ανάλογα με την κατεύθυνση της κίνησης. Άρα δεν υπάρχει U(x) έτσι ώστε −Foλ x ≡ U (x). και σε αυτή την περίπτωση η απόδειξη δεν ισχύει. Για να ισχύει η απόδειξη πρέπει η δύναμη να είναι σταθερή, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση της κίνησης.
Γιάννη γράφεις:
“Κατόπιν την ποσότητα που συμβόλισες με U αντί με Ζ την ονομάζεις “Δυναμική Ενέργεια”. Έτσι της αποδίδεις ιδιότητες της κανονικής Δυναμικής Ενέργειας, (Θέση ή παραμόρφωση, αποθήκευση, όχι ακαριαίος μηδενισμός κ.λ.π.).
Μια δύναμη από το βόδι στο βοϊδάμαξο συνδέεται με δυναμική ενέργεια, άσχετα αν είναι δεσμική και εξαρτάται από την επιτάχυνση με την οποία κινείται το βόδι.
Σαν να μη φτάνουν αυτά ο ορισμός U=-Fολ.x οδηγεί σε αδιέξοδα όταν έχουμε στερεά σώματα ή (ακόμα χειρότερα) συστήματα σωμάτων.”
Στο εργαστήριο μπορεί να ελεγχθεί η Εξ.(2) και να επιβεβαιωθεί ότι η ποσότητα -Fx+1/2mυ^2 μένει σταθερή. Εδώ τελειώνει η Φυσική.
Σε μονοδιάστατη κίνηση, όπως αυτή στην οποία αναφέρεται η απόδειξη, η ποσότητα -ΣFΔx έχει καθιερωθεί να ονομάζεται δυναμική ενέργεια και να συμβολίζεται με U(x), χωρίς στον ορισμό να γίνεται οποιαδήποτε αναφορά σε ιδιότητές της. Επειδή στην απόδειξη η δύναμη είναι σταθερή, η ποσότητα -ΣFΔx γίνεται -Fx. Επιπλέον την ποσότητα 1/2mυ^2 την ονομάζουμε κινητική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με Κ ενώ το άθροισμά τους το ονομάζουμε μηχανική ενέργεια και το συμβολίζουμε με Εμηχ. Άρα όταν η ποσότητα Fx+1/2mυ^2 μένει σταθερή, σημαίνει ότι η μηχανική ενέργεια μένει σταθερή.
Θα μπορούσαμε να μη χρησιμοποιούμε τους όρους δυναμική ενέργεια, κινητική ενέργεια και μηχανική ενέργεια και να μελετάμε απλώς την ποσότητα Fx+1/2mυ^2.
Γιάννη γράφεις επίσης: Ανδρέα μια παράθεση σχέσεων στο χαρτί μοιάζει με απόδειξη αλλά δεν είναι πάντα απόδειξη.“ Συμφωνώ. Αλλά δεν αυτό δεν συμβαίνει με την παρούσα απόδειξη.
Καλημέρα σας! Ο αείμνηστος καθηγητής της κβαντομηχανικής Μιχαλης Γρυπαιος σε ερώτηση φοιτητών “γιατί να διδασκόμαστε σε τόσο μεγάλο βάθος θέματα κβαντομηχανικής και Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας όταν η μεγάλη πλειοψηφία των αποφοίτων του Φυσικού θα εργαστεί στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση” απαντούσε: “Για να έχεις επάρκεια ως διδάσκων ένα αντικείμενο οι γνώσεις σου επ’ αυτού πρέπει να είναι …δεκαπλάσιες αυτών που αναλαμβάνεις να διδάξεις”! Ως προς αυτό βλέπω να υπάρχει συμφωνία. Σαφής η απόδειξη σου Ανδρέα! Η γνώμη μου όμως για το φλέγον ζήτημα της δυναμικής ενέργειας είναι ότι δεν θα λυθεί οριστικά μέσα από τη μελέτη περιπτώσεων ασκήσεων Λυκείου. Έχουν τη σημασία τους και οι περιπτώσεις αλλά είναι το “δέντρο” . Όχι το “δάσος”. Από όσους παίρνουν θέση επί του θέματος είμαι πιο κοντά στις δικές σου θέσεις. Και αυτοί που παίρνουν σαφή θέση επί του θέματος με τα σχόλια ή τις αναρτήσεις τους, τους τελευταίους δύο περίπου μήνες είναι ελάχιστοι! Κάτω των δέκα. Υπάρχει μια στάση αναμονής θα έλεγα. Και επαναλαμβάνω ότι στα επιστημονικά θέματα, ιδίως της Φυσικής, το τι είναι ορθό ή λανθασμένο δεν είναι θέμα πλειοψηφίας! Όμως προβάλλεται και αυτό ως επιχείρημα!!
Καλημέρα Ανδρέα .
Στην απόδειξη σου αναφέρεσαι στην κίνηση του σώματος υπό την επίδραση της Fολ ανάμεσα σε δύο θέσεις χ2 και χ1 οπότε δεν υπάρχει αλλαγή φοράς κίνησης, όπως και στο σχόλιό μου με την επίδραση μόνο της τριβής.
Συμπεραίνεις λοιπόν :
Άρα: Αν η συνισταμένη μεταβάλλεται ανάλογα με τη φορά της κίνησης, όπως συμβαίνει όταν ασκείται μόνο η τριβή, τότε η ποσότητα −Foλ x δεν είναι συνάρτηση ως προς x, διότι για την ίδια τιμή του x η Fολ είναι διαφορετική, ανάλογα με την κατεύθυνση της κίνησης. Άρα δεν υπάρχει U(x) έτσι ώστε −Foλ x ≡ U (x). και σε αυτή την περίπτωση η απόδειξη δεν ισχύει.”
Μήπως είναι λαθροχειρία το να ονομάζουμε το -Fολχ δυναμική ενέργεια ενώ έχουμε μάθει ήδη ότι αυτό το γινόμενο είναι απλά το έργο που κάνει η Fol;
Η απόδειξη σου δεν είναι τίποτα άλλο παρά το ΘΜΚΕ ( το έγραψε ήδη ο Γιάννης )
Τέλος απαντώντας στο Γιάννη γράφεις:
Σε μονοδιάστατη κίνηση, όπως αυτή στην οποία αναφέρεται η απόδειξη, η ποσότητα -ΣFΔx έχει καθιερωθεί να ονομάζεται δυναμική ενέργεια και να συμβολίζεται με U(x), χωρίς στον ορισμό να γίνεται οποιαδήποτε αναφορά σε ιδιότητές της. .
Αλήθεια πότε και που καθιερώθηκε αυτό κι εγώ ο καψερός πέρασα όλο τον εργασιακό μου βίο με γνωρίζοντας το και άλλα εδίδασκα;
Καλημέρα σε όλους.
Έχω την ίδια απορία με το Γρηγόρη.
Αντρέα, στην απόδειξή σου δεν αναφέρεις τίποτε για κλειστή διαδρομή.
Εννοείς δηλαδή ότι η Fολ που αναφέρεις θα πρέπει να είναι (ρυθμιζόμενη με κάποια Fεξ) σταθερή, ακόμα και αν το σώμα ΔΥΝΗΤΙΚΆ επιστρέψει, οπότε δε σε καλύπτει η περίπτωση της τριβής που αναφέρουμε;
Ακόμη και σε αυτή την περίπτωση, αν το -Fολ επί χ =U(χ) που το λέμε δυναμική ενέργεια, το -(Fεξ + Wχ – Τ) χ = –Fεξ επί χ + Wχ επί χ – Τ επί χ, θεωρούμε ότι δεν αποτελείται από αντίστοιχες δυναμικές ενέργειες;
Άρα τελικά ορίζεις πάλι δυναμική ενέργεια στην τριβή, οπότε συντηρητική οπότε άτοπο;
Γιώργο καλημέρα.
Στόχος τη συγκεκριμένης ανάρτησης, όπως επανειλημμένα έχω αναφέρει, δεν είναι να διδάξουμε τη δυναμική ενέργεια σταθερής δύναμης.
Στόχος της συγκεκριμένης ανάρτησης είναι να υπογραμμιστεί η διάκριση μεταξύ της Φυσικής, που αποκτά κύρος μέσω του πειράματος, των Μαθηματικών, που είναι η ακριβής γλώσσα της Φυσικής, και της φυσικής μας Γλώσσας, δηλαδή της καθομιλουμένης, που μας βοηθά να σκεφτόμαστε με εικόνες: π.χ. η ενέργεια μεταφέρεται, αποθηκεύεται κλπ. Αυτή η διάκριση με έχει βοηθήσει ώστε να μη πελαγοδρομώ όταν μελετώ ή παρουσιάζω θέματα Φυσικής, και γι’ αυτό κάθε φορά εντοπίζω τι είναι Φυσική, τι είναι Μαθηματικά και τι είναι Γλώσσα, έχοντας επίγνωση του ρόλου καθενός από αυτά.
Φοβάμαι ωστόσο ότι θα ξεφύγουμε από το θέμα μας και θα αρχίσουν να γράφονται σχόλια για την άποψή σου: “Και αυτοί που παίρνουν σαφή θέση επί του θέματος με τα σχόλια ή τις αναρτήσεις τους, τους τελευταίους δύο περίπου μήνες είναι ελάχιστοι! Κάτω των δέκα. Υπάρχει μια στάση αναμονής θα έλεγα. Και επαναλαμβάνω ότι στα επιστημονικά θέματα, ιδίως της Φυσικής, το τι είναι ορθό ή λανθασμένο δεν είναι θέμα πλειοψηφίας! Όμως προβάλλεται και αυτό ως επιχείρημα!!“. Ελπίζω να το αποφύγουμε!
Καλημέρα παιδιά.
Ανδρέα περιμένω ακόμα:
Καλημέρα Γιάννη!
Πότε λήγει ο χρόνος μου για να δώσω απάντηση; !
Ανδρέα επιθυμώ η συζήτηση να περιοριστεί στο θέμα της δημοσίευσής σου. Δεν το άρχισα όμως εγώ αυτό. Παρ’ όλα αυτά προσπάθησα να αποσύρω το κομμάτι αυτό αλλά δεν μπόρεσα. Ως παραδείγματα συντηρητικών δυνάμεων και εγώ αυτά αναφέρω. Γιατί αυτά θα συναντήσουν τα παιδιά στο λύκειο. Όχι όμως ότι είναι οι μοναδικές περιπτώσεις. Τι συμβαίνει όμως με τη δύναμη ΣF=-Dx ;; Είναι πάντα συντηρητική ή όχι;;Το μείζον θέμα που προκύπτει είναι αν όλα τα σώματα που αποδεικνύουμε με το γνωστό τρόπο ότι η κίνησή τους είναι αατ, έχουν ή όχι σταθερή ενέργεια! Εγώ ισχυρίζομαι και και έχω την πεποίθηση ότι απέδειξα στην τελευταία δημοσίευσή μου εδώ ότι ναι, η ενέργειά όλων αυτών των σωμάτων παραμένει σταθερή!! Κάποιοι άλλοι λένε όχι! Ότι δεν ισχύει το ίδιο σε όλες τις περιπτώσεις. Τι θα απαντήσουν οι μαθητές μας σε αυτό το ερώτημα αν τεθεί σχετικό θέμα στις πανελλήνιες;;
Γιάννη νομίζω ότι οι εξισώσεις που περιλαμβάνονται στην απόδειξη ισχύουν και για το κέντρο μάζας. Αυτό έλαβες υπόψη σου στο παράδειγμά σου που φαίνεται στην εικόνα. Άρα το συμπέρασμά σου, με βάση την παρούσα ανάρτηση, είναι σωστό.
Ανδρέα δεν είναι δικό μου το συμπέρασμα αλλά δικό σου.
Εγώ εντοπίζω πόσα λάθη βγαίνουν ακολουθώντας όσα γράφεις.
Με τη σειρά:
Δηλαδή εφάρμοσα όσα γράφεις και βγαίνουν τρία (τουλάχιστον) λάθη.
Υπάρχουν δεκάδες αντιπαραδείγματα όπου τα όσα γράφεις οδηγούν σε λάθη.
Είναι εύκολο να παραθέσω και άλλα. Όμως ένα αντιπαράδειγμα αρκεί για να καταρριφθεί ένας ισχυρισμός.
Καλημέρα και καλή εβδομάδα!
Θεωρώ πως σε μία επιστημονική συζήτηση είναι σωστό κάποιος να τοποθετείται μία φορά. Αν κάποιος έχει άποψη μπορεί να την πεί μία φορά και όσοι μας διαβάζουν έχουν την ικανότητα να αξιολογήσουν τις τοποθετήσεις. Υπάρχουν κάποιοι οι οποίοι από φιλοσοφία ή ματαιοδοξία προσφέρουν μόνο φλυαρία και καλλιεργούν εννοιολογική σύγχυση, ας το προσέξουν λίγο!
Γίαννη (Μπατσαούρα)
Γράφεις:
“Υπάρχουν κάποιοι οι οποίοι από φιλοσοφία ή ματαιοδοξία προσφέρουν μόνο φλυαρία και καλλιεργούν εννοιολογική σύγχυση, ας το προσέξουν λίγο!”
Θεωρώ ότι σχόλια με προσωπικές αιχμές, όπως οι παραπάνω, δεν έχουν θέσει σε μια επιστημονική συζήτηση. Ας μην αλλάξουμε λοιπόν θέμα συζήτησης.