by 
Στο σχήμα φαίνεται ένα σώμα που μπορεί να κινείται πάνω σε ευθεία γραμμή. Η συνισταμένη, Foλ, των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι σταθερή και διευθύνεται κατά μήκος της ευθείας της κίνησης του σώματος.
Φυσική
Ανεξάρτητα από τη φύση των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, ισχύει ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, δηλαδή:
Foλ = ma (1)
Μαθηματικά
Επειδή η Foλ είναι σταθερή, από την Εξ. (1) προκύπτουν οι εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης. Επιλέγουμε τη θετική κατεύθυνση του άξονα των θέσεων x κατά την κατεύθυνση της Fολ και, απαλείφοντας τον χρόνο και από τις εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης, παίρνουμε:
Fολ (x2 − x1) = 1/2 mυ22-1/2mυ12 ⇒
Fολ x2 − Fολ x1 = 1/2 mυ22-1/2mυ12 (2)
Θέτοντας: −Foλ x ≡ U (x) η Εξ. (2) παίρνει τη μορφή:
−U (x2) − (−U (x1)) = 1/2 mυ22− 1/2 mυ12⇒
−U (x2) + U (x1) = 1/2 mυ22 − 1/2 mυ12 ⇒
U (x2) + 1/2 mυ22 = U (x1) + 1/2 mυ12 (3)
Πειραματικός Έλεγχος
Η Εξ. (3) είναι μια σχέση μεταξύ μετρούμενων μεγεθών και γι’ αυτό μπορεί να ελεγχθεί πειραματικά.
Γλώσσα
- Όταν η ποσότητα 1/2 mυ2-1/2mυ2 εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος, τη δύναμη την ονομάζουμε διατηρητική. Από την Εξ. (2) προκύπτει ότι στην περίπτωση που εξετάζουμε η ποσότητα 1/2 mυ22-1/2mυ12 εξαρτάται μόνο από τις ποσότητες x1 και x2, δηλαδή από την αρχική και την τελική θέση του σώματος. ́Άρα η Foλ είναι διατηρητική δύναμη.
- Την ποσότητα 1/2 mυ2 την ονομάζουμε κινητική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με K.
- Την ποσότητα U(x) την ονομάζουμε δυναμική ενέργεια.
- Την ποσότητα U + K την ονομάζουμε μηχανική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με Eμηχ.
- Άρα η Εξ.(3) παίρνει τη μορφή:
Eμ,τελ = Eμ,τελ (4)
Αυτή την εξίσωση την ονομάζουμε αρχή διατήρησης της μηχανικής
ενέργειας.
Συμπέρασμα
Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Εξ. (4)) προήλθε, με μαθηματική και γλωσσική επεξεργασία, από το 2ο νόμο του Νεύτωνα. Αυτή η επεξεργασία δεν επηρέασε τη χαρακτηριστική ιδιότητα του 2ου νόμου του Νεύτωνα, ότι δηλαδή ο 2ος νόμος του Νεύτωνα ισχύει για κάθε είδος δύναμης.
Άρα η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει για κάθε είδος σταθερής δύναμης καθώς και για κάθε είδος των συνιστωσών της, ακόμα και όταν μία από αυτές είναι η τριβή.
Σημείωση
Τους όρους διατηρητική δύναμη, δυναμική ενέργεια και μηχανική ενέργεια καθώς και την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχει καθιερωθεί να τους χρησιμοποιούμε μόνο για τη βαρυτική δύναμη, την ηλεκτρική δύναμη και τη δύναμη του ελατηρίου.
Στην παρούσα ανάρτηση διατύπωσα με σαφήνεια τα βήματα με τα οποία καταλήγουμε στο συμπέρασμα που περιλαμβάνεται σε αυτή ώστε καθένας να μπορεί να επισημάνει λάθη αν υπάρχουν.
Διευκρίνιση: Επειδή επανέρχεται το ζήτημα της αντιμετώπισης “του θέματος της διδασκαλίας της ενέργειας και την σύγχυση που προκαλούν οι ιδέες αυτές.”, ουδέποτε υποστήριξα ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε στη διδασκαλία μας τα βήματα που περιγράφονται στην ανάρτηση. Αντιθέτως υποστήριξα επανειλημμένως ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε τον καθιερωμένο τρόπο. Γιατί λοιπόν μου αποδίδονται απόψεις που δεν έχω διατυπώσει;
Ωστόσο πρέπει να γνωρίζουμε πολύ περισσότερα πράγματα γι’ αυτό που πρόκειται να διδάξουμε από αυτό που τελικά θα διδάξουμε. Κι αυτή είναι η αξία της παρούσας ανάρτησης.
Ο Στάθης Λεβέτας σε σχόλιό του εδώ γράφει, αναφερόμενος προς εμένα: “Θα ήθελα στο σημείο αυτό, να σταθείς ιδιαίτερα στο ότι το βάρος συμπεριφέρεται τελείως διαφορετικά.”
Στην εικόνα φαίνονται τα βήματα που ακολούθησα για την απόδειξη που αφορά τη σταθερή δύναμη, αφού αντικατέστησα τη σταθερή δύναμη με το βάρος. Προκύπτει λοιπόν ότι το βάρος συμπεριφέρεται ακριβώς όπως η σταθερή δύναμη.
Ανδρέα το βάρος συμπεριφέρεται σε οποιαδήποτε διαδρομή όπως γράφεις (και στο παράδειγμα της χάντρας και στην διαδρομή c του τελευταίου σχολίου μου), αλλά η δύναμη F συμπεριφέρεται έτσι μόνον στην διαδρομή ΑΓ, όχι στην c (εδώ αναφέρομαι μόνο στο προηγούμενο σχόλιό μου).
Επιμένεις να αγνοείς το για κάθε διαδρομή.
Το για κάθε κάνει το βάρος συντηρητική δύναμη και η μη ικανοποίηση του για κάθε κάνει την F μη συντηρητική.
Συνεπώς το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν δείχνει κάτι.
Επιπλέον δεν απαντάς στο πώς ασκείται η F, με ποιο μηχανισμό. Αυτός καθιστά την δύναμη μη συντηρητική, ενώ ο “μηχανισμός” του βάρους την καθιστά συντηρητική (το ομογενές βαρύτιμο πεδίο είναι μια εξαιρετική προσέγγιση του βαρυτικού πεδίου της γης, κοντά στην επιφάνειά της).
Εδώ υπάρχει απάντηση στο παραπάνω σχόλιο του Στάθη Λεβέτα.
Ανδρέα και στην περίπτωση της άσκησης μου αν επιλέξουμε να ασκήσουμε κατάλληλη δύναμη στο σώμα Σ₁ με φορά προς τα κάτω μπορεί πάλι το σύστημα να κινηθεί με αντίθετη φορά από πριν και με σταθερή επιτάχυνση και αν προσέξουμε τα νούμερα ίδια με πριν. Και στην δίκη σου περίπτωση αν αντιστρέψουμε την φορά κίνησης του σώματος ώστε να κινηθεί με σταθερή επιτάχυνση το σώμα θα πρέπει να μεταβληθεί και η φορά και το μέτρο της F, άρα ούτε και στην δίκη σου περίπτωση εφόσον ασκείται τριβή μπορεί να ισχύει η συγκεκριμένη λογική. Δεν καταλαβαίνω την γενικότητα αφού και στο δικό σου παράδειγμα είσαι αναγκασμένος να μεταβάλλεις την F. Στην δίκη μου περίπτωση απλά στην 1η περίπτωση που αναφέρω δεν απαιτείται άσκηση δύναμης F. Αν θελουμε τα σώματα να κινηθούν με την ίδια επιτάχυνση θα πρέπει να ασκήσουμε δύναμη στο Σ₁ προς τα κάτω και προφανώς με μέτρο διάφορο του μηδενός (και στην δίκη μου περίπτωση απαιτείται μεταβλητή δύναμη).
Θεωρώ Ανδρέα ότι δεν είναι σωστό σε κάθε φαινόμενο που ΣF = σταθερο ≠0 ιδίως στην Α Λυκειου να αποδίδουμε κατα το δοκούν δυναμική ενέργεια. Νομίζω ότι το να μεταβάλλουμε εμείς τις δυνάμεις ώστε να επιτυγχάνουμε σταθερή ΣF ασχέτως της φοράς κίνησης του σώματος δεν μπορεί να αποτελεί μια φυσική διαδικασία που να είμαστε σε θέση να της αποδώσουμε δυναμική ενέργεια.
Γιάννη,
Για το Σ1, στην απόδειξη θέτουμε Fολ = w1-T (με θετική κατεύθυνση προς τα κάτω) και ορίζουμε τη δυναμική ενέργεια ως εξής: U(x) =-(w1-T)x. Τότε η Εξ.(3) ισχύει.
Ομοίως για το Σ2.
Παύλο γράφεις:
Θεωρώ Ανδρέα ότι δεν είναι σωστό σε κάθε φαινόμενο που ΣF = σταθερο ≠0 ιδίως στην Α Λυκειου να αποδίδουμε κατα το δοκούν δυναμική ενέργεια. Νομίζω ότι το να μεταβάλλουμε εμείς τις δυνάμεις ώστε να επιτυγχάνουμε σταθερή ΣF ασχέτως της φοράς κίνησης του σώματος δεν μπορεί να αποτελεί μια φυσική διαδικασία που να είμαστε σε θέση να της αποδώσουμε δυναμική ενέργεια.
Εδώ έχω ήδη διατυπώσει την άποψή μου σε σχέση με αυτό που αναφέρεις παραπάνω:
Διευκρίνιση: Επειδή επανέρχεται το ζήτημα της αντιμετώπισης “του θέματος της διδασκαλίας της ενέργειας και την σύγχυση που προκαλούν οι ιδέες αυτές.”, ουδέποτε υποστήριξα ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε στη διδασκαλία μας τα βήματα που περιγράφονται στην ανάρτηση. Αντιθέτως υποστήριξα επανειλημμένως ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε τον καθιερωμένο τρόπο. Γιατί λοιπόν μου αποδίδονται απόψεις που δεν έχω διατυπώσει;
Ωστόσο πρέπει να γνωρίζουμε πολύ περισσότερα πράγματα γι’ αυτό που πρόκειται να διδάξουμε από αυτό που τελικά θα διδάξουμε. Κι αυτή είναι η αξία της παρούσας ανάρτησης.
Ανδρέα το ότι ονόμασες κάτι “δυναμική ενέργεια” δεν σημαίνει ότι είναι τέτοια.
Μια δυναμική ενέργεια δεν μηδενίζεται ακαριαία αν ακινητοποιηθεί το σώμα.
Αν πιάσω το Σ2 και ακινητοποιηθούν όλα, τότε w1-T=0=>(w1-T).x=0
Τι σόι δυναμική ενέργεια είναι μία που μηδενίζεται ακαριαία χωρίς να αλλάξει η θέση;
(Περιμένω απάντηση για τη γενίκευση στο στερεό).
Ανδρέα το ότι ονόμασες κάτι “δυναμική ενέργεια” δεν σημαίνει ότι είναι τέτοια.
Μια δυναμική ενέργεια δεν μηδενίζεται ακαριαία αν ακινητοποιηθεί το σώμα.
Αν πιάσω το Σ2 και ακινητοποιηθούν όλα, τότε w1-T=0=>(w1-T).x=0
Τι σόι δυναμική ενέργεια είναι μία που μηδενίζεται ακαριαία χωρίς να αλλάξει η θέση;
(Περιμένω απάντηση για τη γενίκευση στο στερεό).
Γιάννη δεν ονόμασα “κάτι” δυναμική ενέργεια. Χρησιμοποίησα τον καθιερωμένο ορισμό: -F x=U(x).
Ο ορισμός δεν περιέχεται οτιδήποτε σχετικό με αυτό που αναφέρεις: Αν πιάσω το Σ2 και ακινητοποιηθούν όλα, τότε w1-T=0=>(w1-T).x=0
Τι σόι δυναμική ενέργεια είναι μία που μηδενίζεται ακαριαία χωρίς να αλλάξει η θέση;
Σχετικά με το στερεό περιμένω να αποσαφηνιστεί η περίπτωση του υλικού σημείου και τη μεταφορικής κίνησης, για να δω την επέκταση.
Ανδρέα δεν αναφέρθηκα στην διδασκαλία της Α Λυκειου. Τόνισα ότι επειδή στην Α Λυκειου είναι πολύ συχνό φαινόμενο να ισχύει ΣF = σταθερο και υπάρχουν τα εργαλεία, π.χ. δυναμική ενέργεια, για να χρησιμοποιηθεί η διαδικασία που ακολουθείς θέλει μεγάλη προσοχή. Δεν ανέφερα πουθενά ότι το πρότεινες σαν τρόπο διδασκαλίας ή πιστεύεις πως πρέπει να εφαρμοστεί. Συμφωνώ με το σχόλιο σου ότι πρέπει να γνωρίζουμε περισσότερα από αυτά που θα διδάξουμε και μπορώ να προσθέσω με μεγάλη ευκολία ότι συμμετέχω στην συζήτηση πρωτίστως για να γίνω καλύτερος και όχι για να πείσω κάποιον. Να είσαι καλά καλό σου βράδυ!
Όχι Ανδρέα δεν χρησιμοποίησες τον καθιερωμένο ορισμό.
Ο καθιερωμένος ορισμός λέει ότι όταν έχουμε μια δύναμη που εξαρτάται μόνο από τη θέση και υπάρχει U: F=-graU η δύναμη είναι συντηρητική και η U είναι η δυναμική ενέργεια.
Η τάση του νήματος δεν είναι τέτοια δύναμη (ακόμα και αν τη γράψεις συναρτήσει του x) διότι εξαρτάται από την επιτάχυνση της κίνησης.
Το ίδιο και η δύναμη από το κάθισμα του αυτοκινήτου. Εξαρτάται από την επιτάχυνση της κίνησης του αυτοκινήτου. Να γράψουμε και αυτήν συναρτήσει του x και να της αποδώσουμε δυναμική ενέργεια;
Γιάννη,
σύμφωνα με την άποψή σου, σε ποια σημεία της απόδειξης υπάρχει λάθος και γιατί;
Ανδρέα ενώ δεν απαντάς καλείς εμένα να απαντήσω.
Έστω θα το κάνω. Σε λίγο όμως λόγω μιας μικροδουλειάς.
Παύλο το σχόλιο μου δεν αναφερόταν σε εσένα. Είχε γραφτεί το πρωί με άλλη αφορμή. Απλώς το περιέλαβα για να δείξω ότι ήδη έχω επισημάνει το πρόβλημα της διδασκαλίας. Ασφαλώς και δεν εξέλαβα τη στάση σου σαν προσπάθεια να πείσεις. Σε ευχαριστώ πολύ για τον διάλογο. Η παρέμβασή σου βοήθησε να αποσαφηνιστούν θέματα, που και εμένα με είχαν προβληματίσει. Και πάλι σε ευχαριστώ.
Ας δούμε Ανδρέα την απόδειξη:
Τι κάνεις εδώ;
Περιγράφεις πως θα αποδεικνύαμε το ΘΜΚΕ στην περίπτωση σταθερής δύναμης και κίνησης πάνω σε ευθεία που ταυτίζεται με τη διεύθυνσή της.
Ας το δούμε αναλυτικότερα από μια παρουσίασή μου:
Έπειτα όμως:
Θα μπορούσες να συμβολίσεις με Ζ αντί για U το -Fολ.x
Συνεχίζω…….
Καλησπέρα Ανδρέα
Σύμφωνα με την U (x2) + 1/2 mυ22 = U (x1) + 1/2 mυ12 (3) που γράφεις και με το συμπέρασμα που καταλήγεις παρακάτω στην ανάρτηση σου
“Άρα η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει για κάθε είδος σταθερής δύναμης καθώς και για κάθε είδος των συνιστωσών της, ακόμα και όταν μία από αυτές είναι η τριβή.”
γράφω για την περίπτωση σώματος που ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο την εξίσωση:
U (x2) + 1/2 mυ22 = U (x1) + 1/2 mυ12 όπου U(x2) και U(x1) οι δυναμικές ενέργειες της τριβής στις θέσεις χ2 και χ1 αντίστοιχα.
Κάνω κάπου λάθος;
Κατόπιν την ποσότητα που συμβόλισες με U αντί με Ζ την ονομάζεις “Δυναμική Ενέργεια”. Έτσι της αποδίδεις ιδιότητες της κανονικής Δυναμικής Ενέργειας, (Θέση ή παραμόρφωση, αποθήκευση, όχι ακαριαίος μηδενισμός κ.λ.π.).
Μια δύναμη από το βόδι στο βοϊδάμαξο συνδέεται με δυναμική ενέργεια, άσχετα αν είναι δεσμική και εξαρτάται από την επιτάχυνση με την οποία κινείται το βόδι.
Σαν να μη φτάνουν αυτά ο ορισμός U=-Fολ.x οδηγεί σε αδιέξοδα όταν έχουμε στερεά σώματα ή (ακόμα χειρότερα) συστήματα σωμάτων.
Ανδρέα μια παράθεση σχέσεων στο χαρτί μοιάζει με απόδειξη αλλά δεν είναι πάντα απόδειξη.
Καλησπέρα σε όλους.
Σύμφωνα με αυτά που νομίζω ότι ξέρω γιατί μπορεί να κάνω λάθος:
α. Οι προτάσεις: συντηρητική δύναμη και “παραγωγή” αυτής από δυναμική ενέργεια με βάθμωση, είναι απολύτως ισοδύναμες. (Συντηρητική δύναμη και στροβιλισμός μηδέν όχι, αλλά δε μας ενδιαφέρει εδώ.
β. Μια δύναμη ή είναι συντηρητική ή δεν είναι. Δε μπορεί να είναι σε μία περίπτωση και σε άλλη όχι.
Αν κάποια από τα ανωτέρω α και β είναι λάθος παρακαλώ να επισημανθεί.
Ανδρέα καλησπέρα ξανά.
Παίρνω το παράδειγμά σου, όπου το σώμα έχει αρχική ταχύτητα προς τα πάνω και δεν έχει σταματήσει ακόμη.
Η Fολ που αναφέρεις ισούται με την τριβή. Fολ = Τ
Λες:
σύμφωνα με την απόδειξη για να αποδοθεί δυναμική ενέργεια στη συνισταμένη δύναμη, η συνισταμένη πρέπει να είναι σταθερή. (εδώ είναι)
επίσης λες
Θέτοντας: −Foλ x ≡ U (x) η Εξ. (2) παίρνει τη μορφή:
Άρα Τ επί χ = U(x), όπου αυτό το U(x) είναι δυναμική ενέργεια της τριβής.
Αποδίδοντας δυναμική ενέργεια στην τριβή και μάλιστα έτσι ώστε Τ = – gradU, όπως εύκολα φαίνεται από το Τ επί χ = U(x), η τριβή βγαίνει συντηρητική δηλαδή άτοπο.
Άλλωστε μόνος σου λες ότι η Fολ, δηλαδή η τριβή είναι συντηρητική δύναμη.
Παρακαλώ, αν υπάρχει λάθος στο συλλογισμό μου για το άτοπο, να αναφερθεί.
Η ταπεινή μου άποψη είναι, ότι το δικό σου λάθος είναι ακριβώς στην πρόταση:
Αυτό δε μπορείς να το κάνεις όταν η Fολ δεν είναι πεδιακή, όπως λένε συνεχώς οι συνάδελφοι.
Γι’ αυτό και τελικά καταλήγουμε σε άτοπο.
Εκτός και βρεθεί το λάθος στο δικό μου συλλογισμό.
Να είσαι πάντα καλά!