by 
Στο σχήμα φαίνεται ένα σώμα που μπορεί να κινείται πάνω σε ευθεία γραμμή. Η συνισταμένη, Foλ, των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι σταθερή και διευθύνεται κατά μήκος της ευθείας της κίνησης του σώματος.
Φυσική
Ανεξάρτητα από τη φύση των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, ισχύει ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, δηλαδή:
Foλ = ma (1)
Μαθηματικά
Επειδή η Foλ είναι σταθερή, από την Εξ. (1) προκύπτουν οι εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης. Επιλέγουμε τη θετική κατεύθυνση του άξονα των θέσεων x κατά την κατεύθυνση της Fολ και, απαλείφοντας τον χρόνο και από τις εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης, παίρνουμε:
Fολ (x2 − x1) = 1/2 mυ22-1/2mυ12 ⇒
Fολ x2 − Fολ x1 = 1/2 mυ22-1/2mυ12 (2)
Θέτοντας: −Foλ x ≡ U (x) η Εξ. (2) παίρνει τη μορφή:
−U (x2) − (−U (x1)) = 1/2 mυ22− 1/2 mυ12⇒
−U (x2) + U (x1) = 1/2 mυ22 − 1/2 mυ12 ⇒
U (x2) + 1/2 mυ22 = U (x1) + 1/2 mυ12 (3)
Πειραματικός Έλεγχος
Η Εξ. (3) είναι μια σχέση μεταξύ μετρούμενων μεγεθών και γι’ αυτό μπορεί να ελεγχθεί πειραματικά.
Γλώσσα
- Όταν η ποσότητα 1/2 mυ2-1/2mυ2 εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος, τη δύναμη την ονομάζουμε διατηρητική. Από την Εξ. (2) προκύπτει ότι στην περίπτωση που εξετάζουμε η ποσότητα 1/2 mυ22-1/2mυ12 εξαρτάται μόνο από τις ποσότητες x1 και x2, δηλαδή από την αρχική και την τελική θέση του σώματος. ́Άρα η Foλ είναι διατηρητική δύναμη.
- Την ποσότητα 1/2 mυ2 την ονομάζουμε κινητική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με K.
- Την ποσότητα U(x) την ονομάζουμε δυναμική ενέργεια.
- Την ποσότητα U + K την ονομάζουμε μηχανική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με Eμηχ.
- Άρα η Εξ.(3) παίρνει τη μορφή:
Eμ,τελ = Eμ,τελ (4)
Αυτή την εξίσωση την ονομάζουμε αρχή διατήρησης της μηχανικής
ενέργειας.
Συμπέρασμα
Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Εξ. (4)) προήλθε, με μαθηματική και γλωσσική επεξεργασία, από το 2ο νόμο του Νεύτωνα. Αυτή η επεξεργασία δεν επηρέασε τη χαρακτηριστική ιδιότητα του 2ου νόμου του Νεύτωνα, ότι δηλαδή ο 2ος νόμος του Νεύτωνα ισχύει για κάθε είδος δύναμης.
Άρα η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει για κάθε είδος σταθερής δύναμης καθώς και για κάθε είδος των συνιστωσών της, ακόμα και όταν μία από αυτές είναι η τριβή.
Σημείωση
Τους όρους διατηρητική δύναμη, δυναμική ενέργεια και μηχανική ενέργεια καθώς και την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχει καθιερωθεί να τους χρησιμοποιούμε μόνο για τη βαρυτική δύναμη, την ηλεκτρική δύναμη και τη δύναμη του ελατηρίου.
Στην παρούσα ανάρτηση διατύπωσα με σαφήνεια τα βήματα με τα οποία καταλήγουμε στο συμπέρασμα που περιλαμβάνεται σε αυτή ώστε καθένας να μπορεί να επισημάνει λάθη αν υπάρχουν.
Διευκρίνιση: Επειδή επανέρχεται το ζήτημα της αντιμετώπισης “του θέματος της διδασκαλίας της ενέργειας και την σύγχυση που προκαλούν οι ιδέες αυτές.”, ουδέποτε υποστήριξα ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε στη διδασκαλία μας τα βήματα που περιγράφονται στην ανάρτηση. Αντιθέτως υποστήριξα επανειλημμένως ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε τον καθιερωμένο τρόπο. Γιατί λοιπόν μου αποδίδονται απόψεις που δεν έχω διατυπώσει;
Ωστόσο πρέπει να γνωρίζουμε πολύ περισσότερα πράγματα γι’ αυτό που πρόκειται να διδάξουμε από αυτό που τελικά θα διδάξουμε. Κι αυτή είναι η αξία της παρούσας ανάρτησης.
Ο Στάθης Λεβέτας σε σχόλιό του εδώ γράφει, αναφερόμενος προς εμένα: “Θα ήθελα στο σημείο αυτό, να σταθείς ιδιαίτερα στο ότι το βάρος συμπεριφέρεται τελείως διαφορετικά.”
Στην εικόνα φαίνονται τα βήματα που ακολούθησα για την απόδειξη που αφορά τη σταθερή δύναμη, αφού αντικατέστησα τη σταθερή δύναμη με το βάρος. Προκύπτει λοιπόν ότι το βάρος συμπεριφέρεται ακριβώς όπως η σταθερή δύναμη.
Ανδρέα το βάρος συμπεριφέρεται σε οποιαδήποτε διαδρομή όπως γράφεις (και στο παράδειγμα της χάντρας και στην διαδρομή c του τελευταίου σχολίου μου), αλλά η δύναμη F συμπεριφέρεται έτσι μόνον στην διαδρομή ΑΓ, όχι στην c (εδώ αναφέρομαι μόνο στο προηγούμενο σχόλιό μου).
Επιμένεις να αγνοείς το για κάθε διαδρομή.
Το για κάθε κάνει το βάρος συντηρητική δύναμη και η μη ικανοποίηση του για κάθε κάνει την F μη συντηρητική.
Συνεπώς το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν δείχνει κάτι.
Επιπλέον δεν απαντάς στο πώς ασκείται η F, με ποιο μηχανισμό. Αυτός καθιστά την δύναμη μη συντηρητική, ενώ ο “μηχανισμός” του βάρους την καθιστά συντηρητική (το ομογενές βαρύτιμο πεδίο είναι μια εξαιρετική προσέγγιση του βαρυτικού πεδίου της γης, κοντά στην επιφάνειά της).
Εδώ υπάρχει απάντηση στο παραπάνω σχόλιο του Στάθη Λεβέτα.
Καλημέρα Ανδρέα, καλημέρα σε όλους και καλή Κυριακή.
Όσοι μας παρακολουθούν συχνά, θα έχουν διαπιστώσει την διαφωνία μου (και όχι μόνο εμένα…) με την παραπάνω αντιμετώπιση του θέματος διδασκαλίας της ενέργειας και την σύγχυση που προκαλούν οι ιδέες αυτές.
Αλλά επειδή ο διάλογος νομίζω ότι έχει προ πολλού εξαντληθεί, χωρίς να αλλάζουν οι θέσεις, ενώ επανερχόμαστε ξανά και ξανά στο ίδιο θέμα, να δώσω για τον αναγνώστη, που έτυχε να διαβάσει την παραπάνω νέα δημοσίευση, τις πρόσφατες δημοσιεύσεις, όπου έγινε προσπάθεια να αντιμετωπισθούν παρόμοιες απόψεις.
Συντηρητικές δυνάμεις και δυναμική ενέργεια
Αυτές οι… χρονοεξαρτώμενες δυνάμεις…
Δυνάμεις και Ενέργειες…
Δυναμική ενέργεια. Ένας διάλογος
Αλλά επειδή, το θέμα είχε συζητηθεί πολλές φορές και στο παρελθόν, ας δώσω και παλιότερες δημοσιεύσεις:
Η φθίνουσα σε αντιπαράθεση με την εξαναγκασμένη
Η ενέργεια στην εξαναγκασμένη ταλάντωση
Η ενέργεια σε μια Εξαναγκασμένη Ταλάντωση
Εξαναγκασμένη ταλάντωση και ισχύς δυνάμεων.
Αλλά και κάποιες παραπέρα συζητήσεις στο ουσιαστικό ερώτημα:
Μπορούμε να ορίζουμε κατά το δοκούν δυναμικές ενέργειες; Η επιστήμη μας όταν μιλάει για μηχανική ενέργεια αναφέρεται σε κάτι συγκεκριμένο ή αυτό μένει να ορισθεί κατά περίπτωση ή με υποκειμενικό τρόπο, από κάθε διδάσκοντα; Πάνω σε αυτό, μερικές αναφορές:
Πόση είναι η δυναμική ενέργεια;
Να εφαρμόσουμε την ΑΔΜΕ; Γιατί όχι;
Το θέμα είναι να βγαίνει ο λογαριασμός!
ΥΓ
Διονύση μακάρι το επίπεδο της ανταλλαγής απόψεων να ήταν πάντοτε όπως στο παρόν σχόλιό σου και όχι όπως έχεις γράψει εδώ:
“Ο στόχος του [ylikonet] ήταν η αλληλεπίδραση και το μοίρασμα και όχι η στοχευμένη δολοφονία χαρακτήρων. Αυτό που εδώ και 2-3 μήνες κάνετε εσύ και ο Ανδρέας. Εσύ πολύ επιθετικά ο Ανδρέας δήθεν ευγενικά.“
Γι’ αυτό το σχόλιο σού έχω ζητήσει εδώ: Αν θεωρείς ότι κάποια από όσα έχω γράψει τους 2-3 τελευταίους μήνες, με πολύ κόπο και εμπειρία πολλών χρόνων, στοχεύουν σε δολοφονία χαρακτήρων, πρέπει να τα υποδείξεις άμεσα. Αν όχι, αυτές οι φράσεις σου ακούγονται σαν προσπάθεια δολοφονίας χαρακτήρα του γράφοντος.
Ακόμα δεν έχω λάβει οποιαδήποτε απάντηση.
Καλημέρα Ανδρέα.
Να σου απαντήσω, όσο πιο καθαρά μπορώ, εδώ.
Δεν καταλαβαίνω γιατί τόσο επιμονή σε ένα θέμα, το οποίο μας έχει απασχολήσει τόσο καιρό και οι θέσεις είναι γνωστές. Δεν έχεις καταλάβει ότι υπάρχει άλλος ένα μέλος του δικτύου που συμφωνεί μαζί σου, ενώ όλοι οι υπόλοιποι διαφωνούν;
Αλλά ακόμη και αν δεν ισχύει αυτό, νομίζεις ότι διατυπώνεις κάτι νέο με αναρτήσεις σου, όπως η παραπάνω; Η διαφορετική θέση σου έχει φανεί εδώ και καιρό. Γιατί επιμένεις;
Όσον αφορά την “δολοφονία χαρακτήρα”, ναι δεν έχω πειστεί ότι δεν το έκανες, με την ανάρτησή σου αυτή.
Δεν πήγες κάτω από την ανάρτηση του Θοδωρή και να σχολιάσεις, διατυπώνοντας την αντίρρησή σου και σημειώνοντας το λάθος που κάνει, κατά την άποψή σου, αλλά τι έκανες;
Πήρες την χαρακτηριστική εικόνα της ανάρτησης του Θοδωρή, έγραψες πάνω ΠΡΟΣΟΧΗ και έκανες νέα δημοσίευση με τίτλο:
Λανθασμένη Λύση και Λανθασμένα Συμπεράσματα
Και η εικόνα:
Αν αυτό δεν είναι “κράξιμο” και “δολοφονία χαρακτήρα”, δεν ξέρω τι είναι…
Καλημέρα Ανδρέα.
Πήρες μια βολική περίπτωση ενός υλικού σημείου ή ενός σώματος που εκτελεί μεταφορική κίνηση.
Τι θα συμβεί εδώ;
Τι θα συμβεί εδώ;
Τι θα συμβεί σε κάθε περίπτωση που το έργο της συνισταμένης είναι ψευδοέργο;
Τι συμβαίνει όταν το ΣF.x δεν είναι ίσο με την κινητική ενέργεια αλλά με τη μεταφορική κινητική ενέργεια;
Ανδρέα κάνω ακριβώς ότι εσύ.
Κάποιες φράσεις είναι κόπυ – πέηστ από το δικό σου κείμενο:
Συμφωνείς με αυτά που προέκυψαν;
(Κάνουμε κλικ στην εικόνα και μεγαλώνει).
Καλή Κυριακή σε όλους, γεια σου Ανδρέα. Σε φωτογραφία παραθέτω ένα παράδειγμα – άσκηση που νομίζω έρχεται σε αντίθεση με το συμπέρασμα που καταλήγεις για την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας στην περίπτωση που η ΣF είναι σταθερή.
Γιάννη καλησπέρα.
Νομίζω ότι είναι σαφές πως η ανάρτηση αναφέρεται σε υλικό σημείο ή μεταφορική κίνηση. Θα μπορούσε ωστόσο το τελικό συμπέρασμα να διατυπωθεί ως εξής: Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει για κάθε είδος σταθερής δύναμης που ασκείται σε υλικό σημείο ή σε σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση, καθώς και για κάθε είδος των συνιστωσών της, ακόμα και όταν μία από αυτές είναι η τριβή.
Γιάννη βρίσκεις ότι υπάρχει κάποιο λάθος στην απόδειξη;
Παύλο καλησπέρα.
Γράφεις:
“Αποδίδοντας δυναμική ενέργεια στην συνισταμένη δύναμη· που δέχεται κάθε σώμα όπως έχει αποδείξει ο Ανδρέας. (Βαλαδάκης) η μηχανική ενέργεια του κάθε σώματος παραμένει
σταθερή…”
Ωστόσο σύμφωνα με την απόδειξη για να αποδοθεί δυναμική ενέργεια στη συνισταμένη δύναμη, η συνισταμένη πρέπει να είναι σταθερή. Επειδή η κατεύθυνση της τριβής αλλάζει ανάλογα με την κατεύθυνση της κίνησης των σωμάτων, η τάση του νήματος επίσης μεταβάλλεται. Άρα ούτε στο Σ1 ούτε στο Σ2 η συνισταμένη μένει σταθερή.
Καλησπέρα Ανδρέα.
Η ΑΔΜΕ αναφέρεται μόνο σε υλικά σημεία;
Λες:
Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Εξ. (4)) προήλθε, με μαθηματική και γλωσσική επεξεργασία, από το 2ο νόμο του Νεύτωνα.
Δεν ξέρω τι προήλθε, πάντως δεν είναι η ΑΔΜΕ.
Πως θα γενικεύσεις το −Foλ x ≡ U (x) σε ένα στερεό;
Γειά σου και πάλι Ανδρέα. Η συνισταμένη για κάθε σώμα είναι σταθερή ίση με
ΣF = 5 N, όπως και η κατεύθυνση της τριβής, αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις.
Αυτό το αποτέλεσμα ισχύει, όταν το Σ1 ανεβαίνει και το Σ2 κατεβαίνει. Όταν αντιστραφεί η κίνησή τους, επειδή η τριβή αλλάζει κατεύθυνση, η συνισταμένη σε κάθε σώμα είναι διαφορετική από πριν.
Δεν μπορώ να καταλάβω στην απόδειξη που έκανες πως υπάρχει ο περιορισμός που ξεκαθαρίζει ότι η άσκηση που αναφέρω δεν εμπίπτει στην περίπτωση που ένα σώμα (σε αυτήν την περίπτωση δυο σωματα) κινείται δεχόμενο σταθερή συνισταμένη δύναμη ακόμα και αν σε αυτό όπως αναφέρεις ασκείται τριβή.
Ανδρέα έγραψες:
Άρα η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει για κάθε είδος σταθερής δύναμης καθώς και για κάθε είδος των συνιστωσών της, ακόμα και όταν μία από αυτές είναι η τριβή.
Όμως απαντάς στον Παύλο:
Όταν αντιστραφεί η κίνησή τους, επειδή η τριβή αλλάζει κατεύθυνση, η συνισταμένη σε κάθε σώμα είναι διαφορετική από πριν.
Δεν είναι κάπως αντιφατικά αυτά;
Σε κάθε περίπτωση όταν αλλάζει η κίνηση αλλάζει κατεύθυνση η τριβή. Τότε γιατί λες “ακόμα και αν η μία από αυτές είναι η τριβή”;
Παύλο,
αν μεταβάλλεται η συνισταμένη ανάλογα με τη φορά της κίνησης τότε η ποσότητα −Foλ x δεν είναι συνάρτηση ως προς x, διότι για την ίδια τιμή του x η Fολ είναι διαφορετική, ανάλογα με την κατεύθυνση της κίνησης. Άρα δεν υπάρχει U(x) έτσι ώστε −Foλ x ≡ U (x).
Γιάννη,
στη περίπτωση της ανάρτησης, όταν υπάρχει τριβή και η φορά της κίνησης αντιστραφεί, για να εξασφαλιστεί η σταθερότητα της Foλ, σημαίνει ότι υπάρχει ακόμη μία συνιστώσα μεταβλητή δύναμη που εξασφαλίζει αυτή τη σταθερότητα.
Π.χ. στο παράδειγμα του σχήματος όταν η κίνηση αντιστρέφεται, αντιστρέφεται και η Τ αλλά και η F.
Δηλαδή το σημαντικό είναι, όπως έγραψα και στον Παύλο, ότι για να ισχύει η απόδειξη θα πρέπει η Foλ να μένει συνεχώς σταθερή, ανεξάρτητα από τις μεταβολές που μπορεί να συμβαίνουν στις συνιστώσες της.
Ανδρέα περιμένοντας να απαντήσεις σε μένα (για τη γενίκευση στο στερεό) ας πω ότι η τριβή δεν είναι το πρόβλημα.
Θέλεις να την αφαιρέσουμε;
Ας αφαιρεθεί:
Τι γίνεται εδώ;
Προφανώς διατηρείται η Μηχανική ενέργεια του συστήματος.
Διατηρείται η Μηχανική ενέργεια του Σ1;
Διατηρείται η Μηχανική ενέργεια του Σ2;