by 
Στο σχήμα φαίνεται ένα σώμα που μπορεί να κινείται πάνω σε ευθεία γραμμή. Η συνισταμένη, Foλ, των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι σταθερή και διευθύνεται κατά μήκος της ευθείας της κίνησης του σώματος.
Φυσική
Ανεξάρτητα από τη φύση των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, ισχύει ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, δηλαδή:
Foλ = ma (1)
Μαθηματικά
Επειδή η Foλ είναι σταθερή, από την Εξ. (1) προκύπτουν οι εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης. Επιλέγουμε τη θετική κατεύθυνση του άξονα των θέσεων x κατά την κατεύθυνση της Fολ και, απαλείφοντας τον χρόνο και από τις εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης, παίρνουμε:
Fολ (x2 − x1) = 1/2 mυ22-1/2mυ12 ⇒
Fολ x2 − Fολ x1 = 1/2 mυ22-1/2mυ12 (2)
Θέτοντας: −Foλ x ≡ U (x) η Εξ. (2) παίρνει τη μορφή:
−U (x2) − (−U (x1)) = 1/2 mυ22− 1/2 mυ12⇒
−U (x2) + U (x1) = 1/2 mυ22 − 1/2 mυ12 ⇒
U (x2) + 1/2 mυ22 = U (x1) + 1/2 mυ12 (3)
Πειραματικός Έλεγχος
Η Εξ. (3) είναι μια σχέση μεταξύ μετρούμενων μεγεθών και γι’ αυτό μπορεί να ελεγχθεί πειραματικά.
Γλώσσα
- Όταν η ποσότητα 1/2 mυ2-1/2mυ2 εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος, τη δύναμη την ονομάζουμε διατηρητική. Από την Εξ. (2) προκύπτει ότι στην περίπτωση που εξετάζουμε η ποσότητα 1/2 mυ22-1/2mυ12 εξαρτάται μόνο από τις ποσότητες x1 και x2, δηλαδή από την αρχική και την τελική θέση του σώματος. ́Άρα η Foλ είναι διατηρητική δύναμη.
- Την ποσότητα 1/2 mυ2 την ονομάζουμε κινητική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με K.
- Την ποσότητα U(x) την ονομάζουμε δυναμική ενέργεια.
- Την ποσότητα U + K την ονομάζουμε μηχανική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με Eμηχ.
- Άρα η Εξ.(3) παίρνει τη μορφή:
Eμ,τελ = Eμ,τελ (4)
Αυτή την εξίσωση την ονομάζουμε αρχή διατήρησης της μηχανικής
ενέργειας.
Συμπέρασμα
Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Εξ. (4)) προήλθε, με μαθηματική και γλωσσική επεξεργασία, από το 2ο νόμο του Νεύτωνα. Αυτή η επεξεργασία δεν επηρέασε τη χαρακτηριστική ιδιότητα του 2ου νόμου του Νεύτωνα, ότι δηλαδή ο 2ος νόμος του Νεύτωνα ισχύει για κάθε είδος δύναμης.
Άρα η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει για κάθε είδος σταθερής δύναμης καθώς και για κάθε είδος των συνιστωσών της, ακόμα και όταν μία από αυτές είναι η τριβή.
Σημείωση
Τους όρους διατηρητική δύναμη, δυναμική ενέργεια και μηχανική ενέργεια καθώς και την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχει καθιερωθεί να τους χρησιμοποιούμε μόνο για τη βαρυτική δύναμη, την ηλεκτρική δύναμη και τη δύναμη του ελατηρίου.
Στην παρούσα ανάρτηση διατύπωσα με σαφήνεια τα βήματα με τα οποία καταλήγουμε στο συμπέρασμα που περιλαμβάνεται σε αυτή ώστε καθένας να μπορεί να επισημάνει λάθη αν υπάρχουν.
Διευκρίνιση: Επειδή επανέρχεται το ζήτημα της αντιμετώπισης “του θέματος της διδασκαλίας της ενέργειας και την σύγχυση που προκαλούν οι ιδέες αυτές.”, ουδέποτε υποστήριξα ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε στη διδασκαλία μας τα βήματα που περιγράφονται στην ανάρτηση. Αντιθέτως υποστήριξα επανειλημμένως ότι θα πρέπει να ακολουθήσουμε τον καθιερωμένο τρόπο. Γιατί λοιπόν μου αποδίδονται απόψεις που δεν έχω διατυπώσει;
Ωστόσο πρέπει να γνωρίζουμε πολύ περισσότερα πράγματα γι’ αυτό που πρόκειται να διδάξουμε από αυτό που τελικά θα διδάξουμε. Κι αυτή είναι η αξία της παρούσας ανάρτησης.
Ο Στάθης Λεβέτας σε σχόλιό του εδώ γράφει, αναφερόμενος προς εμένα: “Θα ήθελα στο σημείο αυτό, να σταθείς ιδιαίτερα στο ότι το βάρος συμπεριφέρεται τελείως διαφορετικά.”
Στην εικόνα φαίνονται τα βήματα που ακολούθησα για την απόδειξη που αφορά τη σταθερή δύναμη, αφού αντικατέστησα τη σταθερή δύναμη με το βάρος. Προκύπτει λοιπόν ότι το βάρος συμπεριφέρεται ακριβώς όπως η σταθερή δύναμη.
Ανδρέα το βάρος συμπεριφέρεται σε οποιαδήποτε διαδρομή όπως γράφεις (και στο παράδειγμα της χάντρας και στην διαδρομή c του τελευταίου σχολίου μου), αλλά η δύναμη F συμπεριφέρεται έτσι μόνον στην διαδρομή ΑΓ, όχι στην c (εδώ αναφέρομαι μόνο στο προηγούμενο σχόλιό μου).
Επιμένεις να αγνοείς το για κάθε διαδρομή.
Το για κάθε κάνει το βάρος συντηρητική δύναμη και η μη ικανοποίηση του για κάθε κάνει την F μη συντηρητική.
Συνεπώς το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν δείχνει κάτι.
Επιπλέον δεν απαντάς στο πώς ασκείται η F, με ποιο μηχανισμό. Αυτός καθιστά την δύναμη μη συντηρητική, ενώ ο “μηχανισμός” του βάρους την καθιστά συντηρητική (το ομογενές βαρύτιμο πεδίο είναι μια εξαιρετική προσέγγιση του βαρυτικού πεδίου της γης, κοντά στην επιφάνειά της).
Εδώ υπάρχει απάντηση στο παραπάνω σχόλιο του Στάθη Λεβέτα.
Γιάννη μόλις πρόσεξα ότι στο παράδειγμά σου η συνισταμένη μεταβάλλεται ανάλογα με τη φορά της κίνησης του κυλίνδρου. Κάνω λάθος;
Καλησπέρα Ανδρέα, καλησπέρα συνάδελφοι και καλή εβδομάδα.
Ανδρέα κάποιες σκέψεις σχετικά με το θέμα:
Στάθη καλησπέρα.
Μελετώντας το κείμενό σου, προσπαθώ να εντοπίσω το εξής: Σύμφωνα με τις απόψεις που εκθέτεις, ποιο κενό προκύπτει στην απόδειξη που περιλαμβάνεται στην ανάρτηση;
Κάνεις λάθος Ανδρέα.
Όπως και αν κινείται (αν δεν ολισθαίνει) αν F=12 N τότε ΣF=8 N. Δες:
Γιάννη στη δεύτερη περίπτωση η τριβή στρέφει τον κύλινδρο προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Άρα η γραμμική ταχύτητα στο κατώτερο σημείο του κυλίνδρου είναι ομόρροπη της ταχύτητας του κέντρου μάζας και ο τροχός δεν κυλίεται. Για να έχουμε κύλιση η τριβή πρέπει να κατευθύνεται προς τα δεξιά. Αλλά τότε η συνισταμένη στην πρώτη περίπτωση είναι διαφορετική από τη συνισταμένη στη δεύτερη.
Ανδρέα στην ανάρτηση εξετάζεις μια δύναμη σε μια συγκεκριμένη διαδρομή.
Επιπλέον δεν παρουσιάζεται η μορφή της δύναμης στον χώρο, ούτε το πως υλοποιείται.
Τρίτον η διατήρηση μιας ποσότητας στην συγκεκριμένη διαδρομή, δεν συνεπάγεται τον ορισμό δυναμικής ενέργειας, ούτε την συντηρητικότητά της. Απλά δείχνεις, σωστά, ότι σε αυτό το φαινόμενο παραμένει σταθερή μια ποσότητα με διαστάσεις ενέργειας. Δεν αποδεικνύεις ότι η δύναμη είναι συντηρητική.
Θα ήθελα στο σημείο αυτό, να σταθείς ιδιαίτερα στο ότι το βάρος συμπεριφέρεται τελείως διαφορετικά.
Ανδρέα κάνεις λάθος.
Και στις δύο περιπτώσεις ο τροχός κυλίεται.
Δες το εδώ:
Πάντα κύλιση
Τώρα σε πείθω;
Δεν είναι το μόνο αντιπαράδειγμα Ανδρέα. Κάτι πιο απλό:
Καλησπέρα Αντρέα.
Μια ερώτηση ας πούμε ουσίας .
Η κατάληξη της απόδειξής σου είναι
δηλαδή η δύναμη είναι η μείον παράγωγος της δυναμικής ενέργειας στο χ.
Θεωρείς τις δυο παραστάσεις ισοδύναμες;
Και μια «γραφειοκρατική» που έχει την σημασία της, νομίζω.
Όλες οι πανεπιστημιακές σημειώσεις έχουν την εξής διάρθρωση της ύλης, όσον αφορά τη μελέτη των δυνάμεων κατά το είδος τους.
1.1 Σταθερές δυνάμεις
1.2 Δυνάμεις εξαρτώμενες από τον χρόνο
1.3 Δυνάμεις εξαρτώμενες από την ταχύτητα
1.4 Δυνάμεις εξαρτώμενες από τη θέση (όπου και οι διατηρητικές)
Κανένα δεν εντάσσει γενικά τις πρώτες στις τελευταίες. Σημαίνει κάτι αυτό κατά την άποψή σου;
Στάθη καλημέρα.
Σχετικά με την απόδειξη που υπάρχει εδώ επισημαίνεις τα επόμενα, σε σχόλιό σου που υπάρχει εδώ:
“Ανδρέα το βάρος συμπεριφέρεται σε οποιαδήποτε διαδρομή όπως γράφεις (και στο παράδειγμα της χάντρας και στην διαδρομή c του τελευταίου σχολίου μου), αλλά η δύναμη F συμπεριφέρεται έτσι μόνον στην διαδρομή ΑΓ, όχι στην c (εδώ αναφέρομαι μόνο στο προηγούμενο σχόλιό μου).
Επιμένεις να αγνοείς το για κάθε διαδρομή.
Το για κάθε κάνει το βάρος συντηρητική δύναμη και η μη ικανοποίηση του για κάθε κάνει την F μη συντηρητική.
Συνεπώς το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν δείχνει κάτι.”
Η άποψή μου είναι η εξής: Εδώ αποδείχθηκε ότι όταν ένα σώμα κινείται κατά μήκος μιας κατακόρυφης ευθείας, με την επίδραση μόνο του βάρους του, η μηχανική ενέργειά του σώματος μένει σταθερή. Στην απόδειξη δεν χρησιμοποιήθηκε καθόλου το γεγονός ότι το έργο του βάρους κατά μήκος οποιασδήποτε κλειστής διαδρομής στο χώρο είναι μηδενικό.
Μελετώ και τα υπόλοιπα ερωτήματά σου.
Αγαπητοί φίλοι,
δυστυχώς σήμερα 27/2 και αύριο 28/2 θα βρίσκομαι εκτός σύνδεσης.
Θα είμαι πάλι παρών, στην πολύ ενδιαφέρουσα συζήτησή μας, από τις 29/2 ώστε να μπορέσω να γράψω την άποψή μου σχετικά με ζητήματα που ήδη έχουν τεθεί ή πρόκειται να τεθούν από συναδέλφους.
Ανδρέας
Στην εικόνα αναφέρεται ένα σχόλιο του Στάθη Λεβέτα που υπάρχει εδώ και δίνεται απάντηση.
Στην εικόνα αναφέρονται δύο σχόλια του Στάθη Λεβέτα που υπάρχουν εδώ και δίνονται οι αντίστοιχες απαντήσεις.
Σε σχόλιο του Γιάννη Κυριακόπουλου που υπάρχει εδώ (και αναφέρεται στην περίπτωση που φαίνεται στην εικόνα) σημειώνονται τα εξής:
Το Fολ.x δεν είναι το έργο της συνισταμένης αλλά το ψευδοέργο της. Το έργο που παράγεται είναι F.x+T.0=F.x και όχι (F-T).xΗ ποσότητα 1/2 mυ^2 δεν είναι η κινητική ενέργεια αλλά η μεταφορική κινητική ενέργεια.Η 1/2 mυ^2 + Fολ.x δεν είναι η μηχανική ενέργεια. Είναι απλά ένα άθροισμα δύο εργοειδών ποσοτήτων. Για δυο λόγους: Η 1/2 mυ^2 δεν είναι η κινητική ενέργεια και διότι το έργο που απαιτείται για να πάμε το σώμα στη θέση x δεν είναι Foλ.x.Απάντηση
Το κέντρο μάζας εκτελεί ανεξάρτητη κίνηση από τη στροφική και “κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα του σώματος, αν σε αυτό ασκούνταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.” Άρα όσα αναφέρονται στην ανάρτηση για υλικό σημείο ισχύουν και για το κέντρο μάζας ενός σώματος που εκτελεί σύνθετη κίνηση, διότι και αυτή η κίνηση περιγράφεται μόνο από το 2ο νόμο του Νεύτωνα για υλικό σημείο και όχι από επιπλέον εξισώσεις που αφορούν τη στροφική κίνηση που συμβαίνει συγχρόνως.
Δηλαδή η ύπαρξη ή μη ψευδοέργου δεν επηρεάζει την απόδειξη που υπάρχει στην ανάρτηση, διότι στο 2ο νόμο του Νεύτωνα χρησιμοποιείται η συνισταμένη των δυνάμεων χωρίς τα επιμέρους χαρακτηριστικά των δυνάμεων.
Επιπλέον, όταν η υ είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας, η ποσότητα 1/2mυ^2 είναι κινητική ενέργεια που αντιστοιχεί αποκλειστικά στην κίνηση του κέντρου μάζας ανεξάρτητα από την ύπαρξη κινητικής ενέργειας που αφορά την ανεξάρτητη στροφική κίνηση. Επίσης όπως αποδεικνύεται εδώ η ποσότητα 1/2 mυ^2 + Fολ.x είναι ενέργεια. Άρα στην περίπτωση της κίνησης του κέντρου μάζας η συγκεκριμένη ποσότητα είναι ενέργεια που αφορά αποκλειστικά την κίνηση του κέντρου μάζας.