Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

Μια σφαίρα μάζας 2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο μη εκτατού νήματος, το οποίο αφού περάσει από ένα καρφάκι Κ, οδηγείται σε ένα κύλινδρο, στην επιφάνεια του του οποίου προσκολλάται. Ο κύλινδρος έχει ακτίνα r=0,4m και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονά του που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεών του. Η σφαίρα βρίσκεται στη θέση Α, απέχοντας κατά l₀=2m από το Κ, ενώ πάνω της ασκείται μια σταθερού μέτρου δύναμη F₁=2Ν, η οποία εξασφαλίζει το τέντωμα του νήματος.  Σε μια στιγμή t=0 εκτοξεύουμε οριζόντια τη σφαίρα με ταχύτητα υ₀=0,9m/s, κάθετα στο νήμα όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Μετά από λίγο θέτουμε σε περιστροφή αριστερόστροφα τον κύλινδρο για χρονικό διάστημα 0,5s, μεταβάλλοντας την γωνιακή του ταχύτητα όπως στο διάγραμμα, οπότε την στιγμή t₁ η σφαίρα φτάνει στην θέση Β, με ταχύτητα υ₁ κάθετη επίσης στο νήμα, ενώ διαρκώς της ασκείται η δύναμη F₁.

i)  Να υπολογισθεί η γωνία κατά την οποία περιστρέψαμε τον κύλινδρο, καθώς και το μήκος του νήματος που τυλίχθηκε γύρω του, στη διάρκεια της περιστροφής.

ii) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητα υ₁ καθώς και η τάση του νήματος στις θέσεις Α και Β.

iii) Γιατί στη διάρκεια της περιστροφής του κυλίνδρου, η σφαίρα είχε συνιστώσα ταχύτητας στη διεύθυνση του νήματος;

α) Να βρεθεί το μέγιστο μέτρο της συνιστώσας αυτής υ_R;

β) Να υπολογιστεί ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρει ενέργεια στη σφαίρα η δύναμη F₁, τη στιγμή της μέγιστης υ_R.