Κατακόρυφο σύστημα μη ιδανικού ελατηρίου -μάζας

Η παρούσα ανάρτηση είναι η συνέχεια μιας παλαιότερης για την θεωρητική μελέτη της κίνησης ενός οριζοντίου συστήματος μη ιδανικού ελατηρίου (σταθεράς k, μάζας m)  -φορτίου μάζας Μ, μέσω του συστήματος των στάσιμων κυμάτων που αναπτύσσονται στις σπείρες του ελατηρίου.

Ο κύριος προβληματισμός ήταν ότι στο εργαστήριο είναι πιο εύκολο να πειραματιστείς με κατακόρυφα ελατήρια. Αλλά τότε στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος οι σπείρες δεν ισαπέχουν, συνεπώς η γραμμική πυκνότητα μάζας στο ελατήριο δεν είναι σταθερή σε όλο το μήκος του. Συγκεκριμένα η μεταξύ τους απόσταση ελαττώνεται από πάνω προς τα κάτω (κάθε σπείρα «κουβαλάει» το συνολικό βάρος των σπειρών που βρίσκονται από κάτω της, συν το βάρος του φορτίου στο ελεύθερο άκρο.

Το συγκεκριμένο μοντέλο επιλύεται αναλυτικά σε ελατήρια μεγάλου φυσικού μήκους ή/και μικρής μάζας, όπου ικανοποιείται η συνθήκη σ=mg/kL<<1 (το βάρος του ελατηρίου να είναι περίπου 20 φορές μικρότερο της ποσότητας με διαστάσεις δύναμης, kL). Τότε η πυκνότητα μάζας του ελστηρίου μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά σταθερή, η προκύπτουσα κυματική εξίσωση έχει σταθερούς συντελεστές, και προβλέπει συχνότητες κανονικών τρόπων ταλάντωσης του συστήματος της μορφής

όπου βn και αn σταθερές που αναλογούν σε κάθε στάσιμο κύμα στο ελατήριο, n=1,2,….

Στην περίπτωση όπου η μάζα του ελατηρίου είναι πολύ μικρότερη της μάζας του φορτίου στο ελεύθερο άκρο του (m<<M), το θεμελιώδες στάσιμο κύμα (n=1) είναι ικανό από μόνο του να περιγράψει την κίνηση του φορτίου και επαληθεύεται ο νόμος του Hooke για την δύναμη που δέχεται το φορτίο από το ελατήριο. Τότε προκύπτει ότι α1=1/3 και β1=1. Όταν δε η μάζα του ελατηρίου ισούται με το μηδέν αναδύεται πλήρως το μοντέλο του απλού αρμονικού ταλαντωτή.

Στο άλλο άκρο, όπου η μάζα του ελατηρίου είναι πολύ μεγαλύτερη της μάζας του φορτίου στο ελεύθερο άκρο του (m>>M), οι συντελεστές των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του φορτίου προσεγγίζουν τις τιμές αn=1/2 και βn=(2n+1)π²/8 k. Στην περίπτωση αυτήν απαιτείται η επαλληλία ανωτέρων όρων για την περιγραφή της κίνησης του συστήματος, ο δε νόμος του Hooke δεν ισχύει για την δύναμη που δέχεται το φορτίο από το ελατήριο.

Ανάλογη είναι και η ενδιάμεση περίπτωση, όπου η μάζα του φορτίου είναι συγκρίσιμη με την μάζα του ελατηρίου. Τότε οι συντελεστές λαμβάνουν τιμές 1/3<αn<1/2 και βn>0

Σύστημα ελατηρίου μάζας -φορτίου