by 
Η παρούσα ανάρτηση είναι η συνέχεια μιας παλαιότερης για την θεωρητική μελέτη της κίνησης ενός οριζοντίου συστήματος μη ιδανικού ελατηρίου (σταθεράς k, μάζας m) -φορτίου μάζας Μ, μέσω του συστήματος των στάσιμων κυμάτων που αναπτύσσονται στις σπείρες του ελατηρίου.
Ο κύριος προβληματισμός ήταν ότι στο εργαστήριο είναι πιο εύκολο να πειραματιστείς με κατακόρυφα ελατήρια. Αλλά τότε στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος οι σπείρες δεν ισαπέχουν, συνεπώς η γραμμική πυκνότητα μάζας στο ελατήριο δεν είναι σταθερή σε όλο το μήκος του. Συγκεκριμένα η μεταξύ τους απόσταση ελαττώνεται από πάνω προς τα κάτω (κάθε σπείρα «κουβαλάει» το συνολικό βάρος των σπειρών που βρίσκονται από κάτω της, συν το βάρος του φορτίου στο ελεύθερο άκρο.
Το συγκεκριμένο μοντέλο επιλύεται αναλυτικά σε ελατήρια μεγάλου φυσικού μήκους ή/και μικρής μάζας, όπου ικανοποιείται η συνθήκη σ=mg/kL<<1 (το βάρος του ελατηρίου να είναι περίπου 20 φορές μικρότερο της ποσότητας με διαστάσεις δύναμης, kL). Τότε η πυκνότητα μάζας του ελστηρίου μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά σταθερή, η προκύπτουσα κυματική εξίσωση έχει σταθερούς συντελεστές, και προβλέπει συχνότητες κανονικών τρόπων ταλάντωσης του συστήματος της μορφής
όπου βn και αn σταθερές που αναλογούν σε κάθε στάσιμο κύμα στο ελατήριο, n=1,2,….
Στην περίπτωση όπου η μάζα του ελατηρίου είναι πολύ μικρότερη της μάζας του φορτίου στο ελεύθερο άκρο του (m<<M), το θεμελιώδες στάσιμο κύμα (n=1) είναι ικανό από μόνο του να περιγράψει την κίνηση του φορτίου και επαληθεύεται ο νόμος του Hooke για την δύναμη που δέχεται το φορτίο από το ελατήριο. Τότε προκύπτει ότι α1=1/3 και β1=1. Όταν δε η μάζα του ελατηρίου ισούται με το μηδέν αναδύεται πλήρως το μοντέλο του απλού αρμονικού ταλαντωτή.
Στο άλλο άκρο, όπου η μάζα του ελατηρίου είναι πολύ μεγαλύτερη της μάζας του φορτίου στο ελεύθερο άκρο του (m>>M), οι συντελεστές των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του φορτίου προσεγγίζουν τις τιμές αn=1/2 και βn=(2n+1)π2/8 k. Στην περίπτωση αυτήν απαιτείται η επαλληλία ανωτέρων όρων για την περιγραφή της κίνησης του συστήματος, ο δε νόμος του Hooke δεν ισχύει για την δύναμη που δέχεται το φορτίο από το ελατήριο.
Ανάλογη είναι και η ενδιάμεση περίπτωση, όπου η μάζα του φορτίου είναι συγκρίσιμη με την μάζα του ελατηρίου. Τότε οι συντελεστές λαμβάνουν τιμές 1/3<αn<1/2 και βn>1.
Σύστημα ελατηρίου μάζας -φορτίου
Καλώς τονε και ας άργησε. Πολύ δουλειά έκανες και εσύ Στάθη, πολύ δουλειά βάζεις και σε εμάς ακόμη και αν πάρουμε υπόψη μας ότι είναι περίοδος διακοπών.
50 σελίδες που χρειάζονται προσεκτικό διάβασμα, απαιτούν χρόνο. Αν χρειαστεί θα επανέλθω με απορίες ή παρατηρήσεις.
Όπως και να έχει μπράβο για την πληρότητα (δυναμική μελέτη , ενεργειακή μελέτη, διαγράμματα, εφαρμογές κλπ) με την οποία εξετάζεις το θέμα.
Καλή ξεκούραση.
Καλημέρα Άρη. Ευχαριστώ.
Στάθη χαίρομαι για την επάνοδο.
Δυστυχώς μου είναι δύσκολο να το διαβάσω από κινητό.
Καλές διακοπές Γιάννη.
Στάθη καλησπέρα.
Πολύ μεγάλη δουλειά. Άλλωστε είναι συνηθισμένο από εσένα. Απαιτεί προσεκτική μελέτη.
Συγχαρητήρια.
Καλημέρα Στάθη.
Χαίρομαι για την ενεργοποίσή σου ξανά με μια ακόμη δουλειά, σαν αυτές που συνηθίζεις να προσφέρεις.
Θα μελετηθεί…
Χρήστο, Διονύση ευχαριστώ. Καλά να περνάτε.
Καλημέρα Σταθη. Εξαιρετικό! Σε πρώτη “διαγωνια” ανάγνωση. Θέλει μελετη. Θα το κάνω αργότερα. Εξαιρετικά τα συμπεράσματα που καταλήγει.
Καλησπέρα Γιώργο, να σαι καλά
Αγαπητοί φίλοι και ιδιαιτέρως Στάθη,
όταν ο συνάδελφος Βασίλης (Μπάφας) διατύπωνε την απορία του [εδώ], προβληματίστηκα για το τι θα μπορούσε να απαντήσει κανείς. Βέβαια, σε καμία περίπτωση δεν μπορούσα τότε να φανταστώ πού θα μπορούσε να οδηγήσει το ερώτημα.
Να όμως που η εργασία του Στάθη έρχεται, κατά τη γνώμη μου, να δώσει μια ουσιαστική απάντηση στα ερωτήματα του Βασίλη. Δεν είναι —ούτε χρειάζεται να είναι— αλάθητη. Είναι ένα προτεινόμενο θεωρητικό μοντέλο, το οποίο μπορεί να ιδωθεί ως μια effective classical field theory της ελαστικής αλληλεπίδρασης.
Αντί να αντιμετωπίζει το ελατήριο ως ένα αβαρές στοιχείο που μεταδίδει ακαριαία τη δύναμη από το ένα άκρο στο άλλο, εισάγει ένα συνεχές πεδίο παραμόρφωσης y(x,t), με τοπική αδράνεια, τοπική ελαστική απόκριση και πεπερασμένη ταχύτητα διάδοσης των διαταραχών. Η ελαστική αλληλεπίδραση αποκτά έτσι εσωτερική χωροχρονική δομή και περιγράφεται από μια κυματική εξίσωση με συγκεκριμένη ταχύτητα διάδοσης.
Αυτό, νομίζω, είναι και το σημαντικότερο στοιχείο μιας τέτοιας κλασικής θεωρίας πεδίου: η αλληλεπίδραση δεν περιγράφεται πλέον μόνο από τη σχέση δύο σωμάτων ή δύο άκρων, αλλά μέσω ενός πεδίου που εξελίσσεται τοπικά στον χώρο και στον χρόνο. Στη συνήθη νευτώνεια μηχανική σημειακών σωμάτων η μετάδοση της αλληλεπίδρασης αντιμετωπίζεται ως ακαριαία. Στον ηλεκτρομαγνητισμό, αντίθετα, η πεπερασμένη ταχύτητα διάδοσης είναι ενσωματωμένη στην ίδια τη θεωρία. Αυτό είναι ένα από τα στοιχεία που κάνουν τον ηλεκτρομαγνητισμό πρότυπο κλασικής θεωρίας πεδίου.
Τέτοιες μελέτες ίσως είναι κάπως βαρύτερες από τη συνήθη θεματολογία του Ylikonet. Μπορούν όμως να αποτελέσουν εξαιρετικό ερέθισμα, ιδιαίτερα για έναν νέο άνθρωπο, ώστε να δει μια βαθύτερη διάσταση της Φυσικής: θεωρητικό μοντέλο — συγκεκριμένες προβλέψεις — έλεγχος από το πείραμα. Αυτός είναι ένας από τους θεμελιώδεις τρόπους με τους οποίους προχωρά η Φυσική.
Προσωπικά έχω κάποιες τεχνικές ενστάσεις ως προς τη regularization της δ-συνάρτησης στο άκρο του ελατηρίου. Νομίζω ότι στο συγκεκριμένο σημείο η μαθηματική κατασκευή τείνει να κρύψει το φυσικό περιεχόμενο και μπορεί να δημιουργήσει την εντύπωση ότι ένα γενικό φυσικό συμπέρασμα εξαρτάται από την επιλεγμένη regularization. Πρόκειται όμως για τεχνική ένσταση που δεν αναιρεί την κεντρική ιδέα της εργασίας.
Στάθη, επίτρεψέ μου λοιπόν να σου πω ότι ουσιαστικά προσφέρεις στον κόσμο μια έτοιμη διπλωματική εργασία. Αν έχει δημοσιευθεί κάπου καλώς. Αλλιώς θα πρέπει να λάβεις κάποια μέτρα ώστε η πρωτοτυπία της δουλειάς να παραμείνει καθαρά συνδεδεμένη με τον δημιουργό της.
Καλημέρα Μιλιτιάδη. Σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο.
Στο σημείο αυτό να τονίσω ότι ένα ανάλογο πείραμα είχε πραγματοποιήσει ο αείμνηστος Βαγγέλης Κουντούρης σε κάποιο ΕΚΦΕ, μου είχε δε δώσει τις πειραματικές τιμές που είχε λάβει και με είχε συμβουλέψει ως προς την εκτέλεση, πριν μας αφήσει.