by 
Ενας ταλαντωτης οπως αυτος του σχηματος, κανει ΑΑΤ με περιοδο 12s ,αρχικη φαση ακεραιο πολλαπλασιο του π/2, οι μαζες των σωματων Σ και Σ1 ειναι ισες και μεταξυ τους δεν υπαρχει ολισθηση. Η μονη δυναμη που ασκειται στο συστημα των δυο σωματων στον οριζοντιο αξονα,ειναι αυτη του ελατηριου.Ποια ειναι η ελαχιστη χρονικη στιγμη που πρεπει να αφαιρεσουμε το σωμα Σ1 χωρις ομως να επηρεασουμε την ταχυτητα του σωματος Σ, ωστε η ενεργεια του ταλαντωτη που θα μεινει,να ειναι μειωμενη κατα 25% σε σχεση με την ενεργεια που ειχε πριν την αφαιρεση?
Καλό Πάσχα σε όλους.Το σχημα ειναι του Διονύση Μάργαρη απο παλαιοτερη αναρτηση του.Το πηρα ετοιμο διοτι ηταν απολυτως καταλληλο για την συγκεκριμενη ασκηση. Ευχαριστώ Διονύση.Η λυση θα ανεβει συντομα.
Χρόνια Πολλά Κωνσταντίνε.
Να προτείνω 1,5s;
Χρόνια Πολλά Διονύση. Σωστό.
Πολύ έξυπνη!
Eυχαριστώ Γιάννη.
Εξαιρετικό παράδειγμα για να υπερθεματίσουμε υπέρ της άποψης πως δεν
έχει κανένα απολύτως νόημα να ζητάμε τις επιμέρους “σταθερές επαναφοράς”
D1, D2 των δύο σωμάτων.
Όχι μόνο δεν έχει νόημα, αλλά είναι και επικίνδυνο…
Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής είναι το σύστημα των δύο σωμάτων και σε κάθε θέση της τροχιάς η ενέργεια του ταλαντωτή είναι:
Ε=1/2Dx^2 + 1/2 (m1+m2)υ^2= 1/2Dx^2 + 1/2 m1υ^2 +1/2 m2υ^2
Όπως σωστά αναφέρεται στη λύση, η αφαίρεση του πάνω σώματος
αφαιρεί από τον απλό αρμονικό ταλαντωτή την κινητική ενέργεια
του πάνω σώματος και μόνο
Πάμε τώρα στη λογική των επιμέρους σταθερών επαναφοράς που κυκλοφορεί
σε βιβλία και διαγωνίσματα…..
Ποια είναι η σταθερά επαναφοράς D1 του πάνω σώματος m1;
Ευρέως διαδεδομένη απάντηση: D1=m1ω^2
Όμως ω^2= D/(m1+m2)= k/(m1+m2)
Άρα: D1=k m1/(m1+m2)=k/2
Ποια είναι η ενέργεια του πάνω σώματος m1 στη θέση x της τροχιάς δεχόμενοι
τη λογική των επιμέρους σταθερών επαναφοράς;
Ε1=1/2 m1υ^2 + 1/2 D1x^2 = 1/2 m1υ^2 + 1/4 kx^2
Η αφαίρεση λοιπόν του m1 οδηγεί σε μείωση της ενέργειας του απλού αρμονικού ταλαντωτή κατά την υποτιθέμενη ενέργεια του m1 όπως αυτή εκφράζεται από
την παραπάνω σχέση…..
Άρα η προτεινόμενη λύση είναι λανθασμένη…..
Όμως η προτεινόμενη λύση είναι σωστή, ακριβώς γιατί δεν έχει νόημα
να μιλάμε για επιμέρους σταθερές επαναφοράς D1, D2
Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής είναι ένας και έχει σταθερά επαναφοράς D=k
Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής δέχεται την χωροεξαρτώμενη συντηρητική
δύναμη από το ελατήριο, στην οποία αντιστοιχεί δυναμική ενέργεια 1/2Dx^2=1/2kx^2
Η αφαίρεση του m1 προκαλεί μείωση ενέργειας μόνο κατά την κινητική ενέργεια που έχει αυτό Κ1=1/2 m1υ^2
Και γιατί δεν έχει νόημα να μιλάμε για επιμέρους σταθερές επαναφοράς D1, D2;
Γιατί πολύ απλά απλός αρμονικός ταλαντωτής είναι το σύστημα m1+m2
Κάθε σώμα χωριστά εκτελεί αρμονική ταλάντωση η οποία περιγράφεται
από κοινές κινηματικές εξισώσεις με αυτές του απλού αρμονικού ταλαντωτή,
αλλά όχι ΑΑΤ, οπότε όταν πάμε στις ενέργειες το πράγμα αποσαφηνίζεται….
Γιατί η λανθασμένη γλώσσα χαλάει τη σκέψη
Ευχαριστούμε για την ανάρτηση που έδωσε ένα ακόμα ισχυρό επιχείρημα
“Ποια είναι η ενέργεια του πάνω σώματος m1 στη θέση x της τροχιάς δεχόμενοι
τη λογική των επιμέρους σταθερών επαναφοράς;
Ε1=1/2 m1υ^2 + 1/2 D1x^2 = 1/2 m1υ^2 + 1/4 kx^2
Η αφαίρεση λοιπόν του m1 οδηγεί σε μείωση της ενέργειας του απλού αρμονικού ταλαντωτή κατά την υποτιθέμενη ενέργεια του m1 όπως αυτή εκφράζεται από
την παραπάνω σχέση…..”
Aυτος ο συλλογισμος δεν ειναι σωστος. Η αφαιρεση του ενος σωματος ισοδυναμει με μειωση της μαζας του αρμονικου ταλαντωτη η οποια επηρεαζει την συνολικη ενεργεια του ταλαντωτη μονο λογω της κινητικης ενεργειας που παιρνει μαζι του το σωμα που φευγει και οχι λογω και αλλων χαρακτηριστικων της επιμερους ταλαντωσης σταθερας D1 η οποια εχει παψει να υφισταται απο την στιγμη που καταργηθηκε η δυναμη επαναφορας,που ηταν η δυναμη επαφης μεταξυ των σωματων. Οι ταλαντωσεις ειναι ολες ΑΑΤ εξ ορισμου ειτε αναφερομαστε στο συστημα ,ειτε σε καθε επιμερους σωμα ξεχωριστα,και καθε μια εχει την δικη της σταθερα ταλαντωσης.Τιποτα απο αυτα δεν ειναι επικινδυνο,αν καποιος ξερει τι κανει και γιατι το κανει.
“Aυτος ο συλλογισμος δεν ειναι σωστος.”
Προφανώς και δεν είναι σωστός, αυτό έγραψα και εγώ
“Η αφαιρεση του ενος σωματος ισοδυναμει με μειωση της μαζας του απλού αρμονικου ταλαντωτη η οποια επηρεαζει την συνολικη ενεργεια του ταλαντωτη μονο λογω της κινητικης ενεργειας που παιρνει μαζι του το σωμα που φευγει “
Η προσθήκη με bold δική μου…. Στα υπόλοιπα συμφωνούμε
“και οχι λογω και αλλων χαρακτηριστικων της επιμερους ταλαντωσης σταθερας D1 η οποια εχει παψει να υφισταται απο την στιγμη που καταργηθηκε η δυναμη επαναφορας,που ηταν η δυναμη επαφης μεταξυ των σωματων”
Η στατική τριβή ποτέ δεν υπήρξε δύναμη επαναφοράς και ούτε θα υπάρξει
γιατί απλούστατα δεν είναι χωροεξαρτώμενη δύναμη
“
η δυναμη επαναφορας,που ηταν η δυναμη επαφης μεταξυ των σωματων”Επαναλαμβάνω, εξαιρετικό παράδειγμα που καθιστά σαφές πως δεν έχει κανένα απολύτως νόημα να ζητάμε τις επιμέρους “σταθερές επαναφοράς” D1, D2 των δύο σωμάτων.
Εννοω οτι το σημειο του συλλογισμου το οποιο δεν ειναι σωστο δεν ειναι αυτο το οποιο αναφερετα στην ενεργεια Ε1=1/2 m1υ^2 + 1/2 D1x^2 = 1/2 m1υ^2 + 1/4 kx^2 αλλα το σκελος :”Η αφαίρεση λοιπόν του m1 οδηγεί σε μείωση της ενέργειας του απλού αρμονικού ταλαντωτή κατά την υποτιθέμενη ενέργεια του m1 όπως αυτή εκφράζεται από
την παραπάνω σχέση…..”
Οσον αφορα την στατικη τριβη ειναι μια δυναμη που ταλαντωνει το σωμα ωστε αυτο να κανει ΑΑΤ και ειναι της μορφης -Dx. Μια χαρα δυναμη επαναφορας ειναι εξ ορισμου μαλιστα. Μπορουμε να αποδωσουμε σε αυτην δυναμικη ενεργεια? Οχι διοτι η δυναμη αυτη δεν μπορει να προκυψει μαθηματικα απο καποιο δυναμικο.Αν ομως καποιος ξερει τι κανει και ειναι προσεκτικος στους χειρισμους του μπορει ας πουμε μεσω μιας ενεργειακης εξισωσης να βρει μια σχεση μεταξυ θεσης και ταχυτητας,Ειδικα στην περιπτωση οπου η δυναμη ειναι non dissipative δεν ειναι τριβη ολισθησης.Το συμπερασμα του θα ειναι σωστο και δεν θα τον αφορησει ο Πάπας αν το κανει αυτο.Ειπα οτι τα παντα εχουν νοημα οταν καποιος ξερει τι κανει και τον οδηγουν σε σωστα συμπερασματα και μαλιστα γρηγορα.Τις θυμασαι τις συναρτησεις δελτα που χρησιμοποιουσαμε στην κβαντομηχανικη ή στον ηλεκτρομαγνητισμο για να γραψουμε την συναρτηση πυκνοτητας φορτιου που περιγραφει ενα σημειακο φορτιο?Οι μαθηματικοι δεν συμφωνουν με την χρηση αυτων των συναρτησεων διοτι λενε οτι δεν ειναι καλα ορισμενες και οτι η χρηση τους ειναι μαλλον μπακαλική παρα μαθηματικα.Εμεις ομως κανουμε υπολογισμους οι οποιοι λειτουργουν μια χαρα.
Καλημέρα παιδιά.
Η γενικευμένη χρήση του D θα προκαλέσει προβλήματα έστω και αν εδώ δεν προκαλεί. Αν όχι προβλήματα υπολογισμών, μπορεί να προκληθούν εννοιολογικά προβλήματα.
Στην περιπτωση του κυλιόμενου ταλαντωτή. (Πόσο έργο πρέπει να προσφέρουμε, 1/2k.A^2 ή 1/2D.A^2 ;).
Στην περίπτωση του κύματος. (Είναι σταθερή η ενέργεια ενός τμήματος χορδής;)
Σε περιπτώσεις όπως η παρούσα όπου σώμα εγκαταλείπει το ταλαντευόμενο σύστημα ή προστίθεται σ’ αυτό.
Σε περιπτώσεις εξαναγκασμένης ταλάντωσης, όπου προσφέρεται ενέργεια από τον διεγέρτη ενώ μια άλλη ανάγνωση (αυτή με το D) θελει την ενέργεια σταθερή.
Γενικά μιλώντας, όταν η ποσότητα 1/2D.x^2 ονομάζεται δυναμική ενέργεια και η 1/2 D.A^2 ολική ενέργεια, λόγω ονόματος υποβάλλεται η ιδέα μιας διατήρησης που δεν ισχύει σε πολλές περιπτώσεις. Μια ιδέα που δεν ξεκαθαρίζεται εύκολα σε ένα παιδί.
Κάποια στιγμή πρέπει να γραφτεί στο σχολικό ότι ω.Α^2=ω.x^2+υ^2 ώστε να μην χρειάζεται η επίκληση κάποιας διατήρησης κάποιας ενέργειας ταλάντωσης για κάτι που είναι καθαρά θέμα Κινηματικής.
Αυτα Γιάννη ειναι λεπτες εννοιες που οποιος μαθητης ασχοληθει σοβαρα με την Φυσικη θα τις ξεκαθαρισει στο μελλον.Ας μην γινουν ολοι σοφοι τωρα.Δεν θα πανε ολοι Φυσικο η Πολυτεχνειο.Οταν η δυναμη που ασκειται σε ενα σωμα ειναι -Dx τοτε ο συντελεστης αναλογιας D λεγεται σταθερα ταλαντωσης και D=mω^2 Που ειναι το προβλημα?Αυτο ισχυει ακομα και αν η δυναμη δεν ειναι πεδιο F(r) αλλα ειναι μια στατικη τριβη η ταση νηματος.Δεν ειμαστε υποχρεωμενοι να ορισουμε δυναμικη ενεργεια ντε και καλα επειδη υπαρχει το D.Αν θελουμε να τα θεμελιωνουμε σωστα αλλαζοντας προβληματικα σημεια του σχολικου,σε αυτο το σημειο πρεπει να επεμβουμε και οχι να τα ανατρεπουμε ολα απο την αρχη,απο τους ορισμους της ΑΑΤ που ειναι πολυ λογικοι και να τους αλλαζουμε με κατι αλλο που εμεις φανταζομαστε.Εγω ειλικρινα δεν θελω να κανω αλλο τετοιες συζητησεις,εχω εξηγησει ποια ειναι η θεση μου,Αν καποιος δεν θελει να πειστει με τιποτα,και ο ιδιος ο Feynman να ερχοταν απο τον αλλο κοσμο και να προσπαθουσε να τον πεισει,παλι δεν θα επειθετο.
Κωνσταντίνε δεν είναι παιδιά αυτοί που έβαλαν το θέμα με την σταθερότητα της ενέργειας ενός τμήματος χορδής. Ότι περίπου η ενέργεια δεν διαδίδεται. Λάθος έκαναν.
Όλοι κάνουμε λάθη και είμαι ο τελευταίος που θα κατηγορήσει, όμως το λάθος είχε μια αφετηρία. Έτσι αυτήν την συζητάμε.
Δεν θα έκοβα βαθμό αν μαθητής μιλούσε για σταθερότητα ενέργειας εξαναγκασμένης ταλάντωσης. Ανέφερα στην τάξη δυο πράγματα χωρίς να επιμείνω πολύ. Ταυτόχρονα τους έλεγα να μην φοβούνται την χρήση μιας τέτοιας διατήρησης.
Συμφωνω. Αν Γιάννη κοιταξουμε καποια κλασικα συγγραματα φυσικης,αυτα που διδασκονται σε γνωστα πανεπιστημια,καποια απο τα οποια εχουν φτασει σε δωδεκατη αναθεωρημενη εκδοση και βαλε,μπορουμε να δουμε συνεπεις μεθοδους θεμελιωσης των εννοιων που δεν εχουν κινδυνους παρανοησης (οσο γινεται.) Ομως εδω εχουμε το σχολικο και υπαρχει μεγαλη πιθανοτητα να μπει ερωτημα στις πανελληνιες,να βρεθει η σταθερα επαναφορας του πανω σωματος της παρουσας αναρτησης.Εχει ερωτηθει και στο παρελθον αυτο ακριβως.Εκει τι θα τους πουμε στην ταξη που διδασκουμε να απαντησουν οτι δεν υπαρχει σταθερα επαναφορας και οτι η κινηση δεν ειναι ΑΑΤ δηλαδη δικα μας? Εχω μαθει πως να λεω σωστα πραγματα και ταυτοχρονα να ειναι συμβατα με αυτα που πρεπει να ξερει ενας μαθητης για να δωσει με επιτυχια πανελληνιες και ταυτοχρονα τον εκπαιδευω να επιστρατευει την διπλωματια και να απανταει και επιτηδες λαθος καμμια φορα,αν αυτο ειναι απαραιτητο για να μην χασει μορια.
Η απάντησή μου είναι εύκολη και σαφής.
Θα πούμε στα παιδιά ότι D=m.ω^2 και θα τους δείξουμε το θέμα με τα 3 D (πάνω σε ελατήριο δύο σώματα εν επαφή).
Δεν παίζεις με παιδιά που γράφουν Εξετάσεις.
Κατέληγα:
-Δεν είναι τόσο σόι όλα αυτά, όμως έτσι θα απαντήσετε.
Και είναι λογικό διότι όταν μπαίνει ερώτημα με το D του υπερκειμένου προκρίνεται τέτοια απάντηση και τέτοια λογική.
καλησπέρα και Χρόνια Πολλά σε όλους
καλό ερώτημα
δεν είδα τη λύση λόγω μαζεμένης κούρασης από εργασιοθεραπεία στη ΝΑ Λακωνία, αλλά και λόγω γηρατειών βεβαίως-βεβαίως…
δράττομαι, πάντως, της ευκαιρίας (να το, το “εκ του Κλασσικού”) να υπενθυμίσω ξανά τη θέση μου για τον ορισμό της ΓΑΤ (οι “παλιοί” ίσως τον θυμούνται από το καρατομηθέν κεφάλαιο στο βιβλίο της Β Γενικής)
είναι κινηματικός και όχι δυναμικός, “αρμονική συνάρτηση του χρόνου”
δίδω τον ορισμό από αυτό που εισπράττω με τα μάτια μου, βοηθούμενος από πείραμα, και όχι από αυτό που την προκαλεί, το οποίο, θα διαπιστώσω, μπορεί, όμως, και όχι, από μετέπειτα προσπάθεια
γνωρίζω, βέβαια, ότι είμαι ισχνή μειοψηφία, ίσως ο Κωνσταντίνος είναι αρκετά κοντά μου
και βλέποντας το σχήμα αναρωτιέμαι: το πάνω σώμα δεν πραγματοποιεί ΓΑΤ;
αφού πάει “πακέτο” με το κάτω
και ποια δύναμη δέχεται στη διεύθυνση κίνησής του;
δεν δέχεται την στατική τριβή;
η οποία, όμως, ούτε χωροεξαρτώμενη είναι, ούτε δυναμικό διαθέτει
το σώμα, πάντως, μια χαρά ΓΑΤ πραγματοποιεί
παρόμοια θα ήταν η περίπτωση όπου το πάνω σώμα στηριζόταν σε πείρο ή ήταν χωμένο σε κατάλληλη λακκούβα ή ήταν καρφωμένο με πρόκα