Φθίνουσα ταλάντωση – επίδραση της πίεσης του αέρα

Καλησπέρα. Σπύρο οι πειραματικές σου δεξιότητες είναι εντυπωσιακές. (Έχω δει και άλλες σου αναρτήσεις). Στην παρούσα ανάρτηση όμως έχω κάποιες διαφωνίες. Εξετάζεις δυο ζητήματα. 1) Αν η δύναμη αντίστασης που συναντά η σφαίρα ή ο δίσκος από τον αέρα είναι ανάλογη της ταχύτητας 2) Πως εξαρτάται η απόσβεση της ταλάντωσης από την πίεση του αέρα (το ‘πείραμα’ του σχολικού βιβλίου σελ. 18 σχήμα 1-19)
Το 1) έχει άμεση σχέση με το αν ισχύει ο νόμος του Stokes για την κίνηση σφαίρας στον αέρα. Είναι γνωστό ότι ο νόμος Stokes για την αντίσταση που συναντά σφαίρα κινούμενη σε ρευστό ισχύει με την προϋπόθεση ότι ο αριθμός Reynolds (Re=2Rρυ/η) της ροής γύρω από την σφαίρα είναι << 1. Στην βιβλιογραφία βρίσκουμε ότι πειραματικά αποκλείσεις από τον νόμο του Stokes έχουν παρατηρηθεί για Re > 0,5. Με βάση αυτό και με τις τιμές του ιξώδους η και της πυκνότητας ρ του αέρα σε θερμοκρασία 20 C μπορούμε να βρούμε ενδεικτικά ότι για σφαίρα ακτίνας π.χ. 4cm για να ισχύει ο νόμος Stokes θα πρέπει η ταχύτητα της να είναι υ < 0,1 mm/s !  Επίσης για να ισχύει ο ν. Stokes για σφαίρα ακτίνας r που κινείται στον αέρα με πχ  υ=1cm/s θα πρέπει r < 0,4mm. Τα παραδείγματα αυτά δείχνουν ότι ο ν. Stokes δεν ισχύει για συνηθισμένες κινήσεις συνηθισμένων σωμάτων στον αέρα.
Όταν ο αριθμός Reynolds είναι πολύ μεγάλος (>1000 αλλά <100000) η αντίσταση δεν εξαρτάται από το ιξώδες, γίνεται ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας με τον συντελεστή αναλογίας να είναι ανάλογος της πυκνότητας του ρευστού και της μετωπικής επιφάνειας του σώματος.    
Όλα αυτά περιέχονται σε μια ανάρτηση για την:

φθίνουσα μηχανική ταλάντωση.

Σε σχέση με το 2ο ζήτημα. Πριν πολλά χρόνια στην πρώτη μου ανάρτηση στο υλικονετ έγραφα ότι το πείραμα του σχολικού βιβλίου σελ. 18 σχήμα 1-19 δεν έχει νόημα καθώς το 1866 ο J.C.Maxwell απέδειξε θεωρητικά με την κινητική θεωρεία των αερίων και επιβεβαίωσε πειραματικά με συσκευή δικής του επινόησης ότι το ιξώδες των αερίων σε σταθερή θερμοκρασία δεν εξαρτάται από την πίεση τους για μια πολύ μεγάλη περιοχή πιέσεων (όταν η μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων του αερίου είναι πολύ μεγαλύτερη της διαμέτρου των και πολύ μικρότερη των διαστάσεων του δοχείου). Δεν είναι δυνατόν λοιπόν το ιξώδες του αέρα να είναι όπως γράφεις ανάλογο της πυκνότητας του όταν μειώνεται η πίεση του. Όμως είναι σαφές ότι όταν ελαττώνεται η πίεση ελαττώνεται η απόσβεση της ταλάντωσης. Άρα θα πρέπει η δύναμη αντίστασης να είναι πιο κοντά στο να είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας όπου η σταθερά της αναλογίας είναι ανάλογη της πυκνότητας του αέρα και ανεξάρτητη του ιξώδους του.   

Καλησπέρα Σπύρο. Λες ότι ναι μεν δεν ισχύει ο ν. Stokes για την σφαίρα αλλά η αντίσταση εξακολουθεί να είναι ανάλογη της ταχύτητας. Η εικόνα που έχω από την βιβλιογραφία είναι ότι όταν παύει να ισχύει ο ν Stokes αυτό γίνεται όχι μόνο με αλλαγή του συντελεστή της ταχύτητας αλλά και του εκθέτη της. Ή ακριβέστερα , για μεγαλύτερο Re , στον πρωτοβάθμιο όρο ως προς την ταχύτητα προστίθεται και ένας δευτεροβάθμιος ο οποίος γίνεται κυρίαρχος για πολύ μεγάλο Re (βλ. πχ Taylor Classical Mechanics σελ.43-45).
Όταν έγραψα ότι σύμφωνα με τον Maxwell το ιξώδες του αέρα δεν μπορεί να είναι ανάλογο της πυκνότητας του , στο δυναμικό ιξώδες αναφερόμουν δηλαδή στο συντελεστή ιξώδους.