by 
Η στατιστική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης
Το 1954 ο Μαξ Μπορν βραβεύθηκε με το Νόμπελ φυσικής «για την θεμελιώδη έρευνά του στην Κβαντική Μηχανική, και ειδικότερα για την στατιστική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης». Μπροστά στο αδιέξοδο της κλασικής φυσικής να δώσει μια ικανοποιητική φυσική ερμηνεία στα υλικά κύματα ο Μαξ Μπορν προχώρησε το 1926 στην στατιστική τους ερμηνεία, που διατυπώνεται σε «πυκνή» μορφή ως εξής: Η κυματοσυνάρτηση δεν αντιπροσωπεύει ένα φυσικά παρατηρήσιμο κλασικό κύμα αλλά ένα «κύμα πιθανότητας». Το τετράγωνο του μέτρου (της απόλυτης τιμής) της κυματοσυνάρτησης μας δίνει την πυκνότητα πιθανότητας – δηλαδή την πιθανότητα ανά μονάδα μήκους (ή όγκου) – να βρούμε το σωματίδιο σε μια περιοχή του χώρου.
Σχολικό Βιβλίο Φυσικής
Όμως στο σχολικό βιβλίο της Χημείας ο μαθητής διαβάζει:
Υπάρχει διαφορά ή όχι; Τί να θυμάται για τις εξετάσεις, αφού ούτως ή άλλως και τα δύο δηλωτική γνώση εκφράζουν, δηλαδή γνώση που δεν μπορεί να γίνει αντιληπτή σε αυτή τη φάση των σπουδών του…..
Η εξίσωση του Schrodinger σε μία διάσταση:
Ακατανόητα σύμβολα…. Τί είναι αυτό το i ;;;;
Ας μιλήσουμε στοιχειωδώς για μιγαδικούς αριθμούς
Η κυματοσυνάρτηση Ψ=Ψ(x,y,z,t) είναι λύση της εξίσωσης Schrodinger , αλλά είναι μία μιγαδική συνάρτηση. Σε μία διάσταση:
Συμπερασματικά, το τετράγωνο Ψ^2 της κυματοσυνάρτησης είναι μιγαδικός αριθμός και δεν εκφράζει πιθανότητα.
Αντίθετα το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή το ∣ψ(x,y,z,t)∣^2=ψ(x,y,z,t)⋅ψ∗(x,y,z,t) όπου ψ∗(x,y,z,t) είναι η συζυγής της ψ(x,y,z,t), είναι πάντα μια θετική πραγματική ποσότητα, η οποία αντιπροσωπεύει την πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο σε στοιχειώδη όγκο γύρω από το σημείο (x,y,z) τη στιγμή t.
Ανακεφαλαιώνοντας
Σίγουρα στο χώρο υπάρχουν συνάδελφοι με σαφώς περισσότερες γνώσεις στην ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης από εμένα.
Το παραπάνω άρθρο είναι μία “ταπεινή” προσπάθεια ερμηνείας της διαφοράς των συμβόλων τετράγωνο κυματοσυνάρτησης Ψ^2 και τετράγωνο απόλυτης τιμής κυματοσυνάρτησης….
Οι μαθητές διαβάζουν πριν από τη φυσική στο βιβλίο χημείας για τετράγωνο κυματοσυνάρτησης Ψ^2 και μετά στο τέλος τους λέμε για τετράγωνο απόλυτης τιμής της κυματοσυνάρτησης…
Νομίζω πως όσο απλοϊκά και αν φαίνονται σε κάποιον ειδικό τα παραπάνω , αποτελούν μια ικανοποιητική ερμηνεία γιατί πρέπει να αναφερόμαστε στο τετράγωνο απόλυτης τιμής της κυματοσυνάρτησης…
Αν υπάρχει κάποια παρερμηνεία σε όσα αναφέρω θα με βοηθούσατε αν την υποδεικνύατε ….
Γεια σου Θοδωρή.
Καλύτερα να μιλάμε για μέτρο αντί για απόλυτη τιμή.
Επικαλούμαι κάτι από τα παραπάνω:
Το μέτρο υπολογίζεται και ως γινόμενο του μιγαδικού επί το συζυγή του.
Είναι η απόσταση της εικόνας του μιγαδικού από την αρχή των αξόνων.
Είναι το μήκος του στρεφόμενου διανύσματος.
Είναι η εμπέδηση ενός κυκλώματος, το πλάτος ή η ενεργός τιμή μιας τάσης.
Για τους μιγαδικούς και τις πιθανότητες το απλούστερο που μπορώ να πω είναι αυτό:
Και αυτό είναι δυστυχώς το δεύτερο μέρος ενός πονήματος:
Μιγαδικοί και εφαρμογές τους.
Επίσης δυστυχώς δεν παρουσιάζονται σε παιδιά. Ο μεγαλοφυής Φέυνμαν χρησιμοποίησε βελάκια στρεφόμενων ρολογιών. Στρεφόμενα ανύσματα δηλαδή.
Γιάννη ευχαριστώ για τη διόρθωση.
Διαβάζοντας διαγώνια τις αναρτήσεις που παραπέμπεις, θα συμφωνήσω
με τον Βασίλη:
“Γιάννη τώρα που “κάθεσαι” μήπως πρέπει να σε προσλάβουν για τη διδασκαλία της φυσικής στο φυσικό τμήμα?”
Καλημέρα Θοδωρή.
Με… εκπλήσσει η ενασχόλησή σου με την κυματοσυνάρτηση και το τετράγωνο του μέτρου της!
Αλήθεια οι μαθητές της κατεύθυνσης υγείας, ξέρουν τι σημαίνει μιγαδικός αριθμός;
Αλλά και οι μαθητές της θετικής κατεύθυνσης διδάσκονται την εξίσωση Euler; Δεν το γνωρίζω…
Καλημέρα Θοδωρή και Διονύση.
Όντως υπάρχει ένα κάποιο πρόβλημα με τη διαφορετική διατύπωση (πιθανότητα εύρεσης σε σημείο). Αν αναπαράξουν στο ένα μάθημα ότι γράφεται στο βιβλίο του άλλου;
Καλημέρα Θοδωρή. Αν και τους μιγαδικούς τους έχω σχεδόν ξεχάσει, διαβάζοντας το άρθρο σου κατάλαβα, μάλλον σίγουρα, ότι η πυκνότητα πιθανότητας εύρεσης ενός σωματιδίου σε όγκο dV είναι |Ψ|2
Το Ψ μπορεί να είναι μια μιγαδική συνάρτηση, οπότε το απλό τετράγωνό της Ψ2
δεν έχει φυσική σημασία. Όμως |Ψ|2 = Ψ Ψ* είναι πάντα πραγματικός και μη αρνητικός αριθμός, άρα μπορεί να εκφράζει την πυκνότητα πιθανότητας εύρεσης του σωματιδίου στον αντίστοιχο όγκο.
Καλησπέρα παιδιά, αυτό ακριβώς που γράφει ο Ανδρέας ήθελα να ξεκαθαριστεί…
Διονύση, οι μαθητές σίγουρα δεν ξέρουν μιγαδικούς, αλλά οφείλει κάποιος να τους εξηγήσει τη διαφορά στο απλό τετράγωνο μιας μυγαδικής συνάρτησης με το τετράγωνο του μέτρου της ίδιας μυγαδικής συνάρτησης, με λόγια απλά και κατανοητά…. γιατί σε λίγα χρόνια θα μας πούνε πως δεν μας χρειάζονται γιατί η ΑΙ απαντά σε κάθε ερώτηση…
Γιάννη, η διαφορά να βρεθεί σε σημείο από το να βρεθεί στον στοιχειώδη όγκο στο ίδιο σημείο, εκτιμώ πως δεν είναι το μείζον πρόβλημα για έναν μαθητή…
Καλησπέρα Θοδωρή, καλησπέρα σε όλους. Εύστοχη η διευκρίνησή σου Θοδωρή.
Να υπενθυμίσουμε ότι στις Πανελλαδικές του 2024 στη Χημεία, εμφανίστηκε η παρακάτω πρόταση στα Σ-Λ:
η οποία αξιολογήθηκε ως Σωστή, με βάση το αντίστοιχο σχολικό βιβλίο…
Διονύση γράφεις “Αλήθεια οι μαθητές της κατεύθυνσης υγείας, ξέρουν τι σημαίνει μιγαδικός αριθμός;
Αλλά και οι μαθητές της θετικής κατεύθυνσης διδάσκονται την εξίσωση Euler; Δεν το γνωρίζω…“
Από το 2016, οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν εξαιρεθεί από τα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Γ, άρα κανένας μαθητής (που παρακολουθεί το ελληνικό σύστημα) δεν γνωρίζει (επίσημα τουλάχιστον) τί σημαίνει μιγαδικός αριθμός…
Μίλτο, εγώ ξέχασα και πώς γράφεται και έγραψα μυγαδικος, αντί για μιγαδικός…..
I apologise…. κάνω προπόνηση τώρα….αν δεν καταλάβατε….
Καλημέρα Θοδωρή.
Να ξεκινήσω από το νόημα των λόγων του Διονύση –γεια σου Διονύση–. Πως μπορούμε με τον καθημερινό λόγο να προσεγγίσουμε έννοιες που κατά βάση είναι προσεγγίσιμες μόνο μαθηματικά.
Πολύ περισσότερο που ούτε οι μαθητές της θετικής κατεύθυνσης μπορούν να καταλάβουν αυτά τα βασικά που παραθέτει ο Γιάννης –γεια σου Γιάννη– για του μιγαδικούς.
Από διδακτική άποψη ίσως σχηματικά θα μπορούσαμε νομίζω να πούμε, με όλες τις επιφυλάξεις μιας γενίκευσης, ότι στη διαδικασία μετασχηματισμού της γνώσης σε διδακτέα ύλη (ειδικά στην κβαντομηχανική), ότι πρέπει να εφαρμόζουμε το «δεν λέω ψέματα, απλά δεν λέω όλη την αλήθεια»
Έτσι λοιπόν θεωρώ πολύ ικανοποιητικά όσα αναφέρεις στην συγκεκριμένη δουλειά σου.
Να προσθέσω ένα δυο πράγματα ως συμπληρωματικά στα όσα αναφέρεις στην προσπάθεια να βοηθήσουμε τα παιδιά.
● Αυτά που αναφέρει ο Γιάννης εδώ
δείχνουν ότι το σωστό για την πυκνότητα πιθανότητας είναι αυτό του βιβλίου φυσικής και όχι του βιβλίου χημείας.
● Η κυματοσυνάρτηση είναι καθαρά μαθηματική οντότητα και όχι φυσικό κύμα με ενέργεια και ορμή κατανεμημένο στο χώρο. Είναι Κύμα πληροφορίας μέσω της ποσότητας |Ψ(r)|² .
Μην μας μπερδεύει Το συνθετικό –κύματο- ΔΕΝ είναι το ίδιο το σωμάτιο που είναι απλωμένο ως κύμα σε όλο τον διαθέσιμο χώρο, αλλά το πλάτος πιθανότητας να το βρούμε στην μια ή στην άλλη θέση. (στατιστική ερμηνεία της Κυματοσυνάρτησης)
●
● Συνθήκη κανονικοποίησης.
Λόγω του ότι είναι βέβαιο γεγονός ότι θα βρούμε ένα σωμάτιο που μελετούμε κάπου στο χώρο, θα πρέπει η συνολική πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε ολόκληρο το χώρο να ισούται με μονάδα. Μαθηματικά, αυτό μεταφράζεται στην απαίτηση
●
● Η κυματοσυνάρτηση είναι μία συνάρτηση της θέσης και του χρόνου . Θα μπορούσε κάποιος να πει ότι η εξίσωση του Schrödinger για την κβαντομηχανική είναι όσο σημαντικός είναι ο δεύτερος νόμος του Newton για την κλασική φυσική.
Καλησπερα Θοδωρη και σε ολη την παρεα. Δεν διαφωνω σε τιποτα απ οτι εγραψε ο Θοδωρης αλλα και ολοι οι συναδελφοι.Αλλά αυτα ολα ειναι μονο για μεταξυ μας δεν ειναι για μαθητες.Δεν ενδιαφερει τους μαθητες αν οι εικονες της κυματοσυναρτησης ανηκουν στο πεδιο των μιγαδικων αριθμων ή τι ειναι μέτρο ενος μιγαδικου. Απο αποψη Φυσικης το μονο που πρεπει να ξερει απο το συγκεκριμενο εδάφιο ενας μαθητης που θα δωσει εξετασεις,ειναι οτι η κβαντομηχανικη ειναι μια θεωρια που δεν υπολογιζει θεσεις σωματιδιων αλλα πιθανοτητες θεσεων σωματιδιων.Αυτο το κανει μεσω μιας συναρτησεως που λεγεται κυματοσυναρτηση θεσεως ή κυματοσυναρτηση σκέτο, η οποια μας δινει πυκνοτητες πιθανοτητας. Τι ειναι η πυκνοτητα πιθανοτητας που προκυπτει απο μια κυματοσυναρτηση? Εννοιολογικα ειναι οτι και η πυκνοτητα μαζας,δηλαδη η γνωστη απο το Γυμνασιο πυκνοτητα.Οπως η πυκνοτητα επι εναν ογκο dV ενος κομματιου ενος σωματος μας δινει την μαζα αυτου του κομματιου ογκου dV,ετσι και η πυκνοτητα πιθανοτητας επι εναν ογκο dV μας δινει την πιθανοτητα το σωματιδιο να βρεθει μεσα σε αυτο το κομματι του χωρου,ογκου dV.
Ποια η πιθανοτητα να βρεθει ενα σημειακο σωματιδιο σε καποιο συγκεκριμενο σημειο του χωρου? Προφανως μηδεν διοτι ενα γεωμετρικο σημειο εχει ογκο μηδεν. Για να ηταν αυτη η πιθανοτητα μη μηδενικη,θα επρεπε η πυκνοτητα πιθανοτητας να ειναι απειρη.Πως γινεται τοτε τα σημειακα σωματιδια να εχουν μαζα αφου θεωρουμε οτι ογκος τους ειναι μηδεν? Υποθετουμε οτι εχουν απειρη πυκνοτητα,κατι που φυσικα υπαρχει μονο στην φαντασια μας.
Περιπου το περιεχομενο αυτης της παραγραφου διδασκω εγω στους μαθητες μου και τίποτα άλλο.
Καλησπέρα Άρη, χρήσιμα και εύστοχα (to the point) όσα για άλλη μια φορά
συμπληρώνεις…
Δυστυχώς καλούμαστε να αποχαιρετίσουμε τους μαθητές μας από την περιήγηση
στις έννοιες της φυσικής, με κάτι που δύσκολα και γίνεται αντιληπτό αλλά και
διδάσκεται….
Τουλάχιστον ας μην τους μπερδεύουμε και κυρίως ας μην “καμαρώνουμε” μετατρέποντας ασκήσεις με πηγάδια δυναμικού σε “καμουφλαρισμένα” στάσιμα….
Προσωπικά δεν με ενθουσιάζει να διδάξω κάτι παραπέρα από τη σκέδαση Compton…
Ίσως μέχρι εκεί να αισθάνομαι ότι πατάω καλύτερα…την τρίτη χρονιά διδασκαλίας…
Αρχίζω όμως να πιστεύω πως η σωστή θεωρητική τεκμηρίωση δεν είναι το ζητούμενο
στις νέες διδακτικές τάσεις …. Ας είναι καλά οι αναλώσιμες “δεξιότητες”….
Καλησπέρα Κωνσταντίνε γράφαμε μαζί, σε ευχαριστώ για τη συνοπτική και ουσιαστική τοποθέτησή σου.
Πέρυσι στη Χημεία ζητήθηκε ως Σωστό κάτι που ένας ψαγμένος μαθητής ξέρει πως δεν ισχύει…. 50 μόρια χαμένα
Πέρυσι στη Φυσική ζητήθηκε:
α) Σύμφωνα με τον Heisenberg, η αβεβαιότητα στη μέτρηση της ενέργειας μιας κατάστασης ενός συστήματος είναι αντιστρόφως ανάλογη με το χρόνο που το σύστημα παραμένει σε αυτή την κατάσταση
Ξέρεις καλύτερα από εμένα πως η σωστή απάντηση είναι Λ αλλά ο μαθητής
έπρεπε να γράψει Σ….. άλλα 50 μόρια χαμένα….
Σύνολο 100 μόρια που βασίζονται σε λανθασμένες επιστημονικά απαντήσεις…
Δεν άνοιξε ρουθούνι….. (Για άλλους λόγους βέβαια έγινε μεγάλος σαματάς…..)
Τα μόρια αυτά κρίνουν σχολές και πόλεις…
Γιατί πρέπει να εξετάζονται έννοιες που δυσκολευόμαστε να κατανοήσουμε και να διδάξουμε;;;;;;
Ίσως για να “καμαρώνουμε” πως ανήκουμε στις 22 χώρες που το ΠΣ της φυσικής έχει και κβαντομηχανική….
Μια πρόταση για την παρουσίαση της κυματοσυνάρτησης:
Δυστυχώς με πάρα πολλά εκτός ύλης.
Όμως αν καταλάβουν το πνεύμα απαντούν ευκολότερα σε κάποιες ερωτήσεις.