by 
Ένα μικρό σώμα μπορεί να μετακινηθεί από το σημείο Α στο σημείο Γ μέσω των διαδρομών (1) και (2), που αποτελούν κατακόρυφα, λεία, κυκλικά τόξα συμμετρικά ως προς τη γραμμή ΑΓ. Το σώμα αφήνεται στο σημείο Α και δεν χάνει την επαφή του με καμία διαδρομή. Μέσω ποιας διαδρομής θα φτάσει γρηγορότερα στο σημείο Γ;
Η ερώτηση είναι από το 200 More Puzzling Physics Problems. H απάντηση, η οποία θα ανέβει σύντομα, με προβληματίζει.
Καλημέρα Αποστόλη.
Νομίζω ότι η συντομότερη διαδρομή είναι η (2).
Θα αναπτύξει αρχικά μεγαλύτερη επιτάχυνση, συνεπώς και μεγαλύτερη ταχύτητα, με την οποία θα φτάσει γρηγορότερα στη θέση Γ.
Αυτό που ανέφερα παραπάνω σε μια απλούστερη εκδοχή όπου οι επιταχύνσεις δεν μεταβάλλονται διαρκώς. Έστω δύο διαδρομές που οι ταχύτητες μεταβάλλονται όπως στο σχήμα, όπου καταλήγουμε σε ίσες τελικές ταχύτητες (από ΑΔΜΕ).
Τότε με βάση τα εμβαδά καταλαβαίνουμε ότι η μετατόπιση στη διαδρομή (2) είναι πολύ μεγαλύτερη.
Αν θέλουμε να έχουμε ίσα εμβαδά, τότε το διάγραμμα θα πρέπει να έχει την μορφή του σχήματος:
Εικόνα που μας λέει ότι θα χρειαστεί μικρότερο χρόνο στην διαδρομή (2).
Καλημέρα.
Μια σκέψη… αιρετική. Η διαδρομή 2 πλησιάζει την κυκλοειδή καμπύλη η οποια ειναι η βραχυστόχρονη διαδρομή. Άρα η 2.
Αυτή η σκέψη βέβαια δεν είναι ακριβώς λύση διότι αν και οι δυο διαδρομές είχαν τα κοίλα με ιδιο προσανατολισμό δεν λειτουργει.
Κάποια μορια όμως θα τα πάρω
Καλημέρα παιδιά.
Η λύση του Διονύση διαφέρει από αυτήν του βιβλίου και είναι εξ’ ίσου σύντομη.
Γιώργο καλή ιδέα αλλά θέλει ανάπτυξη.
Καλησπέρα Αποστόλη. Η διαδρομή (2) έχει μεγαλύτερη αρχική κλίση, οπότε το σώμα επιταχύνεται περισσότερο στην αρχή, αποκτά μεγαλύτερη ταχύτητα νωρίτερα και διανύει το μεγαλύτερο μέρος της διαδρομής με υψηλότερη μέση ταχύτητα.
Αντίθετα, στη διαδρομή (1) η αρχική κλίση είναι μικρότερη, οπότε το σώμα επιταχύνεται πιο αργά.
Γεια σας παιδιά και ευχαριστώ για τις απαντήσεις. Η απάντηση του βιβλίου
Αυτό που με προβληματίζει με το επιχείρημα, είναι ότι αφού για κάθε ζευγάρι συμμετρικών τμηματων προκύπτει υ2 > υ1, μέσω της διαδρομής (2) το σώμα φτάνει στο Γ με μεγαλύτερη ταχύτητα, πράγμα άτοπο. Ίσως βέβαια να μην καταλαβαίνω το επιχείρημα.
Καλησπέρα Αποστολη καλησπέρα σε όλους.
Προσωπικά δεν μου αρέσει η λύση του βιβλίου, προτιμώ την λύση που έδωσα παραπάνω αλλά βλέπω σωστή και την λύση που ανέβασες.
Μπορεί σε κάθε θέση να ισχύει υ2>υ1 αλλά οι επιταχύνσεις στα τελευταία τμήματα των δυο διαδρομών μπορεί να είναι τετοιες ώστε οι τελικές ταχύτητες να έχουν το ίδιο μέτρο…
Αποστόλη φτάνει συντομότερα και όχι με μεγαλύτερη ταχύτητα.
Η διατήρηση της ενέργειας επιβάλλει να φτάσει με ίδια ταχύτητα.
Όσο πλησιάζουμε το κάτω άκρο τόσο οι ταχύτητες γίνονται πλησιέστερες.
Όμως οι διαφορές ταχυτήτων κάνουν τα κάτω τμήματα να διανύονται σε μικρότερους χρόνους.
Καλησπέρα στην παρέα.
Σύμφωνα με του Διονύση το σκεπτικό ,μια ποιό ρεαλιστική απόδοση των υ-t,
με την κλίση=α , στην 2 να μειώνεται συνεχώς ενώ στην 1 να αυξάνει …
Νομίζω πως η λογική απορία σου Αποστόλη ερμηνεύεται λέγοντας ότι :
κάθε στιγμή η υ2 είναι μεγαλύτερη της υ1 αλλά μεταβάλλονται με α2<α1 και τελικά υ2=υ1.
Διονύση και σε εμένα αρέσει καλύτερα το επιχείρημά σου. Γιάννη δεν αμφισβητώ ότι θα φτάσει με την ίδια ταχύτητα, όμως δεν αντιλαμβάνομαι το επιχείρημα της απάντησης. Αν σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της (2) η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από το συμμετρικό τμήμα στην (1), τότε δεν προκύπτει ότι η τελική ταχύτητα στη διαδρομή (2) θα είναι μεγαλύτερη, πράγμα που φυσικά δεν ισχύει;
Γεια σου Παντελή. Γράφαμε μαζί. Αντιλαμβάνομαι ότι θα φτάσει γρηγορότερα στη διαδρομή (2). Με το επιχείρημα της απάντησης έχω τον προβληματισμό.
Δεν προκύπτει Αποστόλη.
Οι επιταχύνσεις είναι μεγαλύτερες στην πάνω διαδρομή από τη μέση και κάτω.
Έτσι οι ταχύτητες εξισώνονται ενώ οι χρόνοι όχι.
Το διάγραμμα του Παντελή είναι ενδεικτικό.
Πιο απλή είναι η εξήγηση του Διονύση αν επεκταθεί σε πολλά ευθύγραμμα τμήματα.
Γιάννη το ότι οι επιταχύνσεις είναι μεγαλύτερες στην πάνω διαδρομή από τη μέση και κάτω το καταλαβαίνω. Με μπερδεύει η διατύπωση ότι: για κάθε ζευγάρι τμημάτων, συμμετρικών ως προς την ΑΓ, άρα και για τη συνολική κίνηση ισχύει υ2 > υ1. Παραθέτω και το κείμενο στα αγγλικά: “The same argument, and conclusion, applies to every pair of corresponding segments, and hence also for the whole motion. In other words, the bob reaches point Γ more quickly by following trajectory (2)”.
Παίζω με το σχήμα του Παντελή:
Τα δύο συμμετρικά τμήματα είναι το μπλε ορθογώνιο και το κόκκινο ορθογώνιο.
Έχουν ίδια εμβαδά. Διανύονται σε διαφορετικούς χρόνους dt.
Τη στιγμή t2 παύει η δράση της πάνω διαδρομής αλλά της κάτω συνεχίζεται. Αυξάνεται η ταχύτητα μέχρι να πιάσουμε την τιμή της ταχύτητας που είχαμε στη μπλε διαδρομή τη στιγμή t2.