by 
Άλλο ένα πρόβλημα για καθηγητές.
Δίνεται μια ποσότητα εύπλαστου υλικού μάζας Μ και σταθερής πυκνότητας ρ και ένα σημείο Σ του χώρου.
Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του μέτρου της έντασης του βαρυτικού πεδίου που μπορεί να δημιουργήσει η μάζα Μ στο σημείο Σ.
Καλημέρα Σπύρο.
Πολύ λίγα δεδομένα βλέπω
Μήπως να διευκρίνιζες λίγο περισσότερο την κατάσταση;
Ποιο είναι το σημείο Σ; Ένα οποιοδήποτε σημείο; Ποια η σχετική θέση του ως προς το κ.μ. του υλικού;
Καλημέρα Διονύση.
Το Σ είναι ένα οποιδήποτε σημείο του χώρου. Το ερώτημα είναι, έχοντας τη δυνατότητα να διαμορφώσουμε το σχήμα της εύπλαστης μάζας όπως θέλουμε και να την τοποθετήσουμε όπως θέλουμε σε σχέση με το Σ, να υπολογίσουμε τη μέγιστη δυνατή βαρύτητα στο Σ.
Καλησπέρα Σπύρο.
Υποθέτω ότι μπορούμε να βάλουμε το Σ και πάνω στο σώμα.
Καλημέρα σε όλους,
Διαισθητικά, μου φαίνεται ότι θα έπρεπε να κάνουμε μια σφαίρα μάζας Μ, πυκνότητας ρ, οπότε βρίσκουμε την ακτίνα της R και το Σ να είναι ένα σημείο της επιφάνειας της. Δεν ξέρω όμως πώς να δείξω ότι η F θα είναι τότε μέγιστη.
Μήπως ενεργειακά; Έχουμε τότε ελαχιστοποίηση της U;
Καλησπέρα.
Θα φτιάξουμε με το υλικό μια ράβδο άπειρου μήκους. Με χρήση του νόμου του Gauss αποδεικνύεται ότι
g = 2Gρ/r όπου r απόσταση από ράβδο. Για r πολύ μικρό η g γίνεται πολύ μεγάλη. Αυτό είναι εύκολο να αποδειχθεί. Το δύσκολο είναι να φτιάξουμε ράβδο άπειρου μήκους. Αλλά εκεί θα κολλήσουμε?
Καλησπέρα σε όλους.
Στάθη η σχετική θέση Σ και σώματος μπορεί να είναι όποια θέλουμε. Είναι όμως προφανές ότι το Σ πρέπει μα είναι σημείο της επιφάνειας του σώματος αφού θέλουμε μεγιστοποίηση της βαρύτητας.
Θα συμφωνήσω με το Διονύση το Μητρόπουλο. Μία πιθανή λύση είναι η εις άτοπο απαγωγή. Δηλαδή έστω ότι το σχήμα που μεγιστοποιεί τη βαρύτητα στο Σ είναι μία σφαίρα με Σ ένα σημείο της επιφάνειάς της. Αν η υπόθεση αυτή δεν είναι σωστή τότε θα είχαμε τη δυνατότητα να μετακινήσουμε μία στοιχειώδη μάζα σε κάποιο άλλο σημείο και να πετύχουμε μεγαλύτερη τιμή από αυτή που επικρατεί Έστω ότι αφαιρούμε μία στοιχειώδη μάζα dm από σημείο της περιφέρειας που απέχει απόσταση r από το Σ. τοποθετούμε αυτή τη μάζα από κάτω αφού δεν έχουμε τη δυνατότητα να την τοποθετήσουμε κάπου αλλού έτσι ώστε να αυξάνεται η δύναμη. Τότε θα πρέπει F1<F2–> C/4R^2<Cσυνφ/r^2 –> 1/4R^2<συνφ/(2Rσυνφ)^2–> συνφ<1 ο.ε.δ
Πάνο καλησπέρα.
Γιατί λές ότι "δεν μπορούμε να την τοποθετήσουμε κάπου αλλού ώστε να αυξάνεται η δύναμη"; Δεν κατάλαβα και αυτό που γράφεις στο τέλος.
Σκέφτομαι το εξής: Η σφαιρα είναι σαν ένα υλικό σημείο στο κέντρο της. Αν επιπλέον είχα δύο υλικά σημεία πηγές πάνω και κάτω, η βαρύτητα αυξάνει. Το σχήμα πρέπει να είναι σαν οριζόντιο υ.
Ενδεχομένως όχι τόσο "κλειστό" όσο το υ, με ένα σφαιροειδες "πίσω".
Αν θέλουμε η συνεισφορά στο Σ να είναι γραμμική σε έναν άξονα ώστε να μεγιστοποιειται το αθροισμα στην ένταση, πρέπει η κατανομή μάζας να είναι συμμετρικη ως προς τον άξονα που συνδέει το Σ με το σώμα και να ανήκει στο 1ο και 4ο τεταρτημοριο του χώρου. Φαντάζομαι το Σ στον οριζόντιο άξονα χ και το σώμα με άξονα συμμετρίας τον χ.
Το σχήμα δεν νομίζω να μπορεί να είναι σφαιρικο.
Σωστή σκέψη Στάθη. Πράγματι το σήμα δεν είναι σφαιρικό και είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα της έντασης του πεδίου στο Σ. Πρέπει όμως να βρεθεί το ακριβές σχήμα για να υπολογιστεί η τιμή της έντασης.
Καλησπέρα σε όλους.
Δυναμικό πεδίου βαρύτητας σφαιρικά συμμετρικό υπάρχει μόνο για σφαιρικά συμμετρικές πηγές. Σε μη σφαιρικά συμμετρικές πηγές το δυναμικό προκύπτει σε πλειονοπολική ανάπτυξη. Αν ζητάμε το δυναμικό μακριά από το σώμα, αρκεί μόνο ο όρος 2ης τάξης (ο όρος 1ης τάξης μηδενίζεται σε κατάλληλο σύστημα αναφοράς) αυτής της ανάπτυξης.
Όταν συζητάμε τέτοια θέματα "τα λόγια είναι περιττά". Θέλει μαθηματικά. Ο όρος 2ης τάξης περιέχει τρεις προσθετέους που ο καθένας είναι ανάλογος κάθε μιας από τις τρεις κύριες ροπές αδράνειας του σώματος.
Στις 5/3/2017 είχα δημοσιεύσει τον όρο 2ης τάξης σ΄ αυτό εδώ το δίκτυο.
Τον ξαναδίνω εδώ.
Καλησπέρα σε όλους.
Μια προσπάθεια ΕΔΩ