by 
Ο κύλινδρος έχει ακτίνα R και το τεταρτοκύκλιο ακτίνα 5R.
Ο κύλινδρος κυλίεται στο ακίνητο τεταρτοκύκλιο χωρίς να ολισθαίνει σ’ αυτό. Η έναρξη και το τέλος της διαδρομής του αποτυπώνονται στο σχήμα.
Πόσες στροφές έκανε;
Απάντηση:
Λόγω της απουσίας ολίσθησης τα δύο τόξα είναι ίσα.
Επειδή η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου είναι πενταπλάσια, η γωνιακή μετατόπιση του κυλίνδρου θα είναι πενταπλάσια της γωνίας του τεταρτοκυκλίου, δηλαδή θα είναι 5π/2.
Επομένως ο κύλινδρος εξετέλεσε 1,25 στροφές.
Συμφωνούμε με την λύση αυτήν;
Αν όχι μπορούμε να βρούμε μία σύντομη και προσιτή σε μαθητές;
Είναι 1,25 περιστροφές η απλά το μήκος του τόξου του τεταρτοκυκλίου είναι ίσο με το 1,25 φορές την περίμετρο του κυλίνδρου;
Φυσικά τα μήκη έχουν την σχέση που αναφέρεις.
Είναι μία περιστροφή όπως φαίνεται και στην προσομοίωση.
Η σύνδεση της κύλισης χωρίς ολίσθηση με τόξα περικλείει κινδύνους.
Αν δεν υπάρξει λύση, θα στείλω μία εντυπωσιακά σύντομη και προσιτή σε μαθητές.
Δεν ξέρω πόσο προσιτή είναι για μαθητές, αλλά μια …πολύ παλιά:
Και όμως ισχύει…….
όπου υποστηρίζεται ότι η γωνία περιστροφής είναι ίση με την διαφορά των δύο γωνιών, όπου στην περίπτωσή μας δίνει:
1,25 περιστροφές – 0,25 περιστροφές = 1 περιστροφή
Καλησπέρα Γιάννη, καλησπέρα Διονύση.
Η περιστροφή είναι μία, (5R-R)θ' = R θ => 4 R π/2 = R θ => θ = 2π.
Και την θυμάμαι και την είχα υπ' όψιν μου όταν έγραφα σχόλιο στην ανάρτηση του Χρήστου.
Η λύση που σκέφτηκα:
Το κέντρο του κυλίνδρου στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω περί το κέντρο του ημικυκλίου και ο προσανατολισμός του κυλίνδρου μεταβάλλεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Η ταχύτητά του είναι υ.
Η Γεωμετρία δεν έχει ζώα όπως ο χρόνος, η στροφορμή, οι ομογένειες, τα κέντρα μάζας, οι επιταχύνσεις κ.λ.π. , οπότε ας θεωρηθούν τα παραπάνω σταθερά.
Λόγω απουσίας ολίσθησης υ = ω.R
Επίσης υ = Ω.4R , διότι τόσο απέχουν τα δύο κέντρα.
Από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι ω = 4Ω.
Επομένως η γωνιακή μετατόπιση του κυλίνδρου είναι τετραπλάσια της ορθής γωνιάς, δηλαδή 2π.
Έκανε επομένως μία στροφή.
Καλησπέρα Στάθη. Συμφωνώ.
Λες ουσιαστικά ότι το μήκος του τόξου που γράφει το κέντρο του κυλίνδρου είναι ίσο με το γινόμενο γωνιακής μετατόπισης επί την ακτίνα του κυλίνδρου. Σωστό είναι αλλά όχι εμφανές.
Σε κύλιση στο επίπεδο η μετατόπιση του κέντρου και το "μήκος βαψίματος" ταυτίζονται. Εδώ όμως το "μήκος βαψίματος" είναι μεγαλύτερο από την διαδρομή του κέντρου.
Η σχέση σου είναι εμφανής αν προκύψει από την σχέση υ = ω.R.
Γιαννη ειναι ενα απο τα ερωτηματα , (Δ5+)
που θετω σε τετοιου ειδους ασκησεις το οποιο το αντιμετωπιζω με την αναλυση που κανει ο Σταθης πιο πανω . Δεν ειναι ευκολο ….
Κώστα Χρόνια Πολλά και από εδώ.
Η ανάρτηση είναι παραπροϊόν των σχολίων μου στην ανάρτηση του Χρήστου. Ουδέποτε αγάπησα την "αντιστροφή" που γίνεται συνέχεια για χρόνια. Δηλαδή αποδεικνύουμε την σχέση υ = ω.R μέσα από ισότητα τόξων.
Αγαπώ ακριβώς το αντίστροφο. Η ισότητα τόξων είναι απλή εφαρμογή της σχέσης υ = ω.R.
Η σχέση αυτή δεν σχετίζεται με το σχήμα της διαδρομής. Πάρε όποια διαδρομή θέλεις. Ας έχει σχήμα αρμονικής καμπύλης, παραβολής, κυκλοειδούς κ.λ.π. Το σημείο επαφής έχει δύο ταχύτητες. Την υ του κέντρου και την υπ = ω.R.
Για να μην έχω τριψίματα πρέπει το σημείο επαφής να έχει μηδενική ταχύτητα. Πρέπει δηλαδή υ = ω.R.
Έτσι το μήκος της διαδρομής του κέντρου διαφέρει (εν γένει) από το μήκος του δρόμου.
Η αντιμετώπιση αυτή είναι και πολύ εύκολη και προσιτή σε μαθητές.
Καλησπέρα στσι φίλους.
Δεν ξέρω αν η λύση που δίνω εγώ σ'αυτές έχει σύνοψη επιμέρους σκέψεων και σχέσεων ,πάντως ορθά αποτελέσματα βγάζει …
Στη συγκεκριμένη: αριθμός περ/φών Ν=S του κέντρου /S της περιφέρειας του κυλιόμενου = (1/4)2π4R/ 2πR =1
…και αν ήταν εξωτερικά κυλιόμενος(σε οριζόντιο εννοείται επίπεδο) θα έκανε Ν=(1/4)2π6R/2πR =6/4 = 1,5
Γιαννη ναι αλλα το ω=4Ω ==> η γωνιακή μετατόπιση του κυλίνδρου είναι τετραπλάσια της ορθής γωνιάς, δηλαδή 2π. θελει λιγο αναλυση ετσι δεν ειναι ;
Ωπα…Κώστα Χρόνια Πολλά και πάντα υγιής!
Καμία ανάλυση Κώστα. Μια γωνία είναι ίση με το γινόμενο ω.t. Στον ίδιο χρόνο ο λόγος των γωνιών είναι ίσος με τον λόγο των γωνιακών ταχυτήτων.
Σα να σου λέω ότι ένα αυτοκίνητο έχει τετραπλάσια ταχύτητα από ένα ποδήλατο και θα διανύσει στον ίδιο χρόνο τετραπλάσια απόσταση.
Χρειάζεται απόδειξη ο ισχυρισμός;
Θα ελεγα στην γραμμη που εβαλε ο Σταθης για να μην μπλεξουμε τις ακτινες εστω R αυτη του ημικυκλιου και r αυτη της σφαιρουλας . Τοτε αν η ακτινα της κυκλικης κινησης του CM διαγραφει γωνια ΔΘ σε χρονο Δτ τοτε η σφαιρουλα εχει διαγραψει γωνια Δφ λογω της ιδιοπεριστροφης της στον ιδιο χρονο αρα :
ΔΘ=ΔS/(R-r) , ΔS=r*Δφ ===> ΔΘ=r*Δφ/(R-r) ===> Δφ= (R-r)*ΔΘ/r
(Ευχαριστω Παντελεημων να εισαι καλα
)
Καλησπέρα Παντελή. Σωστό είναι αλλά όχι εμφανές. Γιατί να είναι ίσο με αυτό το τόξο και όχι το άλλο ακτίνας 5R;
Όταν ο δρόμος είναι επίπεδος και θέλουμε τον αριθμό των περιστροφών, διαιρούμε το μήκος του με την περιφέρεια.
Εδώ όμως δεν κάνουμε το ίδιο. Διαιρούμε την διαδρομή του κέντρου με την περιφέρεια. Το γιατί δεν είναι εμφανές.