Δημήτρης Κοντουδάκης

Να ξεκινήσω με μία παρατήρηση. Η πρόταση:

7. Το άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο της σανίδας είναι μηδέν.

Ποιαν έχει ως άρνηση;

Μήπως αυτήν που γράφεται;

7. Το άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο της σανίδας είναι διάφορο του μηδενός.

Αν δεν κάνω λάθος η αντίθετη πρόταση είναι:

7. Το άθροισμα των ροπών ως προς κάποιο σημείο της σανίδας είναι διάφορο του μηδενός.

Όταν κατασκευάζουμε την αντίθετη μιας πρότασης αντικαθιστούμε το "δια κάθε" με το "υπάρχει".

Τα άλλα (υποθέτω ότι δεν ανατρέπεται και αποδεικνύω ότι δεν ανατρέπεται, άρα….) θέλουν προσοχή.

Δηλαδή, κρατάω τη σανίδα με το χέρι ώστε να μην ανατραπεί ότι και να γίνει. Αν αποδείξω ότι το χέρι μου δεν θα ασκήσει δύναμη προς τα κάτω, καταλαβαίνω πως το χέρι μου δεν χρειάστηκε. Δηλαδή η σανίδα δεν θα ανατρεπόταν αν δεν την κρατούσα.

Θα έπρεπε να γραφούν όλα αυτά;

Καλησπέρα Δημήτρη.

Διάβασα το άρθρο, αλλά δεν διάβασα την "σωστή λύση"!

Φαντάζομαι ότι το ερώτημα είναι αν:

«Είναι τυπικά σωστή μια διαδικασία κατά την οποία υποθέτω κάτι ως αληθές και αν βγάλω σωστό συμπέρασμα δέχομαι την υπόθεση;»

Παραλλαγή:

Υποθέτω ότι υπάρχει θέση στην οποία οριακά ανατρέπεται. Την βρίσκω.

Αν αποδείξω ότι ουδέποτε θα φτάσει σ' αυτήν έχω αποδείξει ότι δεν ανατρέπεται.

Ίσως δεν κατάλαβα καλά τι εννοούν οι συνάδελφοι.

Καλησπέρα Γιάννη, καλησπέρα Στάθη.

Το θέμα μου θύμισε μια παλιότερη συζήτηση:

Έστω ότι συμβαίνει … άρα συμβαίνει;

Καλησπέρα συνάδελφοι. Για να μιλάμε πρέπει να έχουμε και ένα link με την απάντηση. Είναι ΑΥΤΟ.
Μου φαίνεται λίγο βιαστικά γραμμένη απάντηση, όχι όμως λάθος.
Η λογική νομίζω ότι είναι:
Με δεδομένο ότι θέλουμε η ράβδος να ισορροπεί σε επαφή με το έδαφος, περιμένουμε η αντίδραση στο Α να έχει Ν(Α)>0. Την υπολογίζουμε λοιπόν στην ανώτερη θέση που βρέθηκε ο κύλινδρος και τη βρίσκουμε Ν(Α) = 12/5 Ν > 0. 
Θα μπορούσαμε με την ίδια αρχική υπόθεση να βρούμε το μέγιστο διάστημα για το οποίο η ράβδος ισορροπεί σε επαφή με το έδαφος, δηλαδή να βάζαμε τη συνθήκη Ν(Α) >=0, οπότε θα έβγαινε x1 <= 0,5m. 

Θα ήθελα να τονίσω οτι το ερώτημα είναι : αν η ράβδος ανατρέπεται. Οχι αν ανασηκώνεται ή αν χάνει την επαφή της με το έδαφος.

Εφόσον λοιπόν υπάρχει σταθερή άρθρωση η ράβδος δεν μπορεί να ανατραπεί!

Καλησπέρα συνάδελφοι.

Νίκο γιατί λες ότι λόγω άρθρωσης η ράβδος δεν μπορεί να ανατραπεί; Το να περιστραφεί γύρω από τον άξονα, δεν μπορεί να περιγραφεί με τον «όρο» ανατροπή;

Το συγκεκριμένο ερώτημα επιδέχεται διάφορες λύσεις και όχι μόνο μία. Οπότε ας περιοριστούμε στην απόδειξη που αναφέρουν οι συνάδελφοι στο esos.

Επί της αρχής νομίζω ότι έχουν ένα δίκιο. Η αποδεικτική μέθοδος είναι η εις άτοπον απαγωγή.

Δεχόμαστε ότι ισχύει κάτι, μέχρι να οδηγηθούμε σε άτοπο. Προκύπτει σαν συμπέρασμα και από την παλιά συζήτηση, και, σαν μαθηματική αποδεικτική μέθοδος, δεν μπορεί να αμφισβητηθεί.

Και όμως, εδώ και χρόνια, καθημερινά έχει επικρατήσει η αποδεικτική μέθοδος «έστω ότι ισχύει… άρα ισχύει», την οποία χρησιμοποιούμε κατά κόρον στο στερεό.

Είναι μια σειρά από συνεπαγωγές, όπως αναφέρει ο Στάθης; Αν ναι, τότε μαθηματικά η απόδειξη στέκει.

Κάποια συνεπαγωγή δεν ισχύει… την πατήσαμε!

Το παράδειγμα του Γιάννη ξεκάθαρο. Υποθέτουμε ότι η κρούση είναι ελαστική και φτάνουμε στη διατήρηση της ορμής που ισχύει… Μια τρύπα στο νερό. Η ΑΔΟ ισχύει σε όλες τις κρούσεις.

Στη συγκεκριμένη τώρα λύση, προσωπικά δεν βλέπω να υπάρχει κάποιο πρόβλημα. Υποθέτουμε ότι μόλις ο κύλινδρος φτάνει στην ανώτερη θέση, η ράβδος συνεχίζει να είναι σε επαφή με το έδαφος και υπολογίζουμε την Ν. Αφού η Ν προκύπτει ότι υπάρχει (είναι διάφορη του μηδενός), είναι φανερόν ότι η υπόθεσή μας ευσταθεί…και η ράβδος δεν ανασηκώνεται.

Ίσως υπήρχε ένα πρόβλημα αν βρίσκαμε Ν=0. Τι σημαίνει αυτό;

Οριακά χάνει η ράβδος την επαφή με το οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να περιστρέφεται;

Ή η ράβδος ανατρέπεται;

καλησπέρα σε όλους (τους λίγους που ξενυχτούν…)

είδα την ανάρτηση σε άλλο χώρο και θεωρώ ότι, πολύ αυστηρά, μάλλον έχουν δίκιο οι συνάδελφοι, αφού υποθέτεις κάτι αυθαίρετα και μετά…, που βέβαια και είναι αποδεκτή προσέγγιση για εξετάσεις μαθητών

προσωπικά νομίζω ότι σωστότερη αντιμετώπιση του Δ5 θα ήταν, όταν ο κύλινδρος ακινητοποιείται στιγμαία, να "δω" τις "σίγουρες" δυνάμεις που δέχεται η ράβδος, δηλαδή το βάρος της και τη δύναμη από τον κύλινδρο, και να συγκρίνω την προς τα δεξιά ολική ροπή σε σχέση με τον άξονα Γ, με την προς τα αριστερά και

αν αυτή είναι μεγαλύτερη, η ράβδος ανατρέπεται προς τα δεξιά

αν αυτή είναι μικρότερη, η ράβδος δεν ανατρέπεται (το πώς δεν ζητείται, αλλά για τους …περίεργους, η ροπή μιας δύναμης από το δάπεδο στο αριστερό άκρο "τρώει" τη διαφορά ροπών) και

αν αυτή είναι ίση, η ράβδος πάλι δεν ανατρέπεται διότι "έρχεται" από ισορροπία

Καλημέρα παιδιά.

Θα επιμείνω. Δεν υποθέτουμε ότι η ράβδος δεν ανατρέπεται. Ούτε υποθέτουμε ότι το σώμα έφτασε σε κάποια θέση.

Λέμε ότι οριακή ανατροπή θα είχαμε αν το σώμα βρισκόταν μισό μέτρο μπροστά από το Γ.  Αυτό δεν αμφισβητείται. Ούτε σχετίζεται με τα προηγούμενα ερωτήματα. Θα μπορούσε να υλοποιηθεί αν με το χέρι βάζαμε εκεί το σώμα. Το ότι δεν φτάνει σε απόσταση μεγαλύτερη από 20 πόντους σημαίνει ότι δεν έχουμε ανατροπή.

Η παραπάνω νοητική διαδικασία δεν έχει καμία μα καμία σχέση με την «έστω ότι ισχύει… άρα ισχύει»..

Δεν συμφωνώ επομένως με τους συναδέλφους. Θεωρώ πως δεν υπάρχει ούτε τυπικό πρόβλημα. Δεν εμπίπτει η περίπτωση σε κάποια από αυτές που αναφέρθηκαν στην τότε συζήτηση. Δεν θα πω ότι "πολύ αυστηρά έχουν ένα δίκιο".

Η άσκηση μοιάζει μα αυτήν του σχολικού βιβλίου (εργάτης-σανίδα).

Σε ποια θέση θα είχαμε οριακή ανατροπή;

Την βρίσκουμε και λέμε στον εργάτη να μην την προσπεράσει.

Δεν υποθέτουμε λέγοντας "οριακή ανατροπή" ότι ένας εργάτης κινείται μέχρι κάποιο σημείο και δεν έχουμε ανατροπή.

Οι δύο προτάσεις δεν είναι ισοδύναμες.

Ας αφήσουμε για λίγο τους σημερινούς μαθητές και την πρόθεσή μας να τους εξετάσουμε στις ροπές.

Ας υποθέσουμε ότι το θέμα της ανατροπής ετίθετο στο παρελθόν. Τότε θα απαντούσαμε ότι το κέντρο μάζας του συστήματος δεν θα ξεπεράσει το σημείο Γ. Θα παραμείνει "εντός της βάσης στήριξης" και δεν θα έχουμε ανατροπή.

Ο προσδιορισμός της θέσης του κέντρου μάζας δεν απαιτεί υπολογισμούς διότι οι μάζες είναι ίσες.

Τα περί βάσης στήριξης τα διδάσκαμε τότε που στην Α΄ Λυκείου διδασκόταν το στερεό.

Η ανησυχία ενός μαθητή. Γράφει ο Δημήτρης στο εσος:

Δεν ξέρω τώρα, ανήμερα των αποτελεσμάτων μου δημιουργούνται ανησυχίες.
Εγώ που πήρα ότι έστω η αντίδραση του εδάφους είναι οριακά 0 και απέδειξα ότι η ροπή βάρους της σανίδας υπέρνικάει την ροπή αντίδρασης του κυλινδρου και συνεπώς δεν ανατρέπεται το έκανα λάθος;

Σωστός ο Freeman…

Νομίζω άψογος ο (μαθητής) Δημήτρης

Δεν έγραψε για Ν, την "έγραψε"…

"Ως εκ του Κλασσικού", με δύο "σ", ναι, που έμπλεξε με σας τους "εκ του Πρακτικού", με "χαλάει" όπως, νομίζω, και τον Νίκο Λ. πιο πάνω, ο όρος ανατροπή, άλλο τί αντελήφθησαν οι εξεταζόμενοι, και άρα "μήτε γάτα…"

συμφωνώ με τον Νίκο, αν κατάλαβα καλά, ότι ανατροπή, δηλαδή αμοιβαία αλλαγή σχετικής θέσης των άκρων της ράβδου, ως προς το στήριγμα, δεν μπορεί, κατασκευαστικά, να γίνει, άρα η ερώτηση έπρεπε να ήταν αν χαθεί η επαφή του άκρου με το δάπεδο 

Νίκο και Βαγγέλη καλό μεσημέρι.

Τα βρήκατε βλέπω, επί του γλωσσολογικού, οπότε… πάσο