Παναγιώτης Κουμαράς

Καλησπέρα Παναγιώτη.

Δεν είμαι σίγουρος αν θέλεις κάτι σαν το παρακάτω:

Η πίεση ως πυκνότητα ενέργειας.

Περιοριζόμενος Παναγιώτη στην σταθερότητα του αθροίσματος που αναφέρεις, μπορούμε μα συμπεράνουμε ότι μια “μαζούλα” νερού που έχει κάποια ταχύτητα σε σημείο Α ακίνητου υγρού, θα έχει την ίδια ταχύτητα σε οιοδήποτε άλλο σημείο του.

Αν δε υπάρχει ροή η διαφορά των δύο πιέσεων επί τον όγκο της μαζούλας, εκφράζει το έργο που προσφέρθηκε σ’ αυτήν.

Ισούται με την μεταβολή της μηχανικής του ενέργειας, δηλαδή την μεταβολή του όρου  ρ.δV.h+1/2ρ.δV.υ^2.

Όμως ίσως σκέφτεσαι κάτι άλλο από αυτά.

Καλή χρονιά Παναγιώτη.

Χαίρομαι που σε βλέπω σχολιάζοντα!

Επί των ερωτημάτων που βάζεις, μια πρώτη σκέψη:

Αν μια στοιχειώδης μάζα μετακινηθεί από το Α στο Β, πράγματι μειώνεται η δυναμική της ενέργεια αφού “χαμηλώνει” αλλά ταυτόχρονα η μετακίνησή της αυτή, “προσθέτει” βάρος υπερκειμένου υγρού, δηλαδή την οδηγεί σε περιοχή αυξημένης πίεσης.

Αυτό πρέπει να μας οδηγήσει σε παραπέρα σύνδεση;

Χρόνια πολλά Παναγιώτη.

Η σχέση που αναφέρεσαι προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της υδροστατικής πίεσης. Διάβασε εδώ.

Καλησπέρα Νίκο.

Προφανώς ισχύει η μαθηματική σχέση.

Νομίζω ότι ο Παναγιώτης κάπου αλλού στοχεύει, αλλά δεν ξέρω πού…

Καλησπέρα παιδιά.

Ακόμα δεν ξέρω τι θέλει να αναδείξει ο Παναγιώτης. Σκέφτομαι πως θέλει να θεωρηθεί η εξίσωση Μπερνούλι ως μια εξίσωση μεταξύ ενεργειακών πυκνοτήτων.

Ο όρος 1/5ρ.υ^2 είναι πυκνότητα κινητικής ενέργειας.

Ο όρος ρ.g.h είναι πυκνότητα δυναμικής ενέργειας.

Ο πίεση P είναι ενεργειακή πυκνότητα, με την έννοια ότι ΔP.δV είναι το έργο που παράγεται από την ροή πάνω σε μαζούλα όγκου δV. Δηλαδή είναι προσφερόμενη ενέργεια.

Θα δούμε αν αυτό θέλει να αναδειχθεί.

Καλησπέρα.

Σε ένα συντηρητικό δυναμικό πεδίο, η δύναμη ανά μονάδα όγκου σε ένα σημείο του είναι το -grad της πυκνότητας δυναμικής ενέργειας στο σημείο. Σε ένα στατικό ρευστό η δύναμη ανά μονάδα όγκου σε ένα σημείο του είναι το -grad της πίεσης στο σημείο. Όταν το ρευστό είναι μέσα στο πεδίο, η δύναμη ανά μονάδα όγκου είναι το -grad του αθροίσματος της πυκνότητας δυναμικής ενέργειας και της πίεσης. Η πηγή του φαινομένου που ανακάλυψε ο Παναγιώτης είναι ακριβώς αυτή.

Καλησπέρα σε όλους.

Αυτό που γράφεις είναι μια οριακή περίπτωση της εξίσωσης  Bernoulli στην ισορροπία. Επειδή το στατικό υγρό είναι υποχρεωτικά αστρόβιλο, ισχύει σε δύο οποιαδήποτε σημεία του. Δηλαδή αυτό που έγραψε ο Γιάννης και ο Νίκος με διαφορετικό τρόπο. Θα ίσχυε το ίδιο αν είχαμε ομοιόμορφη ροή κατά μήκος του οριζοντίου άξονα με έναν όρο επιπλέον, τον 0.5ρυ^2.

Καλημέρα παιδιά.

Σε αυτό που γράφει ο Στάθης.

Έστω ότι έχουμε ένα κατακόρυφο σωλήνα, τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης και μια μόνιμη ροή.

Η εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων Α και Β μας δίνει

που οδηγεί στην ίδια μαθηματική εξίσωση, αφού έχουμε σταθερή ταχύτητα ροής στα δυο σημεία.

Την καλησπέρα μου Άρη.

Συμφωνώ με όσα λες αλλά θέλω να αναδείξω κάτι,  νομίζω κεντρικό στην εξίσωση Bernoulli. Η πιο βολική γραφή της είναι (αποφεύγω τον διανυσματικό τελεστή ανάδελτα),

dp + d (0.5ρυ^2) +d (ρgh) = 0.

Η εξίσωση δηλώνει ότι σε κάποιες ειδικές περιπτώσεις η μεταβολή της πυκνότητας ενέργειας σε μια ροή είναι αντίθετη από την μεταβολή της πίεσης.  Πράγματι εδώ η πίεση είναι κατ ουσίαν η πυκνότητα του έργου που ασκούν οι αντίστοιχες δυνάμεις λόγω πίεσης και όχι καθαρή πυκνότητα ενέργειας.

Διαφορετικά  οι βαθμίδες της πίεσης μεταβάλλουν την πυκνότητα ενέργειας της ροής από σημείο σε σημείο της. Για να ισχύει αυτό πρέπει η ροή να είναι ασυμπίεστη, μόνιμη,  αστρόβιλος και να μπορεί να αγνοηθεί το ιξώδες της (μεγάλοι αριθμοί Reynolds). Αυτό συμβαίνει γιατί τότε το πεδίο της ταχύτητας σε όλη την έκταση της ροής είναι συντηρητικό: κατά μήκος δηλαδή μιας κλειστής διαδρομής το ολοκλήρωμα της ταχύτητας ισούται με το μηδέν (μηδενική κυκλοφορία), όπως το αντίστοιχο ολοκλήρωμα του δύναμης στα πεδία δυνάμεων.

Αναλόγως όπως στα πεδία συντηρητικών πεδιων δυνάμεων, διατηρείται η ενέργεια,  έτσι και στο συντηρητικό πεδίο της ταχύτητας διατηρείται η ποσότητα της εξίσωσης Bernoulli.

Γεια σου Στάθη.

Δεν νομίζω ότι μπορεί κανείς να έχει αντίρρηση με τα τελευταία γραφόμενά σου.

Αντίθετα εμπλουτίζουν όσα  πρέπει να έχουμε κατά νου είτε μπορούμε να τα πούμε (ανάλογα με το ακροατήριο εννοώ) είτε όχι.

Συγνώμη, από ότι φαίνεται ως νέος έχω προβλήματα στο γράψιμο των εξισώσεων,΄. Το θέμα είναι ότι τις έβλεπα να είναι καλά αλλά όταν αναρτήθηκε χάλασαν. Θα το ξαναπροσπαθήσω..

Καλησπέρα παιδιά (που λέει και ο Γιάννης) η μάλλον πρώην παιδιά . Άργησα να απαντήσω γιατί υπήρχε ενδιαφέρουσα κουβέντα και προσπάθησα να ενημερωθώ και από παλιές ενδιαφέρουσες αναρτήσεις σας, εσείς απλά τα ξέρετε απέξω (εγώ θα τα μάθω).
Από ότι φαίνεται στα μαθηματικά συμφωνούμε όλοι: Το άθροισμα της δυναμικής βαρυτικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου και της πίεσης είναι σταθερό σε κάθε σημείο του υγρού για όλο τον όγκο του υγρού. Αυτό συνήθως προκύπτει από την εξίσωση Bernoulli 1/2ρv2 +ρgh+p = σταθερά , όπου αν το v τείνει στο 0 προκύπτει      ρgh +p= σταθερά   Το έδειξα στην υδροστατική απλά για να δείξω το κοινό. Όπως επίσης προκύπτει από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης που παρουσίασε ο Νίκος, από την οποία απλά σημειώνω ότι φτάνουμε στη γνωστή μας σχέση για την πίεση.
Αυτά που καταλήξαμε μέχρι εδώ νομίζω  ότι βοηθάνε όλους μας (και τους συγγραφείς βιβλίων)  να συνειδητοποιήσουμε ότι:

Η πίεση είναι αριθμητικό μέγεθος
Ορίζεται σε κάθε σημείο του ρευστού
Δεν ενισχύει εκφράσεις που οδηγούν στη σύγχυση της έννοιας πίεση με την έννοια δύναμη, όπως: (η «προς τα πάνω πίεση», «η προς τα κάτω πίεση», «ασκείται πίεση», «η πίεση που δέχεται», «η πίεση δρα», «η πίεση που ασκεί το νερό», «η πίεση ωθεί κάθετα τα τοιχώματα» που αποδίδουν στην πίεση διανυσματικό χαρακτήρα και δε διευκολύνουν τη διαφοροποίησή της από τη δύναμη.

Το πρόβλημα που εγώ νομίζω ότι  συνεχίζουμε να έχουμε είναι η φυσική σημασία  του σταθερού αθροίσματος. Με απασχολεί το παρακάτω, το έθιξε και ο Διονύσης στην κουβέντα:  Ένας στοιχειώδης όγκος (dV) υγρού, σταθερής πυκνότητας και μηδενικού ιξώδους, που περικλείει στοιχειώδη μάζα (dm) στην επιφάνεια (σημείο Α στο αρχικό σχήμα) έχει δυναμική ενέργεια (dm)gh1 και ενεργειακή πυκνότητα  (dm)gh1/dV = ρgh1. Ο στοιχειώδης αυτός όγκος, αν θεωρηθεί ότι περικλείεται από τοίχωμα ίδιας πυκνότητας με το νερό, χωρίς καμιά δαπάνη ή απόδοση έργου μπορεί να βρεθεί σε κάποιο βάθος (σημείο Β στο σχήμα), όπου η πυκνότητα της δυναμικής του ενέργεια είναι ρgh2, μικρότερη από αυτήν στη θέση Α.

Για την μετακίνηση αυτή το έργο που απαιτείται (η αποδίδεται) είναι E=Fs Η ασκούμενη δύναμη τείνει στο μηδέν (θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν τριβές, και το υγρό είναι σταθερής πυκνότητας). Αφού λοιπόν δεν αποδίδεται (ούτε δαπανάται) κανένα έργο και αφού η ενέργεια που είχε ο στοιχειώδης όγκος στη θέση Α ελαττώθηκε, πώς ισχύει η Αρχή διατήρησης τη Ενέργειας; Τι έγινε η υπόλοιπη ενέργεια; Σχετίζεται αυτό με το σταθερό άθροισμα που έχουμε ή όχι;

Καλησπέρα Παναγιώτη.

Αν απαντήσω ότι μειώθηκε μεν η δυναμική ενέργεια της μαζούλας που καταδύθηκε, αυξήθηκε δε η δυναμική ενέργεια του υπολοίπου υγρού;

Διότι η μαζούλα αντικαταστάθηκε από άλλη που “μετακόμισε στην θέση Α”;

Θα μπορούσα να δώσω και άλλη απάντηση, περιοριζόμενος μόνο στη μαζούλα. Μειώθηκε μεν η δυναμική της ενέργεια, αυξήθηκε δε το γινόμενο P.dV. Αυτό μοιάζει να “συντηρεί” την διατήρηση της ενέργειας της μαζούλας, στην οποία δεν προσφέρθηκε έργο, ούτε απέκτησε κινητική ενέργεια παρά την μείωση της δυναμικής της ενέργειας.

Αυτή η ποσότητα P.dV μοιάζει σαν δυναμική ενέργεια του πεδίου των ανώσεων. Σαν να έχουμε δύο πεδία, το βαρυτικό και το πεδίο ανώσεων. Στο πεδίο που συναποτελούν τα δύο πεδία δεν έχουμε μεταβολή δυναμικής ενέργειας.

Καλησπέρα Γιάννη

Μου φαίνεται ενδιαφέρουσα η δεύτερη απάντηση/σκέψη σου. Αυτό που λες  “μοιάζει να “συντηρεί” την διατήρηση της ενέργειας της μαζούλας, στην οποία δεν προσφέρθηκε έργο, ούτε απέκτησε κινητική ενέργεια παρά την μείωση της δυναμικής της ενέργειας” θα μπορούσε να έχει κάποια σχέση με το σταθερό άθροισμα δυναμικής ενεργειακής πυκνότητας και πίεσης; Δεν ξέρω την απάντηση, με προβληματίζει απλά τι φυσική σημασία έχει αυτό  το σταθερό άθροισμα πυκνότητας δυναμικής ενέργειας και πίεσης σε κάθε σημείο του ρευστού.

Αυτό που λες “η ποσότητα P.dV μοιάζει σαν δυναμική ενέργεια του πεδίου των ανώσεων” γιατί να μην είναι και αυτή του βαρυτικού πεδίου; Η πίεση (και η διαφορά πιέσεων) οφείλεται στο βαρυτικό πεδίο, γιατί όχι και η άνωση ως οφειλόμενη στη διαφορά πιέσεων. Και η δυναμική ενέργεια και η πίεση οφείλονται στο βαρυτικό πεδίο. Εκτός βαρυτικού πεδίου έχουμε πίεση μόνο αν το υγρό είναι περιορισμένο και είχε  πίεση σε κάθε του σημείο, θυμήσου εκείνη την παλιά μεγάλη ιστορία με την πίεση που είχες ξεκινήσει όπου το νερό από τον πυθμένα του ωκεανού πήγαινε στο διάστημα μέσα σε δοχείο με ανένδοτα τοιχώματα..

Παναγιώτη είναι αλληλένδετα τα δύο πεδία. Φυσικά απουσία βαρύτητας δεν μιλάμε για άνωση.

Σκέφτομαι το εξής:

Ένα σωματάκι όγκου dV μεταβαίνει από πίεση P σε πίεση P΄. Το έργο της άνωσης είναι (P-P΄). dV (αν δεν έκανα λάθος).

Αν γράψουμε την παραπάνω διαφορά ως P.dV-P΄.dV μοιάζει σαν να έχουμε μια περίεργη ενέργεια. Όπως το έργο του βάρους είναι U-U΄ (διαφορά δυναμικών ενεργειών) έτσι εδώ το έργο της άνωσης είναι μια διαφορά δύο ποσοτήτων με διαστάσεις ενέργειας.

Θυμάμαι το δοχείο με το νερό και ποιος μου το έθεσε.

Καλησπέρα σε όλους,

Προσθέτω κι εγώ μερικές σκέψεις στο θέμα που έθεσε ο Παναγιώτης Κουμαράς:

Υδροστατική και υψομετρική πίεση

Καλησπέρα παιδιά (που λέει και ο Γιάννης) η μάλλον πρώην παιδιά . Άργησα να απαντήσω γιατί υπήρχε ενδιαφέρουσα κουβέντα και προσπάθησα να ενημερωθώ και από παλιές ενδιαφέρουσες αναρτήσεις σας, εσείς απλά τα ξέρετε απέξω (εγώ θα τα μάθω).
Από ότι φαίνεται στα μαθηματικά συμφωνούμε όλοι: Το άθροισμα της δυναμικής βαρυτικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου και της πίεσης είναι σταθερό σε κάθε σημείο του υγρού για όλο τον όγκο του υγρού. Αυτό συνήθως προκύπτει από την εξίσωση Bernoulli 1/ 2 ρυ^ 2 +ρg ℎ +p = σταθ, όπου αν υ → 0 προκύπτει ρgℎ +p = σταθ .  Το έδειξα στην εισαγωγή της πίεσης απλά για να δείξω το κοινό. Όπως επίσης προκύπτει από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης που παρουσίασε ο Νίκος, από την οποία απλά σημειώνω ότι φτάνουμε στη γνωστή μας σχέση για την πίεση.
Αυτά που καταλήξαμε μέχρι εδώ νομίζω  ότι βοηθάνε όλους μας (και τους συγγραφεις βιβλίων)  να συνειδητοποιήσουμε ότι:  Η πίεση είναι αριθμητικό μέγεθος

Ορίζεται σε κάθε σημείο του ρευστού

Δεν ενισχύει εκφράσεις που οδηγούν στη σύγχυση της έννοιας πίεση με την έννοια δύναμη, όπως: (η «προς τα πάνω πίεση», «η προς τα κάτω πίεση», «ασκείται πίεση», «η πίεση που δέχεται», «η πίεση δρα», «η πίεση που ασκεί το νερό», «η πίεση ωθεί κάθετα τα τοιχώματα» που αποδίδουν στην πίεση διανυσματικό χαρακτήρα και δε διευκολύνουν τη διαφοροποίησή της από τη δύναμη.

Το πρόβλημα που εγώ νομίζω ότι  συνεχίζουμε να έχουμε είναι η φυσική σημασία  του σταθερού αθροίσματος. Με απασχολεί το παρακάτω, το έθιξε ελαφρά και ο Διονύσης στην κουβέντα:  Ένας στοιχειώδης όγκος (dV) υγρού, σταθερής πυκνότητας και μηδενικού ιξώδους, που περικλείει στοιχειώδη μάζα (dm) στην επιφάνεια (σημείο Α στο αρχικό σχήμα) έχει δυναμική ενέργεια mgℎ1 και ενεργειακή πυκνότητα ρgℎ1 . Ο στοιχειώδης αυτός όγκος, αν θεωρηθεί ότι περικλείεται με τοίχωμα ίδιας πυκνότητα ς με το νερό, χωρίς καμιά δαπάνη ή απόδοση έργου μπορεί να βρεθεί σε κάποιο βάθος (σημείο Β στο αρχικό σχήμα), όπου η πυκνότητα της δυναμικής του ενέργεια είναι ρg ℎ2, μικρότερη από αυτήν στη θέση Α.

Για την μετακίνηση αυτή το έργο που απαιτείται (η αποδίδεται) είναι Fh . Η ασκούμενη δύναμη F→0 (θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν τριβές, και το υγρό είναι σταθερής πυκνότητας). Αφού λοιπόν δεν αποδίδεται (ούτε δαπανάται) κανένα έργο και αφού η ενέργεια που είχε ο στοιχειώδης όγκος στη θέση Α ελαττώθηκε, πώς ισχύει η Αρχή διατήρησης τη Ενέργειας; Τι έγινε η υπόλοιπη ενέργεια; Σχετίζεται αυτό με το σταθερό άθροισμα που έχουμε ή όχι;

Καλημέρα και καλή Κυριακή σε όλους.

Παιδιά (ή πρώην παιδιά, κατά προηγούμενη ρήση του Παναγιώτη…), νομίζω ότι η παραπάνω τοποθέτηση του Διονύση, φωτίζει και το ερώτημα του Παναγιώτη.

Η σύνδεση βαρυτικής δυναμικής ενέργειας και υδροστατικής πίεσης, μπορεί να αναδειχτεί.

Πρέπει να συνδεθούν οι δυο ποσότητες; Προσωπικά διατηρώ επιφυλάξεις. Τις έχω γράψει από καιρό στην ανάρτηση:

Τι δεν είναι πίεση.

Να θυμίσω ένα απόσπασμα:

Προτιμώ δηλαδή τις πιέσεις να τις συνδέουμε με το έργο (μέσω των ασκούμενων δυνάμεων) και αυτό το έργο να μην αποδίδεται σε κάποια ενέργεια. Κατ΄αναλογία:

Κατά τη μετακίνηση του σώματος από τη θέση Α στη θέση Β, θα μπορούσα να εφαρμόσω μια διατήρησης “μηχανικής ενέργειας” αποδίδοντας δυναμική ενέργεια την οποία να συνδέσω με το έργο της δύναμης F.

Το αποτέλεσμα θα ήταν σωστό.  Είναι λογικό να το κάνουμε;

Καλημέρα παιδιά.

Διονύση χάθηκες αλλά καλή δουλειά έφερες.

Ευχαριστούμε Παναγιώτη για τους προβληματισμούς που μας… παρασέρνεις.

Όσο για τα σχόλια, όταν μεταφέρεται κείμενο από Word (μάλλον από παλιότερες εκδόσεις…) κρατά πολλές φορές και κάποια …προκαταρκτικά που έχουν να κάνουν με τη μορφοποίηση.

Μια λύση είναι να γίνει η επικόλληση στον κεντρικό επεξεργαστή (υποκρινόμενοι ότι κάνουμε ανάρτηση) και από εκεί με copy-paste να το μεταφέρουμε στο σχόλιο.

Καλημέρα σε όλους,

Παναγιώτη σε ευχαριστώ για το σχόλιο και για τις ευκαιρίες προβληματισμού που μας δίνεις.

Διονύση, Γιάννη σας ευχαριστώ για τα σχόλια.

Πράγματι Διονύση, η υδροστατική πίεση αναδεικνύεται χρήσιμη μέσα στο ίδιο υγρό σε ισορροπία σαν βαθμίδα πίεσης, ή και σε εφαρμογές σε ανοικτές εγκαταστάσεις που περιβάλλονται από την ατμόσφαιρα.

Γιάννη προσπαθώ 🙂

Καλημέρα και καλή εβδομάδα.

Παρόλο που διάβαζα ,δεν συμμετείχα σχολιάζοντας ,οφείλω όμως ένα ευχαριστώ προς τον Καθηγητή Κουμαρά γιά τη σπίθα που ενεργοποίησε σκεπτόμενους κατοίκους της νησίδας με σκοπό να ξεκλειδώσουν τον προβληματισμό που έθεσε και φαίνεται πως έφτιαξαν ένα επι πλέον σκαλοπάτι για να πατήσει η σκέψη και να πλησιάσει την κλειδωνιά .

Ευχαριστώ όλους

Μια ανάρτηση, στην οποία διερευνάται τι συμβαίνει με την πίεση σε ένα σημείο (στην είσοδο του σωλήνα).

                                                         Η πίεση στο σωλήνα και η σπηλαίωση.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η τιμή της πίεσης, δεν καθορίζεται μόνο, από το τι υπάρχει πάνω από το σημείο Α, αλλά και από το τι υπάρχει, κάτω από αυτό, όπως είναι το μήκος ή η γεωμετρία του σωλήνα.